一种求解外生Ramsey最优策略的简单算法

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英文标题：
《A Simple Algorithm for Solving Ramsey Optimal Policy with Exogenous
  Forcing Variables》
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作者：
Jean-Bernard Chatelain, Kirsten Ralf
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This algorithm extends Ljungqvist and Sargent (2012) algorithm of Stackelberg dynamic game to the case of dynamic stochastic general equilibrium models including exogenous forcing variables. It is based Anderson, Hansen, McGrattan, Sargent (1996) discounted augmented linear quadratic regulator. It adds an intermediate step in solving a Sylvester equation. Forward-looking variables are also optimally anchored on forcing variables. This simple algorithm calls for already programmed routines for Ricatti, Sylvester and Inverse matrix in Matlab and Scilab. A final step using a change of basis vector computes a vector auto regressive representation including Ramsey optimal policy rule function of lagged observable variables, when the exogenous forcing variables are not observable.
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中文摘要：
该算法将Stackelberg动态博弈的Ljungqvist和Sargent（2012）算法扩展到包含外生强迫变量的动态随机一般均衡模型。它基于Anderson、Hansen、McGrattan、Sargent（1996）贴现增广线性二次调节器。它增加了求解Sylvester方程的中间步骤。前瞻性变量也最佳地锚定在强制变量上。这个简单的算法需要在Matlab和Scilab中为Ricatti、Sylvester和Inverse matrix编写已编程的例程。当外部强迫变量不可观测时，使用基向量变化的最后一步计算向量自回归表示，包括滞后可观测变量的拉姆齐最优策略规则函数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> A_Simple_Algorithm_for_Solving_Ramsey_Optimal_Policy_with_Exogenous_Forcing_Variables.pdf (111.87 KB)

2022-6-1 06:59:24 上传

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关键词：Ramsey 最优策略 RAM mse AMS

求解具有外生力变量的拉姆齐最优策略的一个简单算法*和Kirsten Ralf+2018年6月20日摘要该算法将Stackelbergdynamic博弈的Ljungqvist和Sargent（2012）算法扩展到包含外生强迫变量的动态随机一般均衡模型的情况。它是基于Anderson，Hansen，McGrattan，Sargent（1996）贴现增广线性二次调节器的。它在求解Sylvester方程时添加了一个中间步骤。前瞻性变量也最佳地集中在强制变量上。这个简单的算法需要在Matlab和Scilab中为Ricatti、Sylvester和I Reverse matrix编写已编程的例程。当外部强迫变量不可观测时，使用基向量变化的最后一步计算向量自回归表示，包括滞后可观测变量的拉姆齐最优策略规则函数。JEL分类号：C61、C62、C73、E47、E52、E61、E63。关键词：Ramsey最优策略，Stackelberg动态博弈，算法，强制变量，增广线性四次调节器。1引言容格维斯特和萨金特（2012年，第19章）提供了一种用于拉姆齐最优策略的斯塔克伯格动态博弈的优雅算法。所有动态随机一般均衡（DSGE）模型都包含外生自回归强迫变量，这些变量没有包含在其算法中。该算法将动态Stackelberg博弈的Ljungqvist和Sar-gent（2012，第19章）算法扩展到包含外生强迫变量的DSGE模型。我们使用Anderson、Hansen、McGrattan、Sargent（1996）贴现增广线性二次型调节器。在求解线性二次调节器的Riccati方程的常用算法（Amman（1996））之后，该算法在求解Sylvester方程以完成政策规则方面又增加了一步。

它还为前瞻变量在预定强制变量上的最佳初始锚添加了一个术语。该算法易于编码和检查。这很简单，因为它只调用在Matlab中求解Ricatti和Sylvester方程以及逆矩阵的alreadyoptimized例程*巴黎经济学院，巴黎第一大学索邦万神殿，PjSE，48 Boulevard Jourdan，75014 Paris。电子邮件：jean bernard。chatelain@univ-巴黎1。fr+ESCE国际商学院，10 rue Sextius Michel，75 015 Paris，电子邮箱：Kirsten。Ralf@esce.fr .和Scilab。使用基向量变化的最后一步计算拉姆齐最优策略的向量自回归表示。在拉姆齐最优政策规则的这种表述中，如果所有外生强制变量都不可观测，政策工具会对滞后的可观测变量作出反应。2一个简单的算法2.1斯塔克伯格问题我们参考容格维斯特和萨金特（2012），第19章，一步一步。Stackelbergleader是政府，Stackelberg追随者是私营部门。设kt为初始条件为kgiven的可控预定静态变量的nk×1向量，xtan为nx×1的内生变量的向量，在没有给定初始条件的情况下可以在t处自由跳跃，x为政府政策工具的uta向量。Letyt=（kTt，xTt）Tbe an（nk+nx）×1矢量。我们对Sargent和Ljungvist（2012）Stackelberg问题的唯一补充是将其包括在内，这是一个nz×1的非可控、外生强迫状态变量向量，如自回归冲击。所有变量均表示为稳态下的绝对偏差或比例偏差。根据kand z而非x的初始条件，政府希望最大化：-+∞Xt=0βtYTTQYYYYT+2yTtQyzzt+uTtRut（1） 其中β是决策者的贴现因子，她的政策偏好是矩阵Q、R中包含的相对权重。

Qyy年≥ 0是一个（nk+nx）×（nk+nx）正对称半无限矩阵，R>0是一个p×p严格正对称矩阵，因此决策者对政策工具的波动性至少有一点担忧。Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996）提出的可控石油与非可控强迫变量Syttqyztis的叉积。据我们所知，到目前为止，在Ramsey o ptima lpolicy模型中，Qyz=0始终为零。这简化了步骤3中的Sylvester方程。私营部门行为的政策传导机制可通过以Kalman连续阶梯形式编写的方程组进行总结：Etyt+1zt+1=Ayyayzyazzytzt公司+Byz公司ut（2）A是（nk+nx+nz）×（nk+nx+nz）矩阵。B是政策工具对下一期政策目标yt+1的边际影响的（nk+nx+nz）×p矩阵。ZF通过选择序列{ut，xt，kt+1，zt+1}来最小化其贴现目标函数+∞t=0受政策传导机制（2）和下文详述的2（nx+nk+nz）边界条件约束。线性二次调节器的确定性等价原则（Simon（1956））允许我们使用非随机模型。”如果我们用预测Etxt+1替换xt+1，并在私营部门政策传导机制的右侧添加冲击过程Cεt+1，即reεt+1，我们将获得相同的决策规则。i、 d.具有零均值和单位协方差矩阵的随机向量。”（Ljungqvist和Sargent，2012年，第767页）。决策者的选择可以通过使用Bellman\'s方法的拉格朗日乘数来解决（Ljungqvist和Sargent（2012））。

通过将一系列拉格朗日乘数2βt+1ut+1附加到私营部门政策传导机制约束序列，然后形成拉格朗日函数，解决政策制定者的选择是可行的（但不是必要的）：-+∞Xt=0βtYTTQYYYYT+2yTtQyzzt+uTtRut+2βt+1ut+1（Ayyyt+Byut- 年初至今+1）（3） 不可控变量动力学可以从拉格朗日方程中排除（Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996））。划分LagrangEmulti钳sut与我们的yt划分是一致的，这一点很重要=ktxt公司, 所以ut=uk，tux，t, 式中，ux是前瞻变量拉格朗日乘数的nx×1向量。政策传导机制的一阶条件导致了离散时间线性二次型调节器的线性哈密尔顿系统（Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996））。2（nx+nk+nz）基本条件确定决策者的拉格朗日系统，2（nx+nk+nz）变量（yt，ut，zt），ut决策者的拉格朗日乘数与每个可控变量yt相关（表1）。表1:2（nx+nk+nz）边界条件成员边界条件NZLIMT→+∞βtzt=z*= 0，ztbounded+nk+nxlimt→+∞βtyt=y*= 0<=> 限制→+∞Lyt=0=极限→+∞βtut，ut边界+nk+NZK和Z预定（给定）+nxx=x*<=>Lx=0=u*x、 t=0预定边界条件是给定的预定变量K和Z的初始条件。自然边界条件使得决策者的锚定私营部门前瞻性变量的唯一最优初始值。政策制定者的私营部门远期（拉格朗日乘数）变量的拉格朗日乘数预先确定为0：ux，t=0=0，以确定唯一的最优初始值x=x*私营部门的远期变量。Bryson和Ho（1975），第55页）解释了自然边界条件如下。

“如果t=t时未规定x，则δx（t）=0。事实上，x（t）将有一个最佳值，对于x（t）围绕该值的任意小变化，δL=0。要做到这一点，我们选择Lx（t）=ux，t=0（1），简单地说，损失函数上正向变量x（t）的最佳初始值的微小变化为零。我们已经简单地交换了一个边界条件：给定的x（t）对于另一个（1）。像（1）这样的边界条件有时被称为“自然边界条件”或与极值问题相关的横向条件。”Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996）假设有界折扣二次损失函数：E+∞Xt=0βtyTtyt+zTtzt+UTUTUT!< +∞ （4） 这意味着动态系统特征值的稳定性准则如下（βλi）t< |βλi |<1，因此稳定特征值为λi |<1/√β < 1/ β. 第一步是将矩阵乘以√β如下√βAyy√βBy，以便将Riccati和Sylvester方程f的公式应用于非贴现增广线性二次型调节器（Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996））。2.2初步步骤：检查系统是否稳定消耗1：矩阵对(√βAyy√βBy）是可控制的（所有前视变量都是可控制的）。矩阵对(√βAyy√如果Kalman（1960）可控矩阵具有满秩：秩，则βBy）是可控的pβByβAyyByβAyyBy。。。βnk+nxAnk+nx-1yyBy公司= nk+nx（5）假设2：当非可控变量的转移矩阵具有稳定的特征值，使得λi |<1时，系统是可稳定的/√β.2.3步骤1：线性二次型调节器的稳定解决方案”步骤1和2参见ms，忽略问题的前瞻性（步骤3将考虑这一点）。

如果我们偶尔忽略状态的X成分实际上不是状态向量这一事实，那么Stackelberg问题就具有最优线性调节器的形式。”（Ljungqvist和Sargent（2012，第769页））。当强制变量设置为零zt=0时，线性二次型调节器的稳定解满足：ut=Pyyt（6），其中Py求解矩阵R iccati方程（Anderson、Hansen、McGrattan和Sar gent（1996））：Py=Qy+βa′yyyyyy- β′A′yyPyByR+βB′yPyBy-1βB′yPyAyy（7）线性二次型调节器的最佳规则是：ut=Fyyt（8），其中fyy是在知道Py的情况下计算的（Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996））：Fy=R+βB′yPyBy-1βB′yPyAyy（9）如Simon（1956）确定性等价原理和Kalman（1960）解所示，线性二次型调节器的最优规则参数fy和py与加性随机冲击和初始条件无关。这证实了暂时忽略xis不是状态向量这一事实是正确的。2.4步骤2：增广线性二次调节器的稳定解这是Ljungqvist和Sargent（2012）算法中缺少的额外步骤。增广线性二次调节器的稳定解（Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996））：ut=Pyyt+Pzzt（10），其中Pz求解矩阵Sylvester方程：Pz=Qyz+β（Ayy+ByFy）′PyAyz+β（Ayy+ByFy）′PzAzz（11）。增广线性二次调节器的最佳规则是：ut=Fyyt+Fzzt（12），其中Fzis计算时知道Pz:Fz=R+βB′yPyBy-1βB′y（PyAyz+PzAzz）（13）正如Simon（1956）确定性等价原理和Anderson、Hansen、McGrattan和Sargent（1996）解所证明的，增广线性二次调节器的最佳规则参数Fzand和PzAzz与加性随机冲击和初始条件无关。

这证实了暂时忽略xis不是状态向量这一事实是正确的，直到步骤3.2.5步骤3：求解x，前瞻性变量的最佳初始锚。决策者对私营部门前瞻性变量的拉格朗日乘数在初始日期为u0，x=0。最佳稳定条件为：u0，ku0，x=Py，kPy，kxPy，kxPy，xkx公司+Pz、kPz、xz=u0，k（14） 这意味着Py，kxk+Py，xx+Pz，xz=0（15），这提供了最佳的初始锚定：x=P-1y、xPy、kxk+P-1y，xPz，xz（16）外源强迫变量加上术语P-关于Ljungqvistand Sargent（201 2）算法的1y、xPz、XZ。2.6步骤4：计算脉冲响应函数和最佳损耗函数给出了传动机构。计算Fy和Fz提供了最优策略规则的简化形式。计算Py和Pz提供缺少的初始条件。Etyt+1zt+1=Ayyayzyazzytzt公司+Byz公司utut=Fyyt+Fzztx=P-1y、xPy、kxk+P-1y、xPz、xz、kand Zgive此信息有助于计算脉冲响应函数（变量YTzt和ut的期望值的最佳模式），并在贴现损失函数中随时间求和其值。与基于Miller和Salmon（1985）解的其他算法相比，无需计算所有决策者随时间变化的所有值Lagrange乘数ut。这些算法随后添加一个步骤，该步骤是向量基f的变化或消除Lagrange乘数。

知道变量的最优路径（ytzt），可以在该算法结束时计算拉格朗日乘数：ut=Pyyt+Pzzt（17）2.7步骤5（可选）：拉姆齐最优政策决策者的可实现表示无法实现拉姆齐最优政策规则，其中政策工具响应于不可观测的变量，例如冲击Ut或L agrange乘数ut。它们可以实现Ramsey最优政策规则的观测等效表示，其中政策工具响应滞后的可观测变量，包括政策工具的滞后。这也是用向量自回归方程组检验拉姆齐最优策略的一个有用表示。（H）Etyt+1zt+1=Ayy+ByFyAyz+ByFzzyAzzytzt公司+εtut=Fyyt+Fzztx=P-1y、xPy、kxk+P-1y、xPz、xz、kand zgiven<=>Etyt+1 T+1= M-1（A+BF）米ytut公司+ M-1.εtzt=F-1zut- F-1zFyytx=P-1y、xPy、kxk+P-1y、xPz、xz、kand zgivenwhereA+BF=Ayy+ByFyAyz+ByFzzyAzzytut公司= M-1.ytzt公司带M-1=1 0FyFz在动态随机一般均衡模型的估计中，可控制的预定变量通常在所有周期都为零。它们是与可控前瞻变量一样多的自回归预测变量。如果政策工具的数量等于可控的前瞻性政策目标的数量，则FZI是一个可以可逆的方阵。一种方法是消除强制变量ZT，并在递归方程中用策略工具utin替换它们，改变向量基。然后在向量自回归模型中表示前瞻性变量和政策工具规则最优政策动态。拉姆齐最优政策规则的这种表示是这样的：政策工具ut响应于政策工具ut的滞后-1和可观察政策目标的滞后-1.

这一代表性可由决策者实施。它可以由计量经济学家估计（Chatelainand Ralf（2017a））。2.8示例Schatelain和Ralf（2017a）将此算法用于新凯恩斯菲利普斯曲线作为货币政策传导机制。他们认为这相当于使用待定系数方法的Gali（2015）解决方案。他们使用步骤5的可实现表示来估计结构参数。Chatelain和Ralf（2017b）将此算法用于新凯恩斯菲利普斯曲线和消费欧拉方程，作为货币政策传导机制。他们检查拉姆齐最优策略规则的步骤2简化形式的确定性。Chatelain和Ralf（2016）将此算法用于Taylor（1999）货币政策传导机制。他们检查泰勒原理是否适用于拉姆齐最优策略。3结论该算法补充了Ljungqvist和Sargent（2012）算法，并考虑了强制变量。它很容易编码、检查和实现。参考文献【1】安曼H.（1996）。线性二次模型的数值方法。安曼H.M.、肯德里克D.A.和鲁斯特J.（编辑s）《计算经济学手册》，阿姆斯特丹Elsevier，1587-618。[2] Anderson E.W.、Hansen L.P.、McGrattan E.R.和Sargent T.J.（1996）。形成和估计动态线性经济的机制。在安曼H.M.，KendrickD。A、 Rust J.（编辑）《竞争经济学手册》，爱思唯尔，阿姆斯特丹，1117-252。[3] Bryson A.E.和Ho Y.C.（1975）。应用最优控制，John Wiley and Sons，纽约。[4] Chatelain J.B.和Ralf K.（2016）。反周期与顺周期泰勒原理。Econstor工作文件。[5] Chatelain J.B.和Ralf K.（2017a）。我们能确定美联储的偏好吗？EconStor工作文件。[6] Chatelain J.B.和Ralf K.（2017b）。