具有弱反射和美式期权部分对冲的BSDE

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英文标题：
《BSDEs with weak reflections and partial hedging of American options》
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作者：
Roxana Dumitrescu, Romuald Elie, Wissal Sabbagh, Chao Zhou
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce a new class of \\textit{Backward Stochastic Differential Equations with weak reflections} whose solution $(Y,Z)$ satisfies the weak constraint $\\textbf{E}[\\Psi(\\theta,Y_\\theta)] \\geq m,$ for all stopping time $\\theta$ taking values between $0$ and a terminal time $T$, where $\\Psi$ is a random non-decreasing map and $m$ a given threshold. We study the wellposedness of such equations and show that the family of minimal time $t$-values $Y_t$ can be aggregated by a right-continuous process. We give a nonlinear Mertens type decomposition for lower reflected $g$-submartingales, which to the best of our knowledge, represents a new result in the literature. Using this decomposition, we obtain a representation of the minimal time $t$-values process. We also show that the minimal supersolution of a such equation can be written as a \\textit{stochastic control/optimal stopping game}, which is shown to admit, under appropriate assumptions, a value and saddle points. From a financial point of view, this problem is related to the approximative hedging for American options.
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中文摘要：
我们引入了一类新的倒向随机微分方程，其解$（Y，Z）$满足弱约束$\\textbf{E}[\\Psi（\\theta，Y\\utheta）]\\geq m$，对于所有停止时间$\\theta$，取值范围为0$和终端时间$\\T$，其中$\\Psi$是一个随机非递减映射，m$是一个给定的阈值。我们研究了这类方程的适定性，并证明了最小时间$t$-值$Y\\U t$的族可以通过右连续过程聚合。我们给出了低反射$g$-子鞅的非线性Mertens型分解，据我们所知，这代表了文献中的一个新结果。利用这种分解，我们得到了最小时间$t$-值过程的表示。我们还证明了这样一个方程的最小上解可以写成一个{随机控制/最优停止对策}，在适当的假设下，它允许一个值和鞍点。从金融角度来看，这个问题与美式期权的近似对冲有关。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：美式期权 BSDE SDE Mathematical Optimization

具有弱反射和部分对冲美国期权的BSDE Roxana Dumitrescu*Romuald Elie+Wissal SabbaghChao Zhou§2017年8月22日摘要我们引入了一类新的具有弱反射的倒向随机微分方程，其解（Y，Z）满足弱约束E[ψ（θ，Yθ）]≥ m、 对于0到终点时间T之间的所有停止时间θ，其中ψ是随机非递减映射，m是给定阈值。我们研究了这类方程的适定性，并证明了最小时间t值族Y可以通过右连续过程聚集。我们给出了低反射g-子鞅的非线性Mertens型分解，据我们所知，这代表了文献中的一个新结果。利用这种分解，我们得到了最小时间t值过程的表示。我们还证明了这样一个方程的最小上解可以写成一个随机控制/最优停止对策，在适当的假设下，它允许一个值和鞍点。从金融角度来看，这个问题与美式期权的近似对冲有关。关键词：弱反射BSDE，部分套期保值，美式期权，最优控制，最优停止，随机博弈，随机目标。AMS 1991主题分类：93E20、60J60、47N10.1简介El Karoui等人首先介绍了反射后向随机微分方程（RBSDEs f或简称）的理论。在这种情况下，BSD解决方案的第一个组成部分被迫停留在给定的（所谓的障碍或奖励）随机过程之上。*英国伦敦国王学院数学系，电子邮箱：roxana。dumitrescu@kcl.ac.uk.+LAMA，法国巴黎大学，电子邮件：romuald。elie@univ-mlv。frLAMME，法国埃弗里大学，电子邮箱：wissal。sabbagh@univ-埃弗里。fr。

WissalSabbagh的研究得益于“转型中的椅子市场”、法国证券交易所和ANR 11-LABX-0019的支持。§新加坡国立大学数学系，matzc@nus.edu.sgIn为了使解决方案保持在障碍物上方，BSDE dynamics包含额外的递增组件，这是解决方案的一部分。这类方程的唯一性是由Skorokhod型极小条件决定的。BSDES的首次应用与美式期权的定价和对冲相关。从那时起，大量关于最优停止、最优软件瘙痒或随机游戏的应用已经成为这一主题的大量文献。支付过程（Lt）为0的美式期权估值≤t型≤t需要确定最佳销售时间和相应的套期保值策略。然而，在现实且不完善的金融市场中，复制策略往往难以实现。从卖方的角度来看，卖方希望保护自己不受合同义务的影响，保守的做法是通过构建投资策略，产生足够的资本，在期权持有人选择的任何可能的限制时间支付报酬，从而扩大美式期权。解决这类问题需要找到一个初始数据Y、一个控制Z和一个附加的递增过程K，使得YZT=Y+Ztg（s，YZs，Zs）ds-ZtZsdWs+Kt（1.1）YZτ≥ Lτ，P- a、 s.所有停车时间τ∈ [0，T]，（1.2）ZT（YZt- Lt）dKt=0。（1.3）驱动函数g特别包含贴现因素以及金融市场的一些缺陷。这可能是非线性的，例如贷款和抵押贷款利率不同时。y解释为时间t时Americanoption的超级复制价格，而Z对应于最佳的sur复制策略。

观察Skorkhod条件（1.3）强制选择最小超复制p水稻。然而，从实际角度来看，超边缘的成本相当高，因此期权卖方需要接受以承担一些风险。迄今为止，主要为欧洲选项开发的一种替代方法是，用较弱的超级复制P-a.s.终端条件来取代过于强大的超级复制P-a.s.终端条件。即，对于欧洲选项，YZT≥ LTis替换为E[l（YZT- LT）]≥ m，其中m表示给定的成功阈值，并且l 表示非递减损失函数。从财务角度来看，这种方法被称为分位数或有效套期保值，F¨ollmer和L eukert首先讨论了这种方法[14，15]。特别是，他们解释了如何使用对偶论和内曼-皮尔逊引理在完整市场中明确计算所谓的欧式期权分位数套期保值价格。在一般马尔可夫环境中，Bouchard等人【4】通过引入额外的精心选择的状态变量，提供了一种直接的动态方法来解决这个问题。即使在不完全市场和一般损失函数中，他们也将定价函数描述为非线性抛物线二阶微分方程的解，使用Soner和Touzi在随机目标问题背景下开发的工具[23]。

最近，Bouchard、Elie和Reveillac[3]将这种方法扩展到可能的非马尔可夫集，并引入了一类新的BSDE，即具有弱终端条件的BSDE，其中要求投资组合的终端值Y满足形式（1）的弱约束。Dumitrescu【10】对该方法进行了扩展，允许考虑非线性风险度量约束。此处要求使用分位数有效套期保值方法的美式期权卖方使用动力学（1.1）求解BSDE，但应使用较弱的形式替换过强约束（1.2[l（YZτ- Lτ）]≥ m、 对于所有停止时间τ∈ [0，T]。（1.4）本文的主要目的是研究具有此类约束（1.4）的BSDE的适定性和主要性质，并讨论其与美式期权有效性的关系。据我们所知，我们提供了第一个连续时间美式期权有效价格的动态概率表示。现在让我们来谈谈文献中的一些相关作品。佩雷斯（P’erez）[22]或穆利纳奇（Mulinaci）[18]讨论了在这种情况下有效对冲的存在。Dolinsky和Kifer[9]专注于在具有交易成本的离散时间环境中对相同期权进行部分对冲。在马尔可夫环境下，Soner和Touzi【23】的几何动态规划原理的另一个障碍版本在【5】中给出，Bouchard等人【2】提供了一种概率数值算法，用于计算Bermudean期权的分位数对冲，使用对偶表示。最近，Briand等人[6]采用了一种非常不同的方法来研究形式（1.1）的BSDE以及形式（1.4）的较弱版本，其中约束仅适用于[0，T]上的确定性时间。

在SUCH a框架中，没有可用的动态规划原理，导出的解与McKean-Vlasov型随机微分方程有关。特雷维诺（Trevino）[24]认为，美式期权的卖方旨在通过部分对冲来控制差额风险。他对部分套期保值和美式期权在不完全连续市场中的最优行使问题感兴趣。特别是，Trevino[24]提出了一个优化问题，涉及随机积分族的最小化和停止时间族的最大化。在本文中，我们首先提出了具有弱反射的BSDE的概念，其约束采用以下一般形式τ[ψ（θ，YZθ）]≥ u，对于所有停止时间θ∈ [τ，T]，（1.5），其中u∈ L（Fτ）是给定停止日期的目标成功率τ，ψ是一个可能的随机非递减映射。当然，这种表述可以涵盖上述美式期权的有效定价。我们首先观察到，该BSDE的最小解重写为具有适当障碍的经典反射BSDE的一系列解的最小解，即inf{Yα，α∈ 五} ，其中（Yαt）是与障碍Φ（t，Mαt）相关的反射BSDE的解的第一个组成部分，带有Mαa鞅过程。由于它在随机控制中的作用，我们研究了动态对手α（τ）=ess inf{Yα′τ，α′∈ Vs.t.α′=αon[[0，τ]]}。（1.6）我们推导出了该族的动态规划原理，从中我们推断出值（Yα）是一个Refg，α-次鞅族，其中Refg，α是由具有ob stacleΦ（t，Mαt）和driver g的较低反射BS DE的解产生的非线性算子。使用过程一般理论的一些明确结果，我们证明了值族（Yα）可以通过一个右连续和左有限过程（Yαt）聚合。

此外，我们还证明了任何强Rg，α-次鞅adm及其a Eg Mertens分解，据我们所知，这代表了文献中的一个新结果。我们提出了一种原始的惩罚方法，它不使用经典的惩罚方法。利用这种分解，我们表明，对于每个α，值过程（Yαt）都有一个向后的S-DE表示。此外，（Yαt）对应于一个随机控制/最优停止博弈的上限值，在适当的假设下，它承认一个值和一个延迟点。论文概要如下。在给出符号之后，我们在第2节中介绍了具有弱反射的BSDE上解的定义。在第3节中，我们专门讨论了具有弱反射的BSDE的最小上解。我们首先证明了一个动态规划原理，并且我们可以通过c\'adl\'ag过程聚合价值族。在这一节中，我们还提供了Refg，ξ-子鞅过程的非线性Mertens分解，然后用它来表示值过程。在第4节中，我们研究了一个相关的随机控制/最优停止问题，该问题被证明允许一个值和一个鞍点。符号我们首先介绍一系列将在本文中使用的符号。让d≥ 1和T>0是固定的。我们用W表示：=（Wt）t∈概率空间上定义的d维布朗运动(Ohm, F、 P）使用P-增强自然过滤F=（Ft）t∈[0，T]。符号E代表对P的期望值。此后，我们定义了以下空间：oLp（U，G）是一组P可积的G-可测r an dom变量，其值为U，P≥ 对于某些n，0，U为RN的Borel集≥ 1和G F、 当U和G可以通过上下文清楚地识别时，我们省略它们。

这将特别适用于当ng=F时的情况。他的Rd值F-可预测过程集φ=（φt）t∈[0，T]使得kφkH：=EZT |φt | dt< ∞.o Sis实值可选过程集φ=（φt）t∈[0，T]这样kφkS:=E[ess sup0≤τ≤T |φτ|）]<∞.o Kis实值非递减RCLL和F-p可预测过程集K=（Kt）t∈[0，T]，K=0，E[KT]<∞.o t指定F-停止时间τ的集合，使τ∈ [0，T]a.s.旋转Eτ[.]表示给定的条件期望Fτ，τ∈ T、 o对于T中的θ，Tθ是停止时间τ的集合∈ Tsch thatθ≤ τ ≤ T P-a.s.2具有弱反射的BSDE 2.1定义和假设让我们引入新的数学对象。定义2.1（反射较弱的BSDE）给出了一个可测量的映射ψ：[0，T]×R×Ohm → U，带U R∪ {-∞} 和u∈ L（U，Fτ），我们说（Y，Z）∈ S×His asupe R带发电机g的BSDE解决方案：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ 任何0的R和弱反射SIF≤ t型≤ s≤ T，Yt≥ Ys+Zstg（s，Ys，Zs）ds-ZstZsdWs（2.7）Eτ[ψ（θ，Yθ）]≥ u表示所有θ∈ Tτ。（2.8）我们想强调，具有弱反射的BSDE术语是由于给定停止时间τ∈ Tand a阈值u∈ 五十、 上述BSDE的解的第一个组成部分，此处用（Yt）表示，满足条件Eτ[ψ（θ，Yθ）]≥ u表示所有θ∈ Tτ。此BSDE的适定性在Remark2.1中讨论。在本文中，我们假设g满足假设2.1 g是Ohm ×[0，T]×R×Rdto R和g（，y，z）是可预测的，对于每个（y，z）∈ R×Rd。

存在一个常数Kg>0和一个随机变量χg∈ L（R+），例如| g（t，0，0）|≤ χgP- a、 s.| g（t，y，z）- g（t，y，z）|≤ 千克（|年- y |+| z- z |）P- a、 s。（t，yi，zi）∈ [0，T]×R×Rd，i=1，2。我们还回顾了有条件g-期望的定义。定义2.2（条件g-期望）我们记得，如果g是Lipschitz驱动，如果ξ是平方可积FT可测随机变量，则存在唯一解（X，π）∈ S×Hto以下BSD EXt+ZTtg（S，Xs，πS）ds-ZTtπsdWsfor all t∈ [0，T]a.s.代表T∈ [0，T]，非线性算子Egt，T:L（FT）7→ 映射给定终端条件ξ的L（Ft）∈ 上述BSDE（用Xt表示）的解在时间t时的第一个分量的L（Ft）称为时间t时的条件g-期望。也很清楚，这个概念可以扩展到（确定性）终止时间t被一般停止时间τ代替的情况∈ Tand t由停止时间S代替，使S≤ τa.s.我们现在在映射ψ上给出假设。Leb×dP-a.e.（t，ω）的假设2.2∈ [0，T]×Ohm, 地图y∈ R 7→ ψ（t，ω，y）是非减量的，右连续的，值为[0，1]∪ {-∞} 其左连续逆Φ（t，ω，·）满足Φ：[0，t]×Ohm × [0, 1] 7→ [0，1]是可测量的。左连续逆是指由Φ（t，ω，x）：=inf{y确定的（t，ω）的左连续映射∈ R、 ψ（t，ω，y）≥ x} 其中s等于Φ（t，ω，ψ（t，ω，x））≤ x个≤ ψ（t，ω，Φ（t，ω，x））。备注2.1让我们讨论具有弱反射的BSDE的适定性。设ξ为平方可积FT可测随机变量，使得Eτ[ξ]=ua.s。由于鞅表示定理，存在β∈ hsmβT=ξa.s.，其中MβT=u+RTτβsdWs。

与驱动器和障碍物（Φ（t，Mβt））（在上述假设下存在）相关的反射BSDE的解（Yβt，Zβt）是具有弱反射的BSDE的上解。注意，由于弱约束，我们没有解的唯一性。我们现在介绍（τ，u）-初始上解的集合（τ，u），其定义如下：Θ（τ，u）：={Yτ：（Y，Z）是（2.7）和（2.8）}的上解。本文的目的是研究集合Θ（τ，u）的下界，即ess infΘ（τ，u）。我们想再次强调，在风险约束τ[ψ（θ，Yθ）]下，该数量与对应于近似套期保值的美国人价格之间的关系≥ ua.s.，对于所有θ∈ Tτ。2.2具有“强”约束的等价重新表述我们现在的主要目的是表明我们可以将问题重新表述为具有“强”约束的等价问题，类似于Europeanoptions的部分套期保值问题（我们在马尔可夫框架中参考Bouchard、Elie、Touzi[4]，在非马尔可夫环境中参考Bouchard、Elie、Reveillac[3]）。为此，让Vτ，u表示集合元素α∈ Hsuch thatMτ，u，α：=u+Zτ∨.ταsdWstakes值在[0，1]中。（2.9）这种情况下的主要困难是，我们可以先验地得到一个等价的公式，其中受控鞅取决于s顶点时间θ，即每个θ∈ Tτ存在αθ∈ hseτ[Φ（θ，Yθ）]≥ u等于玩具θ≥ Φ（θ，Mαθθ）a.s.我们在下一个引理中看到，我们可以克服这个问题，并获得一个独立于停止时间θ的受控马丁大风的存在性。引理2.3设（Yt）是一个可选过程，属于满足（2.7）-（2.8）的砂，τastopping time属于Tandua Fτ-可测随机变量。