一种带记忆的期权定价模型

设f:[0，T]×C→ R和G:[0，T]×C→ R由f（t，η）定义：=LZ-Lη（u）du，t∈ [0，T]，g（T，η）：=LZ公司-L（η（u）- f（u，η））du1/2，t∈ [0，T]，它们是满足定理2.2.3中条件的联合连续泛函。具有完整记忆的股票价格模型在本节中，我们介绍了一个可行的股票价格模型，其中波动率和漂移项取决于当前股票价格的有限历史。这种模型的存在是通过“闭合记忆间隙”，即通过证明L(Ohm, C类([-五十、 T]，R），如L→ 0，将FDE（2.1）的解转换为具有完整有限内存的进程。3.1. 框架设L>0，考虑一只股票，其在时间t的价格由过程（S（t））t给出∈[0，T]满足随机泛函微分方程：dS（t）=f（t，St）S（t）dt+g（t，St）S（t）dW（t），t∈ [0，T]S（T）=θ（T），T∈ [-五十、 0），（3.1）在过滤概率空间上(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）满足通常条件。初始过程θ∈ L(Ohm, C） 是F-可测量的。过程W是一个一维布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）和Sti由St（s）给出：=s（T+s），s∈ [-五十、 0]，对于任何t∈ [0，T]。泛函f:[0，T]×L(Ohm, C）→ 带ME MORY 9和g的RAN期权定价模型：[0，T]×L(Ohm, C）→ R在第二个变量中是联合连续的、全局有界的和一致的Lipschitz，即|f（t，ψ）|≤ fmaxand | g（t，ψ）|≤ gmaxand | f（t，ψ）- f（t，ψ）|+| g（t，ψ）- g（t，ψ）|≤ αkψ- ψkL(Ohm,C） （3.2）对于所有t∈ [0，T]和ψ，ψ，ψ∈ L(Ohm, C） 。Lipschitz常数α与t无关∈ [0，T]。（3.1）的溶液为（Ft）t∈[0，T]-调整流程∈ L(Ohm, C类([-五十、 T]，R））从θ开始，满足It^o积分方程（T）=θ（·）（0）+Rtf（u，Su）S（u）du+Rtg（u，Su）S（u）dW（u），t∈ [0，T]θ（·）（T），T∈ [-五十、 0）。（3.3）备注3.1。

即使对f和g施加有界性条件，SFDE（3.1）也不满足[16]中介绍的一般存在性和唯一性条件，即泛函▄f（t，η）：=f（t，η）η（0）和▄g（t，η）：=g（t，η）η（0），t∈ [0，T]，η∈ L(Ohm, C） ，而不是全球性的利普希茨。可以在f和g上设置一个修改的Lipschitz条件，以使泛函▄f和▄g成为g全局Lipschitz（见C hang[6]）。然而，为了推导公式的期权定价，我们使用具有记忆缺口的模型，并将其收敛到具有完整有限记忆的模型。因此，我们将通过关闭SFDE（2.1）中的memorygap给出存在唯一性证明。在此过程中，近似方案将是可行的股票价格模型。3.2. 可行解的存在唯一性。定理3.2。考虑第3.1节的框架。SFDE（3.1）具有满足S（t）=θ（0）e xp的唯一解Ztf（u，Su）du+Ztg（u，Su）dW（u）-Ztg（u，Su）du, t型∈ [0，T]。（3.4）为了证明定理3.2，我们定义了过程序列sk（t）=θ（0）+Rtf（u，Sku-1/k）Sk（u）du+Rtg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u），如果t∈ [0，T]^θ（T），如果T∈ [-1.- 五十、 0），（3.5）k≥ 1、对于t∈ [-1，T]，由Skt（s）给出的记忆段Sktis：=Sk（T+s），s∈ [-五十、 0）。对于t∈ [-1，T]，定义Ft：=F。过程^θ由^θ（T）给出=θ（t），t∈ [-五十、 0]，θ(-五十） ，t∈ [-1.- L-五十] 。10 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDFro m第2节，每个Skexists唯一且满足k（t）=θ（0）expZtf（u，Sku-1/k）du+Ztg（u，Sku）-1/k）dW（u）-Ztg（u，Sku-1/k）du, t型∈ [0，T]。定理3.2的证明遵循命题ns 3.3至3.10。3.3的提案。对于任何γ≥ 1和每个t∈ [0，T]，流程满足“supv”∈ [0，t]| Sk（v）| 2γ#≤ Uγ，其中Uγ是独立于k证明的常数。为简单起见，考虑一个正整数T。

应用Je nsen的不等式（有限形式和积分形式）和引理2.4，我们得到了∈ [0，T]，E“supv∈ [0，t]| Sk（·）（v）| 2γ#=E supv∈ [0，t]θ（0）+Zvf（u，Sku-1/k）Sk（u）du+Zvg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u）2γ≤ E supv公司∈ [0，t]2γ-1|θ(0)|2γ+ 32γ-1.Zvf（u，Sku-1/k）Sk（u）du2γ+ 32γ-1.Zvg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u）2γ!≤ E2γ-1|θ(0)|2γ+ 32γ-1t2γ-1E级Zt | f（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu+ 32γ-1Aγtγ-1E级Zt | g（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu≤ 32γ-1E |θ（0）| 2γ+32γ-1tγ-1f2γmaxZtE“supv∈ [0，u]| Sk（v）| 2γ#du+32γ-1Aγtγ-1g2γmaxZtE“supv∈ [0，u]| Sk（v）| 2γ#du≤ 32γ-1E |θ（0）| 2γ+32γ-1Tγ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）中兴supv∈ [0，u]| Sk（v）| 2γdu，其中Aγ：=（4γ2γ-1)γ. 因此，从Gronwall不等式中，我们得到∈ [0，T]：E“supv∈ [0，t]| Sk（v）| 2γ#≤ 32γ-1E |θ（0）| 2γe2γ-1Tγ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）T：=Uγ。带有ME MORY 11备注3.4的期权定价模型。命题3.3给出了Ehsupv的统一界∈ [0，t]| Sk（v）| 2γi。我们能够从f和g的全局有界性中获得这样一个界。该结果可以与命题2.5中获得的（非均匀）界进行比较，其中漂移和微分项仅假设线性增长条件。3.5的提案。对于任意整数γ≥ 1，每个sksaties E | Sk（t）- Sk（s）| 2γ≤Bγ| t- 所有s、t的s |γ∈ [0，T]，其中Bγ是一个独立于k.Proof的常数。通过Jensen不等式（有限形式和积分形式）、引理2.4和命题3.3，我们得到了任何0≤ s、 t型≤ T：呃Sk（t）- Sk（s）2γi=E“Ztsf（u，Sku-1/k）Sk（u）du+Ztsg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u）2γ#≤ 22γ-1吨- s | 2γ-1EZts | f（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu+22γ-1Aγ| t- s |γ-1EZts | g（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu≤ 22γ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）| T- s |γ-1ZtsE | Sk（u）| 2γdu≤ 22γ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）| T- s |γ-1Uγ| t- s |=Bγ| t- s |γ，其中Bγ：=22γ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）Uγ。接下来，我们给出了一系列Ba值随机过程的Kolmogorov连续性准则。该定理将用于命题3.7。定理3.6。

（随机过程序列的Kolmogorov连续性准则）。设{Xk（t）}∞k=1，t∈ [0，T]，是Banach空间E中具有值的随机过程序列。假设T存在正常数ρ，c和ρ>1，均独立于k，满足[kXk（T）]- Xk（s）kρE]≤ c | t- s |ρ，对于每个s，t∈ [0，T]。然后，每个xkha都是一个连续的修改Xk。此外，设b是小于ρ的任意正数-1ρ. 然后存在一个E[ξρk]<H的正态变量ξkw，其中H是一个独立于k的常数，例如kXk（t）-Xk（s）kE≤ ξk | t- s | b，对于每个s，t∈ [0，T]和a.s。。证据读者可参考Kunita【14】，第31页，以获取证据。3.7的提案。Letβ∈ （0，1/2）为固定常数。每个Sksatis fies（i）| Sk（t）- Sk（s）|≤ ck | t- 所有s、t的s |β∈ [0，T]a.s。；（二）kSkt- SkskL公司(Ohm,C）≤ 3c | t- s | 2β12 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMED+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|适用于所有- 1.≤ s<t≤ T、 a.s.，其中▄c是一个独立于k的常数，ck是一个满足E（c2ρk）的正随机变量≤ c，ρ为t han1以上的最小整数-2β.证据设ρ为大于1的最小整数-2β. 来自提案3.5，E | Sk（t）-Sk（s）| 2ρ≤ Bρ| t-s |ρ，对于任何s，t∈ [0，T]。自β<ρ-12ρ，则根据Kolmogorov的连续性准则（定理3.6），存在一个po sitiverandom变量cks，使得| Sk（t）- Sk（s）|≤ ck | t- 所有s、t的s |βa.s∈ [0，T]，带E（c2ρk）≤ c，其中▄c是一个独立于k的常数。这证明了第（i）部分。我们现在开始证明第（二）部分。对于任何-1.≤ s<t≤ T，kSkt- SkskL公司(Ohm,C） =E supv∈ [-五十、 0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|≤ E supv公司∈ (-（s）∧L）∧0,0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|（3.6）+E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|（3.7）+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|。

（3.8）使用第（i）部分，术语（3.6）变为：E supv∈ (-（s）∧L）∧0,0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|≤ E supv公司∈ (-（s）∧L）∧0,0]ck | t- s |β= E（ck | t- s | 2β）=E（ck）| t- s | 2β≤ c | t- s | 2β。此外，从第（i）部分中，我们还得到了（3.7）：E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|≤ 2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]{| Sk（t+v）- Sk（0）|+|^θ（0）-^θ（s+v）|}≤ 2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]{ck | t+v | 2β+|θ（0）-^θ（s+v）|}≤ 2E（ck）| t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|θ(0) - θ（s+v）|≤ 2▄c▄t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|。最后，（3.8）变成：E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]| Sk（t+v）-Sk（s+v）|=E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|。因此，对于-1.≤ s<t≤ T、 一个含ME-MORY-13kSkt的期权定价模型- SkskL公司(Ohm,C）≤ c | t- s | 2β+2 | c | t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|=3c | t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|。3.8的提案。序列（Sk）∞k=1接近极限S∈ L(Ohm, C类([-1.-五十、 T]，R））。证据我们首先注意到∈ [-1，T]，kSlt- SktkL公司(Ohm,C） =E sups∈[-五十、 0]| Sl（t+s）- Sk（t+s）|≤ 电子sups∈[-1.-五十、 t]| Sl（s）- Sk（s）|=E sups∈[0，t]| Sl（s）- Sk（s）|。

（3.9）那么，对于任何t∈ [0，T]和l>k，我们有∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|=E supv∈ [0，t]Zv{f（u，Slu-1/l）Sl（u）- f（u，Sku-1/k）Sk（u）}du+Zv{g（u，Slu）-1/l）Sl（u）- g（u，Sku-1/k）Sk（u）}dW（u）≤ 2tEZt | f（u，Slu-1/l）Sl（u）- f（u，Sku-1/k）Sk（u）| du+2·4EZt | g（u，Slu）-1/l）Sl（u）- g（u，Sku-1/k）Sk（u）| du≤ 2tEZt（2 | f（u，Slu-1/l）- f（u，Sku-1/k）| | Sl（u）|+2 | f（u，Sku-1/k）| | Sl（u）- Sk（u）|）du+8EZt（2 | g（u，Slu-1/l）- g（u，Sku-1/k）| | Sl（u）|+2 | g（u，Sku-1/k）| | Sl（u）- Sk（u）|）du≤ 4α（t+4）EZtkSlu-1/l- Sku（库存单位）-1/kkL(Ohm,C） | Sl（u）| du+4EZt（tfmax+4gmax）| Sl（u）- Sk（u）| du14 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMED≤ 8α（t+4）Zt（kSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） +千平方英尺-1/k- Sku-1/kkL(Ohm,C） ）E | Sl（u）| du+4（tfmax+4gmax）中兴通讯| Sl（u）- Sk（u）| du≤ 8αU（t+4）Zt（kSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） +E supv∈ [0，u]| Sl（v）- Sk（v）|）du+4（tfmax+4gmax）Ztsupv∈ [0，u]E | Sl（u）- Sk（u）| du≤ 4[2αU（T+4）+T fmax+4gmax]中兴supv∈ [0，u]| Sl（v）- Sk（v）|）du+8αU（t+4）ZtkSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜。（3.10）设C：=8αU（t+4），C：=4[2αU（t+4）+t fmax+4gmax]。然后，将Gronwall不等式应用于上述不等式，我们得到了supv∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|≤ CeCtZtkSlu公司-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜。（3.11）我们现在展示RTKSLU-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜邦→ 0为l，k→ ∞. 从位置3.7（ii）开始，任何u∈ [0，T]，kSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,Cd）≤ 3℃1/k- 1/l | 2β+2 E supv∈ (-{（u-1/l）∧L}∧0,-{（u-1/k）∧L}∧0]|^θ(0) -^θ（u- 1/k+v）|+E supv∈ [-L-{（u-1/l）∧L}∧0]|^θ（u-1/l+v）-^θ（u- 1/k+v）|。（3.12）设>0。根据^θ的一致连续性，存在0<δ<，使得| s- s |<δ=> |^θ（s）-^θ（s）|<最大值6c2β，r.然后，对于任何l>k>δ，则得出l<k<δ，然后，对于任何v∈(-{（u-1/l）∧L}∧0, -{（u-1/k）∧L}∧0]，我们有| u-1/k+v |≤k-l<δ。因此，对于任何l>k>δ，它遵循（3.12）thatkSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,Cd）≤ 3摄氏度6c2β2β+ 2r+r= ，对于任何u∈ [0，T]。

因此，对于任何l>k>δ，ZtkSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,Cd）du≤Ztdu公司≤ T。MORY 15的期权定价模型这表明RTKSLU-1/l-Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜邦→ 0为l，k→ ∞. 因此，从不等式（3.11），E supv∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|→ 0 a s l，k→ ∞.因此，序列（Sk）∞k=1是L中的柯西序列(Ohm, C类([-1.-五十、 因此收敛到极限S∈ L(Ohm, C类([-1.- 五十、 T]，R））。从（3.9）中，对于每个t∈ [0，T]，（Skt）∞k=1接近Stin L(Ohm, C） 。3.9的提案。流程S|[-五十、 满足SFDE（3.1）的要求，可以写成（3.4）。证据为了证明这一点，我们将极限取为k→ ∞ （3.5）两侧。（3.5）的左侧收敛到L中的S(Ohm, C类([-1.- 五十、 T]，R））。此外，S是（Ft）t∈[0，T]-适应，因为每个滑雪板。此外，在类似于（3.10）的计算中，E supv∈ [0，t]Zv{f（u，Su）S（u）- f（u，Sku-1/k）Sk（u）}du+Zv{g（u，Su）S（u）- g（u，Sku-1/k）Sk（u）}dW（u）≤ 4[2αU（T+4）+T fmax+4gmax]中兴supv∈ [0，u]| S（v）- Sk（v）|）du+8αU（t+4）ZtkSu- 苏-1/kkL(Ohm,C） 杜。（3.13）关于[0，T]的连续性 t 7→ 接下来是ZTKSU- 苏-1/kkL(Ohm,C） =Z1/kkSu- θkL(Ohm,C） +Zt1/kkSu- 苏-1/kkL(Ohm,C）→ 0作为k→ ∞.此外，如前所述，E supv∈ [0，u]| S（v）- Sk（v）|→ 0作为k→ ∞.因此，（3.13）收敛到0作为k→ ∞. 这表明，对于任何t∈ [0，T]，在L中，（3.5）的右侧s ide收敛到（3.3）(Ohm, C类([-五十、 T]，R））作为k→ ∞.因此，S|[-五十、 满足SFDE（3.1）和过程n（T）：=Rtf（u，Su）du+Rtg（u，Su）dW（u），T∈ [0，T]是（Ft）T∈[0，T]-自适应连续半鞅。然后我们可以将It^o公式应用于半鞅dS（t）=S（t）dN（t），t∈ [0，T]S（0）=θ（0），给出（T）=θ（0）e xpZtf（u，Su）du+Ztg（u，Su）dW（u）16 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMED-Ztg（u，Su）du, t型∈ [0，T]。3.10的提案。（唯一性）如果▄S是（Ft）t∈[0，T]-适应过程满足（3.1），然后￠S=S|[-五十、 T]a.s。。证据

在类似于（3.10）的计算中，我们发现差异- S|[-五十、 T]kL(Ohm,C类([-五十、 T]，R））≤ E supv公司∈ [0，T]|S（v）- S（v）|=E supv∈ [0，T]Zv{f（u，~Su）~S（u）- f（u，Su）S（u）}du+Zv{g（u，~Su）~S（u）- g（u，Su）S（u）}dW（u）≤ 4[αU（T+4）+T fmax+4gmax]中兴supv∈ [0，u]|S（v）- S（v）|）du。因此，根据Gronwall不等式，可以得出∈ [0，T]|S（v）- S（v）|=0=>S=S|[-五十、 T]a.s。。定理3.11。Letβ∈ （0，1/2）为固定常数。如果初始过程θ满足θ（t）-θ（s）| 2γ≤ Cθ| t- s |γ，（3.14）对于任何γ>1，其中Cθ是一个正常数，那么θ是路径β-H¨older连续的andE supv∈ [0，t]| S（v）- Sk（v）|≤ ck2β，其中c是独立于k证明的常数。设ρ>1-2β为整数。从（3.14）和β<ρ-12ρ，Kolmogorov连续性准则（定理3.6）意味着存在一个正态变量cθ，使得|θ（t）-θ（s）|≤ cθ| t-s |βa.s.，带E（cγθ）≤ cθ，其中▄cθ是一个正常数。也就是说，θ是沿路径的β-H–older连续的。然后注意到^θ也是沿β-H–older连续的。的确，对于-1.-L≤s<t≤ 0，|^θ（t）-^θ（s）|=|θ（t）-θ（s）|≤ cθ| t- s |β，-L≤ s、 t型≤ 0 |θ（t）-θ(-五十） |≤ cθ| t+L |β≤ cθ| t- s |β，s<-五十、 t>-L|θ(-L）- θ(-五十） |=0≤ cθ| t- s |β，-1.- L≤ s、 t<-五十、 那么命题3.7（ii）和θ的β-H¨older连续性意味着kskt- SkskL公司(Ohm,C）≤ 3c | t- s | 2β+2E supv∈ [-（t∧五十） ，则，-（s）∧L）]cθ| s+v+E supv∈ [-L-（t∧五十） ]cθ| t- s|≤ 3c | t- s | 2β+2E（cθ）| t- s | 2β+E（cθ）| t- s | 2β=3（≈c+1）| t- s | 2β，对于任何- 1.≤ s<t≤ T因此，它遵循ZTKSLU-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜邦≤ 3T（▄c+▄cθ）k-l2β.因此，从不等式（3.11）中，我们得到了supv∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|≤ CeCt3T（▄c+▄cθ）k-l2β.最后，让我→ ∞ c：=3CT eCt，我们得到supv∈ [0，t]| S（v）- Sk（v）|≤ ck2β.命题3.3-3.10完成了定理3.2的证明。

定理3.11给出了近似格式（3.5）的收敛顺序，当初始过程θ与β是β-H-older连续的∈ (0, 1/2). 近似格式（3.5）可用作（3.1）的数值方法。注意，如果θ（0）是严格正的，那么定理3.2.4中的解也是正的。带记忆间隙的期权定价公式在本节中，我们提出了第2节中介绍的股票动态的期权定价公式。这种公式及其推导是[1]中介绍的“延迟B-lack-Scholes公式”的扩展。设L，L>0，T是L的倍数，并考虑一只股票，其在T时的价格由满足SFDE的过程S给出dSl（t）=f（t，Slt-l） Sl（t）dt+g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t），t∈ [0，T]Sl（T）=θ（T），T∈ [-l- 五十、 0），（4.1），其中f：[0，T]×L(Ohm, C）→ R、 g:[0，T]×L(Ohm, C）→ R和^θ满足定理2.3的条件（参见▄f，▄g，^Оθ）。此外，假设^θ为严格正，且每当η为严格正时，g（t，η）>0。（4.2）还假设所有t的Ft=fwt∈ [0，T]，其中（FWt）T∈[0，T]是由布朗运动W生成的过滤。考虑到不存在交易成本，并且可以及时连续买卖股票和债券，我们得出以下定理。定理4.1。设{B，Sl}为市场，以便≥ 0，B（t）=ert，t∈[0，T]，这样SLI由SFDE描述（4.1）。考虑一下这个市场上的一个偶然目标Z（例如，在SLT上写下的一个带有matu r ityT的期权的支付）。

那么市场是完全的，公平价格Vlof Z由Vl（t）=e给出-r（T-t） EQl[Z | FSlt]，t∈ [0，T]，其中ql由dQl=ρl（T）dP定义，ρl（T）由ρl（T）给出：=exp-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt）-l） dW（u）-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） 哦！杜邦.18 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedth套期保值策略πl=（πlSl，πlB）由πlSl（t）=erthl（t）Sl（t）g（t，Slt）给出-l） ，πlB（t）=e-rT{EQl[Z | FSlt]- πlSl（t）Sl（t）}，t∈ [0，T]，其中hl由ml（T）=EQl[e）给出-rTZ]+Zthl（u）dWl（u），t∈ [0，T]。证据为了应用Girsanov定理[9]，我们定义了过程XL（t）：=-{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） ，t∈ [0，T]。因为我们假设θ是严格正的a.s.，所以它来自于Slt的定理m2.2-lis对所有t均为严格正∈ [0，T]a.s。。然后，根据（4.2），Xlis（a.s.）定义良好。在定理2.2的证明中，我们看到过程[0，T] t 7→f（t，Slt-l） 和[0，T] t 7→ g（t，Slt-l） 连续和（Ft-l） t型∈[0，T]-调整。因此，Xl（t）是Ft-l-可测量和RT | Xl（u）| du<∞ a、 每个t的s∈ [0，T]。这意味着随机积分-（k）-1） lT公司-klXl（u）dW（u），k=1，2，Tl，以FT为条件-kl，具有均值为零且方差为zt的正态分布-（k）-1） lT公司-klXl（u）du。（Engel[8]）。然后，通过正态分布的矩母函数公式，我们得到：EP“exp（ZT-（k）-1） lT公司-klXl（u）dW（u））英尺-kl#=exp（ZT-（k）-1） lT公司-klXl（u）du），对于k=1，2，Tl.HenceEP“exp（ZT-（k）-1） lT公司-klXl（u）dW（u）-ZT公司-（k）-1） lT公司-klXl（u）du）英尺-kl#=1，（4.3）对于k=1，2，Tl，使用该表达式的位置-RT公司-（k）-1） lT公司-klXl（u）双瓦英尺-KL可测量。现在定义Random变量szk：=exp（ZT-klXl（u）dW（u）-ZT公司-klXl（u）du），k=1，2，注意，对于每个k，zk是FT-kl可测量。