具有弱反射和美式期权部分对冲的BSDE

现在，我们展示以下值过程的向后SDE表示。定理3.1（值过程的表示）存在一个族（Zα，Kα，aα）α∈五、H×K×K如此，对于所有α∈ 五、 我们有Yαt=Φ（t，Mαt）+RTtg（s，Yαs，Zαs）ds-RTtZαsdWs+Kαt- KαT- Aαt+Aαt，0≤ t型≤ TYαt≥ Φ（t，Mαt）a.s.，0≤ t型≤ TRT公司Yαs-- Φ（s，Mαs-)dAαs=0 a.s。；dAα⊥ dKα；ess infα′型∈VατE[RTτMτ，α′sd（Aα′s- Aα′s+Kα′s）]=0 A.s.，对于所有τ∈ T（Yα，Zα，Kα，Aα）1[[0，τ]]=（Y′α，Z′α，K′α，A′α）1[[0，τ]]，τ ∈ T、 α∈ V？ατ，其中每个τ∈ T和α′∈ Vατ，过程（Mτ，α′t）t≥τre表示与满足Mτ，α′τ=1 a.s的（Yα′t）和（Yα′t）相关的线性化过程，其中（Yα′t，Yα′t，Yα′t）表示反射BSDE的解，其中驱动器g和障碍物Φ（t，Mα′t）。M以上，（Yα，Zα，Aα，Kα）α∈Vis满足上述BSDE的唯一系列。证据首先注意，对于（α，τ）∈ V×T，对于α′，我们在[0，τ]上有Vα′·=Vα·∈ Vατ。Y的定义意味着Yα[0，τ]=Yα′[0，τ]表示α′∈ Vατ。固定τ∈ Tandα∈ 五、 通过定理3.10，我们得到了（Zα，Kα，Aα）的存在性，使得Yαt=Φ（t，Mαt）+RTtg（s，Yαs，Zαs）ds+Aαt- Aαt- KαT+KαT-RTtZαsdWs，Yαt≥ Φ（t，Mαt）a.s.0≤ t型≤ TRT（Yαs-- Φ（s）-, Mαs-))dAαs=0；dAαs⊥ dKαs.（3.40）通过半鞅r表示的唯一性，我们得出（Yα，Zα，Kα，aα）1[[0，τ]]=（Y′α，Z′α，K′α，a′α）1[[0，τ]]，τ ∈ T、 α∈ V′ατ。仍需显示过程Aα′满足的最小条件- Aα′型- Kα′。为此，让我们首先考虑一个任意的控制'α∈ Vατ和（Y′α，Z′α，A′α）以下反映BSDE的溶液：Y′αt=Φ（t，M′αt）+RTtg（s，Y′αs，Z′αs）ds-RTtZ？αsdWs+A？αT- A′αt，Y′αt≥ Φ（t，M′αt）a.s。

0≤ t型≤ TRT（Y′αs-- Φ（s）-, M？αs-))dA？αs=0。我们现在定义线性化过程Mτ，’α，使M‘ατ=1，M‘αt=expRtτβsdWs+Rtτ（λs-βs）ds,式中λs：=g（s，Y′αs，Z′αs）- g（s，Y′αs，Z′αs）Y′αs- Y′αs{Y′αs-Y′αs6=0}；βs：=g（s，Y′αs，Z′αs）- g（s，Y′αs，Z′αs）| Z′αs- Z’αs |（Z’αs- Z′αs）1{Z′αs-Z′αs6=0}。使用经典的线性化程序，我们得到：Y′ατ- Y′ατ=Eτ[ZTτMτ，’αs（dA′αs- dA‘‘αs+dK‘‘αs）]a.s.（3.41）我们现在对‘α’进行ess inf∈ Vατ并使用值函数Y′α的定义，最小条件如下。现在，我们将展示该族的独特性。设（▄Yα，▄Zα，▄Kα，▄Aα）为（3.40）的解。注意，通过使用广义驱动的盲源数据集之间的比较定理以及反射盲源数据集的解作为非最优停止问题的解的特征，我们推导出yαt=ess infα′∈Vαtess supθ∈TtEgt，θ[Φ（θ，Mα′θ）]≥ ess s向上θ∈TtEg公司-dKt，θ[Φ（θ，Mα′θ）]=Yαta。s、 （3.42）通过使用相同的线性化程序，我们得到了α′τ-~Yα′τ=E[ZTτMτ，α′sd（Aα′s-~Aα′s+~Kα′s）]A.s.（3.43）最小条件意味着▄Yατ=ess infα′∈VατYα′τa.s.因此，结果如下。备注3.2注意，由于通常过程Aα- Aα- Kα不是非递减的，我们不能将其简化为仅涉及aα、aα和Kα的公式，如具有弱终端条件的无反射BSDE的情况。我们指出，在Φ=-∞因此没有反射，过程Aα和Aα对于所有α都变为0∈ 五、 因此，极小条件确实等价于ss infα′∈VατEτhKα′T- Kα′τi=0 a.s.（3.44）4具有弱反射和相关博弈问题的BSDE在本节中，我们研究一个相关博弈问题。我们证明，给定一个阈值过程（Mαt），最小初始过程Yα对应于一个最优停止问题的值。

更准确地说，我们提供了一些条件，在这些条件下，人们可以交换inf-sup并获得鞍点的存在性。这个问题通常是非平凡的，在我们的例子中，额外的复杂性是由于障碍Φ（t，Mαt）中存在控制α。让我们∈ Tandα∈ 五、 定义时间S asYα（S）的第一个值函数：=fα′中的ess∈VαSess supτ∈TSEgS，τ[Φ（τ，Mα′τ）]。（4.45）和时间S asYα（S）的第二个值函数：=ess supτ∈TSess infα′型∈VαSEgS，τ[Φ（τ，Mα′τ）]。（4.46）通过定义，我们说，对于博弈问题，在时间S存在一个值函数，如果Yα（S）=Yα（S）a.S。我们回忆起S的定义-鞍点。定义4.1（S-鞍点）让我们∈ T、 A对（τ*S、 α*S）∈ 如果（i）Yα（S）=Yα（S）a.S.（ii）在α处达到（4.45）中的基本极限，则称TS×V为Ssaddle点*S（iii）（4.46）中的本质上确界在τ处达到*S、 现在让我们给出本节的主要结果。定理4.2 1。假设g（t，ω，y，z）≥ 0，表示所有（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm ×R×rd并假设Φ相对于t增加，相对于m凸。然后博弈问题允许一个值函数，即Yα（S）=Yα（S）a.S.，对于所有∈ T、 （4.47）2。假设g（t，ω，y，z）≤ 0，表示所有（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm×R×rd并假设Φ相对于t减小，相对于m凹。那么博弈问题允许一个值函数，即Yα（S）=Yα（S）a.S.，对于所有S∈ T、 （4.48）3。在g相对于（y，z）是凸的附加假设下，在定义4.1的意义下，博弈问题（4.48）存在S鞍点。证据1、固定S∈ T、 首先注意ESS supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）]i≤ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、 还有一点需要说明的是相反的不等式。固定θ∈ TSandα′型∈ VαS。

根据非线性BSDE的FLOW性质，我们得到了EgS，T[Φ（T，Mα′T）]=EgS，θ[Egθ，T[Φ（T，Mα′T）]]a.s。应用BSDE的比较定理，并使用驱动程序g，wederiveEgS，θhEgθ，T[Φ（T，Mα′T）]i的假设≥ EgS，θhE[Φ（T，Mα′T）| Fθ]ia。s、 （4.49）上述关系，连同映射Φ和条件Jensen不等式的性质，意味着Egs，θhE[Φ（T，Mα′T）| Fθ]i≥ EgS，θhE[Φ（θ，Mα′T）| Fθ]i≥ EgS，θhΦ（θ，E[Mα′T | Fθ]）ia。s、 （4.50）Mα′的鞅性质意味着EgS，θhΦ（θ，E[Mα′T | Fθ]）i=EgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、 （4.51）将（4.50）和（4.51）相结合，我们得到了tgs，ThΦ（T，Mα′T）]i≥ EgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、 首先取θ上的基本上主∈ t然后是α′上的基本函数∈ VαS，紧随其后的是ess infα′∈VαSEgS，T[Φ（T，Mα′T）]≥ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、 我们显然有ESS infα′∈VαSEgS，T[Φ（T，Mα′T）]≤ ess supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θ[Φ（θ，Mα′θ）]a.s.最后两个不等式可以得出以下结论：∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）]i≥ ess infα∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、 结果如下。备注4.3我们强调，在mapΦ的不同假设下，上述结果仍然成立。实际上，在正驱动程序g的情况下，可以考虑Φ（t，ω，m）=m+h（St）形式的函数Φ，其中S是子鞅过程，h是凸函数。在负驱动器g的情况下，证明仍然适用于函数ΦtheformΦ（t，ω，m）=m+h（St），其中S是上鞅过程，h是凹函数。2、对于这一点的证明，我们主要采用与前面证明相同的思路。抛开清晰，我们在下面给出它。修复S∈ T、 注意ess supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）i≤ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、 让我们用相等的方式来表示相反。固定θ∈ TSandα′型∈ VαS。利用Mα′的鞅性质，我们推导出EgS，S[Φ（S，Mα′S）]=EgS，S[Φ（S，E[Mα′FS]）]a.S。

（4.52）利用（4.52），函数Φ和条件Jensen不等式的性质，wederiveEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≥ EgS，S[E[Φ（θ，Mα′θ）| FS]]a.S.BSDEs导引头的驱动假设和比较定理，S[E[Φ（θ，Mα′FS]]≥ EgS，θ[Φ（θ，Mαθ）]a.s.通过θ的任意性∈ TS，我们有egs，S[Φ（S，Mα′S）]≥ ess s upθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mα′）]a.s.因为上述不等式适用于任何α′∈ VαS，我们得到infα′∈VαSEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≥ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mα′θ）]a.s.（4.53）自s∈ TSwe推断出这是infα′∈VαSEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≤ ess s upθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θ[Φ（θ，Mα′θ）]a.s.（4.54）Fr从最后两个不等式中我们推导出supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）]i≥ ess infα′型∈VαSEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≥ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mαθ）]a.s.（4.55）结果如下。3、我们现在证明了S鞍点的存在性，在附加假设g是凸的，r相对于（y，z），即假设4.3成立。假设4.3（λ，m，m，t，y，y，z，z）∈ [0，1]×[0，1]×[0，T]×R×（Rd），g（T，λy+（1- λ） y，λz+（1- λ） z）≤ λg（t，y，z）+（1- λ） g（t，y，z）a.s.我们首先证明了最优控制α的存在性*稳定部队问题4.45。根据引理3.3，存在一系列控制（αn）nbe，期望VαSsuch thatYα（S）=limn→∞↓ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mαnθ）]a.s.（4.56）当序列（MαnT）在[0，1]中有界时，可以定义非负实数s（λni）i的序列≥nwithPi公司≥nλni=1，使得每个n中只有一个数量的λnido不为零，并且使得凸组合序列（~MnT）ngiven乘以~MnT：=Xi≥nλniMαiT（4.57）收敛到某个“MT”。通过支配收敛，收敛保持在L，特别是E[\'MT]=m，鞅表示定理给出了控制α的存在性，使得“MT=Mm，\'T”。

由于（▄MnT）和▄MTare鞅，我们得到了，对于所有θ∈ TS，~Mnθ=π≥nλniMαiθa.s。此外，由于Φ和g是凸的，我们有xi≥nλniEgτ，θ[Φ（θ，Mαiθ）]≥ Egτ，θ[Φ（θ，~Mnθ）]a.s.（4.58），因此我们得到thatYn（s）：=Xi≥nλniess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mαiθ）]≥ ess supθ∈TSxi≥nλniEgS，θ[Φ（θ，Mαiθ）]≥ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]a.s.（4.59），然后（4.56）表示Yn（s）→ Yα（S）a.S.现在让我们展示一下ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]→ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，\'Mθ）]a.s.（4.60）BSDE的先验估计给出：ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]- ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，^Mθ）]≤ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]- EgS，θ[Φ（θ，^Mθ）]≤ Cess supθ∈TSES公司Φ（θ，~Mnθ）- Φ（θ，’Mθ）≤ CES“sup0≤t型≤TΦ（t，~Mnt）- Φ（吨，公吨）#a、 s.，C是一个依赖于T的常数g和驱动子g的Lipschitz常数。Doob极大不等式以及Φ关于T和m的一致连续性意味着上述不等式的RHS项收敛到0，直到一个子序列。因此，我们得到（4.60）。从（4.59）和（4.60）中，我们得出“α”是最优控制。因此，我们可以得出结论，在第4.2条和第4.3条的假设1下，该对（T，(R)α）是一个S鞍点。在定理4.2的假设2和假设4.3下，对（S，’α）是一个S鞍点。我们可以很容易地观察到，博弈的值函数的存在意味着我们有以下最小过程Yα的表示。推论4.1固定θ∈ Tandα∈ 五、 那么Yαθ对应于下列最优停止问题的值Yαθ=ess supτ∈TθXα，τθa.s.，（4.61），其中Xα，τθ对应于时间τ弱终端条件下BSDE的最小θ-初始上解。参考文献[1]Bouchard，B.、Bouveret，G.和Chassagneux，J.-F.百慕大期权分位数对冲的向后对偶表示。

《暹罗金融数学杂志》7，1（2016），215–235。[2] Bouveret，G.，a和Chassagneux，J.-F.近似套期保值问题中出现的偏微分方程的比较原则：对Bermud-an期权的应用。应用数学与优化，（2017），1-23。[3] Bouchard，B.、Elie，R.和Reveillac，A.具有弱终端条件的BSDEs。《概率年鉴》34，2（2015），572-604。[4] Bouchard，B.，Elie，R.，和Touzi，N.。具有可控损失的随机目标问题。暹罗J.控制优化。48, 5 (2009/10), 3123–3150.[5] 几何动态规划原理的障碍版本：约束条件下美式期权定价的应用。应用程序。数学Optim公司。61, 2 (2010), 235–265.[6] Briand，P.、Elie，R.、和Hu，Y.平均反射的Bsdes。arXiv预印本XIV:1605.06301（2016）。[7] Cvitani\'c，J.和Karatzas，I.带反射和Dynkin对策的倒向随机微分方程。安。概率。24, 4 (1996), 2024–2056.[8] Dellacherie，C.和Lenglart，E.Sur des probl“emes de r”egulariation，de recollement et d\'interpolation en the eorie des processus.研究正则化、再元素和插值问题。在数学N otes讲座第920卷第十六期概率研讨会上。施普林格，柏林，1982年，第298-313页。[9] Y.Dolinsky和Y.Kifer。离散时间内博弈期权的风险对冲。随机79，1-2（2007），169-195。[10] Dumitrescu，R.具有非线性弱终端条件的Bsdes。arXiv预印本XIV:1602.00321，（2016）。[11] Dumitrescu，R.、Quene z M.C.、Sulem A.在游戏中推广了Dyn k，并用跳跃进行了双重反射BSDE。概率电子杂志，21，（2016）。[12] 杜米特雷斯库，右。，Quenez M.C.，Sulem A.带Ef期望的组合最优停车/随机控制的弱动态规划原理。

《SIAMJournal关于控制和优化》，54（4），2090-2115，（2016）。[13] El Karoui，N.、Kapoudjian，C.、Pardoux，E.、Peng，S.和Quenez，M.回顾了pde的反向sde和相关障碍问题的解决方案。《可能性年鉴》，25（1997），702-737。[14] F¨ollmer，H.和Leucert，P.分位数对冲。金融斯托克。3, 3 (1999),251–273.[15] F¨ollmer，H。，Le ukert，P.高效对冲：成本与短缺风险。FinanceStoch公司。4, 2 (2000), 117–146.[16] Grigorova，M.、Imkeller P.、Oukiney Y.、Quenez M.C.《双重反射BSDES和Ef Dynkin游戏：超越右连续案例》。arXiv预印本XIV:1704.00625，（2017年）。[17] Lepeltier，J.-P.和Xu，M.具有一个r.c.l.l.屏障的反向随机微分方程的惩罚方法。统计学家。概率。勒特。75, 1 (2005), 58–66.[18] Mulinacci，S.《美式期权的有效边缘问题》。金融斯托克。15, 2 (2011), 365–397.[19] Peng，S.向后SDE和相关的g-期望。在倒向随机微分方程（巴黎，1995-1996）中，皮特曼研究所的第364卷提到了数学。序列号。朗曼，哈洛，1997年，第141-159页。[20] Peng，S.关于Doob-Meyer型线性分解定理的BSDE和n的单调极限定理。概率。理论关系。字段113、4（1999）、473–499。[21]Peng，S.和Xu，M.最小的g-su permartingale和反映了BSDE的单叶和双叶。安。Inst.H.P oincar\'e Probab公司。统计学家。41, 3 (2005),605–630.[22]P'erez Hern'andez，L.关于离散时间市场中美国或有权益有效对冲的存在性。数量。《金融》第7期，第5期（2007），第547–551页。【23】Soner，H.M.，和Touzi，N.《随机目标问题、动态规划和粘性解》。暹罗J.控制优化。41, 2 (2002), 404–424.[24]Trevino Aguilar，E。

离散时间和完全市场中美式期权的部分套期保值：凸对偶和最优马尔可夫策略。Bol。Soc。小地毯墨西哥。(3) 22, 1 (2016), 281–308.[25]Yeh，J.鞅与随机分析，多元分析系列第一卷。世界科学出版公司，新泽西州River Edge，1995年。