一种带记忆的期权定价模型

通过感应调节EXPNRTXL（u）dW（u）-RTXl（u）duoon英尺-l、 英尺-2l，依此类推，从（4.3）中可以看出EP“exp（ZTXl（u）dW（u）-ZTXl（u）du）英尺-kl#=带有ME MORY 19a的ZkAN期权定价模型。s、 对于k=1，2，Tl.特别是EP“exp（ZTXl（u）dW（u））-ZTXl（u）du）F#=1。（4.4）在（4.4）的两侧进行勘探，我们到达atEP“exp（ZTXl（u）dW（u）-ZTXl（u）du）#=1。（4.5）因此，Girsanov定理适用于过程Xl，因此l（t）：=W（t）+Zt{f（u，Slu-l）- r} g（u，Slu-l） du，t∈ [0，T]是dQl定义的量度ql下的维纳过程：=ρl（T）dP，w he reρl（T）：=exp-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） dW（u）-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） 哦！杜邦.现在让▄Sl（t）：=Sl（t）B（t）=e-rtSl（t），t∈ [0，T]（4.6）是折扣股价过程。然后，根据It^o的公式，它遵循D▄Sl（t）=▄Sl（t）（f（t，Slt-l）- r） dt+g（t，Slt-l） dW（t）, t型∈ [0，T]，可写为d▄Sl（T）=▄Sl（T）d^Sl（T），T∈ [0，T]，（4.7），其中^Sl（T）是由^Sl（T）定义的连续半马尔代夫：=Zt{f（u，Slu-l）- r} du+Ztg（u，Slu-l） dW（u），t∈ [0，T]。因此，过程^Sl可以写成形式^Sl（t）=Ztg（u，Slu-l） dWl（u），t∈ [0，T]。（4.8）这意味着^sli是(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Ql），andby（4.7），贴现股票价格也是一个连续的局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Ql）。换言之，Qlis是▄Sl的等价局部鞅测度。因此，市场{B，Sl}满足无套利性质。

我们现在确定了市场{B，Sl}的完整性。从方程（4.6）、（4.7）和（4.8）中，我们可以写出▄Sl（t）=▄Sl（t）g（t，Slt-l） dWl（t），t∈ [0，T]。自[0，T] t 7→Sl（t）和[0，t] t 7→g（t，Slt-l） 连续和（Ft）t∈【0，T】调整后，Ft=FWlt=FSlt=FSlt。20 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDLet Z是未定权益，并考虑Ql鞅ml（t）：=EQl[e-rTZ | FSlt]=EQl[e-rTZ | FWlt]，t∈ [0，T]。根据鞅表示定理（参见，例如[18]），Ml（t）=EQl[e-rTZ]+Zthl（u）dWl（u），t∈ [0，T]，其中hl是（FWlt）T∈[0，T]-可预测过程满足ZT | hl（u）| ds<∞ a、 s.defineπlSl（t）：=hl（t）~Sl（t）g（t，Slt-l） ，πlB（t）：=毫升（t）- πlSl（t）~Sl（t），t∈ [0，T]。πl对：=（πlB，πlSl）是一种交易策略，因为（i）πlBandπlSlare{FSlt}t∈[0，T]-可预测（ii）随机积分rtπlSl（T）dSl（T）存在，因为ztπlSl（T）dSl（T）=ZThl（T）Sl（T）g（T，Slt-l） Sl（t）g（t，Slt-l） dWl（t）=Zthl（t）dWl（t）。其值过程由vlπl（t）=πlB（t）ert+πlSl（t）Sl（t）=[Ml（t）给出- πlSl（t）~Sl（t）]ert+hl（t）~Sl（t）g（t，Slt-l） Sl（t）=Ml（t）ert-hl（t）~Sl（t）g（t，Slt-l） ertSl（t）+hl（t）ertg（t，Slt-l） =毫升（t）ert。这意味着贴现值过程由所有t的▄Vπl（t）=Ml（t）决定∈ [0，T]。然后我们有d▄Vπl（t）=dMl（t）=hl（t）dWl（t）=πlSl（t）▄Sl（t）g（t，Slt-l） dWl（t）=πlSl（t）dSl（t），这意味着t{πlB，πlSl}是一种自我融资策略。此外，Vl（T）=erTMl（T）=erTEQl[e-rTZ | FWlT]=erTe-rTZ=Z，因为Z是FWlT可测量的。因此Z是可以实现的，因此，市场是完整的。

这意味着为了使扩大市场{B，Sl，Z}满足无套利性，索赔Z在时间t的价格∈ [0，T]mustbeVl（T）=ertEQl[e-rTZ | FSlt]=e-r（T-t） EQl[Z | FSlt]。下一个定理是定理4.1的一个特例，当索赔Z是到期时间为T的股票S上的欧式看涨期权的付款。具有ME MORY 21定理4.2的期权定价模型。假设市场{B，Sl}满足定理4.1的条件，并假设Vl（t）是股票SLT上的欧式看涨期权在时间t的公允价格，行使价格为K，到期时间为t。设Φ表示标准正态变量的分布函数，即Φ（x）：=√2πZx-∞e-u/2du，x∈ R、 那么对于所有t∈ [T- l、 T]，Vl（T）由Vl（T）=Sl（T）Φ（β+（T））给出- Ke公司-r（T-t） Φ（β-（t） ），（4.9），其中β±（t）：=lnSl（t）K+RTt公司r±g（u，Slu-l）duqRTtg（u，Slu-l） 杜。如果T>l且T<T- l、 thenVl（t）=ertEQl“HSl（t- l） ，则，-ZTT公司-lg（u，Slu-l） du，ZTT-lg（u，Slu-l） 杜！Ft#，其中H由H（x，m，σ）给出：=xem+σ/2Φσ+lnxK公司+ rT+mσ！-Ke公司-rTΦlnxK公司+ rT+mσ！，对于σ，x∈ R+，m∈ R、 套期保值策略由πlSl（t）=Φ（β+（t）），πlB（t）=-Ke公司-rTΦ（β-（t） ），t∈ [T- l、 T）]。证据

取Z=（Sl（t）- K） +在定理4.1中，使用Ft=FSlt，t时期权的定价由vl（t）=e决定-r（T-t） EQl[（Sl（t）- K） +| Ft]=ertEQl[（Sl（T）-Ke公司-rT）+英尺]，t∈ [0，T]。根据定理2.2，我们有▄Sl（t）=e-rtSl（t）=θ（0）expZt{f（u，Slu-l）- r} du+Ztg（u，Slu-l） dW（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦= θ（0）expZtg（u，Slu-l） dWl（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦, t型∈ [0，T]，这意味着▄Sl（T）=▄Sl（T）exp（ZTtg（u，Slu-l） dWl（u）-ZTtg（u，Slu-l） du），t∈ [0，T]。22 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDHenceVl（t）=ertEQl“~Sl（t）exp（ZTtg（u，Slu-l） dWl（u）-ZTtg（u，Slu-l） du）-Ke公司-rT公司+英尺, t型∈ [0，T]。如果t∈ [T- l、 T]thenRTtg（u，Slu-l） du是Ft可测量的，所以当条件为Ft时，TTG（u，Slu）的分布-l） Qlis正态分布下的dWl（u），平均零和方差|σ：=RTtg（u，Slu-l） 杜。即RTtg（u，Slu-l） dWl（u）的分布与∑ξ的分布相同，其中ξ~ N（0，1）。由于￠Sl（t）是Ft可测量的，因此wehaveVl（t）=ertEQlSl（t）e-~σ+~σξ- Ke公司-rT公司+= ertHSl（t），-~σ, ~σ,式中▄H（x，m，σ）：=EQl[（xem+σξ- Ke公司-rT）+]，σ，x∈ R+，m∈ R、 从一个简单的计算中可以看出，H=H，如定理中所定义。因此，对于t∈ [T- l、 T]，Vl（T）=第Sl（t），-~σ, ~σ= Sl（t）Φ（β+（t））- Ke公司-r（T-t） Φ（β-（t） ）。（4.10）对于T>l和T<T- l我们有Vl（t）=ertEQl[（￠Sl（t）- Ke公司-rT）+英尺]=ertEQlhEQl[（￠Sl（T）- Ke公司-rT）+英尺-l]Fti=ertEQl“HSl（T- l） ，则，-ZTT公司-lg（u，Slu-l） du，ZTT-lg（u，Slu-l） 杜！英尺#。我们现在寻找最后一个延迟期内自融资策略πl=（πlB，πlSl）的clos e d形式表示。自πlis自融资以来，我们有DVLπl（t）=πlB（t）dB（t）+πlSl（t）dSl（t）=πlB（t）retdt+πlSl（t）{f（t，Slt-l） Sl（t）dt+g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t）}={πlB（t）rert+πlSl（t）f（t，Slt-l） Sl（t）}dt+πlSl（t）g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t）。（4.11）时间t的期权价格Vl（t）∈ [T- l、 T]由（4.10）给出，取决于（T），St-土地t。

自St-lis英尺-l-可测量t∈ [T-l、 （已知），我们可以把Vl（T）看作是T和Sl（T）的函数，即。Vl（t，Sl（t）），其中Vl（t，x）：=xΦ（β+（t，x））-Ke公司-r（T-t） Φ（β-（t，x）），t∈ [T- l、 T]，x∈ R、 （4.12）ME MORY 23Fro m（4.10）的期权定价模型，Vl∈ C1,2（[T- l、 T]×R，R），因此我们可以将广义It^o\'s公式（第92页，见[14]）应用于getdVl（T，Sl（T））=Vlt（t，Sl（t））+Vlx（t，Sl（t））f（t，Slt-l） Sl（t）+Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t）dt公司+Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t）。（4.13）回想一下，我们有Vlπl（t）=V（t，Sl（t））。然后，通过表示（4.11）和（4.13）（Baxter[4]）的唯一性，我们必须得到t的唯一性∈ [T- l、 T]，πlSl（t）g（t，Slt-l） Sl（t）=Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t），πlB（t）rert+πlSl（t）f（t，Slt-l） Sl（t）=Vlt（t，Sl（t））+Vlx（t，Sl（t））f（t，Slt-l） Sl（t）+Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t）。（4.14）因此，由于g（t，Slt-l） ，对于所有t，Sl（t）>0∈ [T- l、 T]，因此πlSl（T）=Vlx（t，Sl（t）），t∈ [T- l、 T）]。通过简单的计算，我们可以证明Vlx（t，x）=Φ（β+（t，x）），t∈ [T- l、 T）]。这就完成了proo f。备注4.3。L etu，σ>0。如果f（t，η）=u且g（t，η）=σin（4.9），对于t∈ [0，T]，η∈ C类([-五十、 得到了经典的Black-Scholes模型。具有完整（有限）记忆的期权定价公式在本节中，我们介绍了第3节中介绍的股票动态的期权定价公式（作为条件预期）。函数f和G满足第3节的假设，此外，当η严格正时，存在一个常数gminsuch thatg（t，η）>gmin。（5.1）还假设所有t的Ft=fwt∈ [0，T]，其中（FWt）T∈[0，T]是由布朗运动W生成的过滤。考虑到不存在交易成本，并且可以持续按时买卖股票，我们得出以下定理。定理5.1。

设{B，S}是一个市场，对于固定的r≥ 0，B（t）=ert，t∈[0，T]，并且S由SFDE（3.1）描述，对于所有T，θ（T）>0∈[-五十、 每年0]。。考虑这个市场上的或有索赔Z。然后市场是完全的，Z的公平价格V由V（t）=e给出-r（T-t） 公式[Z | FSt]，t∈ [0，T]，其中Q由dQ=ρ（T）dP定义，ρ（T）由ρ（T）给出：=ex p(-ZT{f（t，St）- r} g（t，St）dW（u）-ZT公司{f（t，St）- r} g（t，St）du）。24 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedth套期保值策略π=（πS，πB）由πS（t）=erth（t）S（t）g（t，St），πB（t）=e给出-rT{EQ[Z | FSt]- πS（t）S（t）}，t∈ [0，T]，其中h由m（T）=等式e给出-rTZ]+Zth（u）d^W（u），t∈ [0，T]。当索赔Z是在行使价格为K且到期时间为T的股票上书写的欧洲看涨期权的付款时，期权的公平价格为v（T）=ertEQ“~S（T）exp（ZTtg（u，Su）d^W（u）-ZTtg（u，Su）du）（5.2）-Ke公司-rT公司+英尺, t型∈ [0，T]。（5.3）证明。定义流程Xk（t）：=-{f（t，Skt-1/k）- r} g（t，Skt-1/k）和X（t）：=-{f（t，St）- r} g（t，St），t∈ [0，T]，对于任何正整数k。由于sk和S都是严格正的，因此这两个过程都得到了很好的定义。此外，Xkand X是连续的，且（Ft）t∈[0，T]-调整。从m（4.5）开始，我们有那个EP“exp（ZTXk（u）dW（u）-ZTXk（u）du）#=1。（5.4）我们还希望将Gir-sanov定理应用于过程X，即我们希望显示EP“exp（ZTX（u）dW（u））-ZTX（u）du）#=1。设h:[0，T]×L(Ohm, C）→ R为h（t，η）定义的函数：=-f（t，η）-rg（t，η），注意h是一致有界的：| h（t，η））|≤fmax+rgmin。确定流程{Yk}的顺序∞k=1bydYk（t）=h（t，Skt-1/k）Yk（t）dW（t），t∈ [0，T]Yk（T）=1，T∈ [-1.- 五十、 0），（5.5）具有唯一的非负解，满足yk（t）=expZth（u，Sku-1/k）dW（u）-Zth（u，Sku-1/k）du= 经验值ZtXk（u）dW（u）-ZtXk（u）du, t型∈ [0，T]。

（5.6）ME MORY 25的期权定价模型现在考虑过程（Y（t））t∈[0，T]定义人dY（t）=h（t，St）Y（t）dW（t），t∈ [0，T]Y（T）=1，T∈ [-五十、 0）。（5.7）序列Yk|[-五十、 0]在L中收敛到Y(Ohm, C类([-五十、 T]，R）和Y（T）是给定的nbyy（T）=expZth（u，Su）dW（u）-Zth（u，Su）du= 经验值ZtX（u）dW（u）-ZtX（u）du, t型∈ [0，T]。（5.8）这是定理3.2证明的一个特例。由于这种收敛和方程（5.4），它遵循t | EY（t）- 1 |=| EY（T）- EYk（T）|≤ E | Y（T）- Yk（T）|≤ E支持∈[0，T]| Y（T）- Yk（t）|→ 0 a s k→ ∞.这意味着EY（T）=1，orEP“exp（ZTX（u）dW（u）-ZTX（u）du）#=1。因此，Girsanov定理适用于过程X，因此^W（t）：=W（t）+Zt{f（u，Su）- r} g（u，Su）du，t∈ [0，T]是由dQ定义的度量Q下的维纳过程：=ρ（T）dP，其中ρ（T）：=ex p(-ZT{f（t，St）- r} g（t，St）dW（u）-ZT公司{f（t，St）- r} g（t，St）du）。设S（t）：=S（t）B（t）=e-rtS（t），t∈ [0，T]，（5.9）是贴现股价过程，定义S（T）：=Zt{f（u，Su）- r} du+Ztg（u，Su）dW（u），t∈ [0，T]。那么，It^o的公式意味着ds（t）=s（t）[（f（t，St）- r） dt+g（t，St）dW（t）]=~S（t）d^S（t），t∈ [0，T]。（5.10）最后，请注意，过程^S可以写成^S（t）=Ztg（u，Su）d^W（u），t的形式∈ [0，T]。（5.11）因此，^S是上的连续局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q），并且通过（5.10），计算出的股价S也是一个连续的局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）。26 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDIn换句话说，Q是▄S的等效局部鞅测度。这意味着市场{B，S}满足无套利性质。请注意，Ft=F^Wt=FSt=FSt。

现在设Z为未定权益，并考虑Q鞅（t）：=等式[e-rTZ | FSt]=等式[e-rTZ | F^Wt]，t∈ [0，T]。然后根据鞅表示定理m，m（t）=等式e-rTZ]+Zth（u）d^W（u），t∈ [0，T]，其中h是（F^Wt）T∈[0，T]-可预测过程满足zt | h（u）| ds<∞ a、 定义交易策略π：=（πB，πs）乘以πs（t）：=h（t）~s（t）g（t，St），πB（t）：=M（t）- πS（t）~S（t），t∈ [0，T]。其价值过程由Vπ（t）=πB（t）ert+πS（t）S（t）=M（t）ert给出，这意味着所有t∈ [0，T]。然后我们得到了d▄Vπ（t）=dM（t）=h（t）d^W（t）=πS（t）▄S（t）g（t，St）d^W（t）=πS（t）d▄S（t），这意味着t{πB，πS}是一种自我约束策略。同样，V（T）=erTM（T）=erTEQ[e-rTZ | F^WT]=erTe-rTZ=Z，因为Z是F^WT可测量的。因此Z是可以实现的（因此市场是完整的）。然后为了使增广市场{B，S，Z}满足无轨道性质，在时间t时索赔Z的价格∈ [0，T]必须为v（T）=ertEQ[e-rTZ | FSt]=e-r（T-t） 公式[Z | FSt]。取Z=（S（t）- K） +并将股票价格设置为OREM 3.2中获得的解决方案，时间t时期权的公平价格由v（t）=ertEQ“-S（t）exp（ZTtg（u，Su）d^W（u）给出-ZTtg（u，Su）du）-Ke公司-rT公司+英尺, t型∈ [0，T]。备注5.2。期权定价公式（5.2）允许人们在股票动态如下（3.1）时，使用蒙特卡罗方法估计欧洲期权的公平期权价格。股票动力学（3.1）可以看作是一个具有完整有限记忆的广义计量布朗运动。一个有27个参考文献1的期权定价模型。Arriojas，M.、Hu，Y.、Mohammed，S.-E.、Pap，G.：延迟Black and Scholes公式，《随机分析与应用杂志》25（2007），第2期，471–492.2。Bachelier，L.：《高等师范学院科学年鉴》。3（1900），第17、21–86.3号。贝茨，D。

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