一种带记忆的期权定价模型

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英文标题：
《An Option Pricing Model with Memory》
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作者：
Flavia Sancier and Salah Mohammed
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We obtain option pricing formulas for stock price models in which the drift and volatility terms are functionals of a continuous history of the stock prices. That is, the stock dynamics follows a nonlinear stochastic functional differential equation. A model with full memory is obtained via approximation through a stock price model in which the continuous path dependence does not go up to the present: there is a memory gap. A strong solution is obtained by closing the gap. Fair option prices are obtained through an equivalent (local) martingale measure via Girsanov\'s Theorem and therefore are given in terms of a conditional expectation. The models maintain the completeness of the market and have no arbitrage opportunities.
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中文摘要：
我们得到了漂移项和波动项是股票价格连续历史函数的股票价格模型的期权定价公式。也就是说，股票动力学遵循一个非线性随机泛函微分方程。通过一个股票价格模型的近似，得到了一个具有完全记忆的模型，在该模型中，连续路径依赖性不会上升到现在：存在记忆缺口。通过闭合间隙可获得强解。公平期权价格通过Girsanov定理通过等价（局部）鞅测度获得，因此以条件期望的形式给出。这些模型保持了市场的完整性，没有套利机会。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> An_Option_Pricing_Model_with_Memory.pdf (259.35 KB)

2022-6-1 07:26:05 上传

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关键词：期权定价模型 期权定价 定价模型 Quantitative Differential

具有MEMORYFLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDAbstract的期权定价模型。我们得到了股票价格模型的期权定价公式，其中漂移项和波动项是股票价格连续历史的函数。也就是说，股票动力学遵循非线性随机泛函微分方程。通过对股票价格模型的逼近，得到了一个具有完全l记忆的模型，在该模型中，连续路径依赖性不会上升到现在：存在记忆缺口。通过闭合间隙获得强溶液。公平期权价格通过Girsanov定理通过一个等价（局部）鞅测度获得，因此以条件期望的形式给出。这些模型保持了市场的完整性，没有套利机会。1、简介金融市场期权定价理论的发展起源于20世纪初，由Bachelier[2]提出并使用Brownian运动理论对股票价格进行建模。但直到20世纪60年代，萨缪尔森（Samuelson）[19，20]才获得了数学金融方面的主要结果，他利用几何布朗运动来模拟股价的随机行为，并提出了折扣价格遵循马丁酒的想法。1973年，著名的Black-Scholes模型【5】与默顿的理性期权定价理论【15】一起被提出。Black-Scholes模型的主要假设是，股票价格遵循几何布朗运动，波动率不变，不存在套利机会。尽管Black和Scholes取得了非凡的成就，但他们对真实市场数据的模型测试仍然验证了股票动力学中持续波动的假设（例如Scott【21】、Johnson和Shanno【11】）。

事实上，隐含波动率与执行价格的关系图（Bates[3]）中存在的微笑表明，恒定波动率的概念并不符合实际数据。因此，提出了具有非恒定波动率的Black-Scholes模型的几个变量（例如，Cox和Ross[7]，Hobson和Rogers[10]）。在目前的工作中，我们考虑了股票动力学对其历史的可能依赖性。这是一个合理的考虑，因为决策者在成套出售或购买时会考虑到他们对过去市场行为的了解。2010年数学学科分类。34K50、60H30、91G20。关键词和短语。期权定价，随机泛函微分方程，BlackScholes，随机波动率。2 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDIn期权定价理论，几位作者提出了具有遗传结构的模型（例如，Hobson和Rogers【10】、Arriojas、Hu、Mohammed和Pap【1】、Stoica【22】、Kazmerchuk【12】、Chang【6】、Lee【13】）。我们推导了由非线性tochastic泛函微分方程描述的两种股票动态的期权定价公式。首先，我们引入了一个股票价格模型，将记忆缺口作为[1]的扩展。具有记忆映射的系统的解决方案是一个过程，在这个过程中，状态对其历史的持续依赖只持续到过去的特定时间。这样，过去和现在的状态之间就有了差距。尽管这种股票动力学在其对价格的依赖性方面更加严格，但它在漂移和波动性方面的条件更加宽松。强解的存在唯一性不需要Lipschitz条件。第二股票价格模型具有完全有限的记忆，其漂移和波动率均为均匀边界和全局Lipschitz。这与[6]中介绍的股票动力学相似。

我们证明了当缺口变为零时，具有记忆缺口的股票价格模型的强解收敛于具有完整有限记忆的模型的解。利用这种收敛性，得到了两种模型的期权定价公式。由于期权定价公式是通过Girsanov定理的等价（局部）鞅测度推导出来的，因此它们采用了条件期望的形式，这使得它们通过使用Monte Car lo方法在计算上很容易模拟。本文概述如下。在第二节中，我们介绍了具有记忆缺口的股票价格模型，并证明了它的存在性和唯一性。在第3节中，我们展示了当间隙为零时，具有记忆间隙的模型收敛到具有完整记忆的模型。在第4节中，我们推导了具有记忆缺口的股票动态公式的n期权定价，最后，在第5节中，我们推导了具有完全有限记忆的股票价格模型的期权定价公式。通过Girs-anov定理[9]，其推论基于等价（局部）鞅测度。因此，公式是根据条件期望给出的。该模型保持了市场的完备性，没有套利机会，其波动性具有内在的随机性。2、带有记忆间隙的股价模型本节我们提出了一个股价模型，其中漂移和波动性企业取决于过去特定时间内股价的有限历史。该模型是[1]的扩展。2.1. 框架让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）是满足通常条件的过滤概率空间。用C表示：=C([-五十、 0]，R）所有连续路径η的Banach空间：[-五十、 0]→ R给定上确界范数。设f:[0，T]×C→ 兰德g:[0，T]×C→ R是连续泛函，考虑（初始）过程θ：Ohm → C是F-可测量的。

设L，L>0，考虑一个在时间t的价格由一个过程给出的stockSl（t）t型∈[0，T]满足随机函数微分方程（SFDE）：dSl（t）=f（t，Slt-l） Sl（t）dt+g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t），t∈ [0，T]Sl（T）=θ（T），T∈ [-l- 五十、 0]，（2.1）一个具有ME-MORY 3的期权定价模型，其中^θ由^θ（t）给出：=θ（t），t∈ [-五十、 0]，θ(-五十） ，t∈ [-l-L-五十] 。。过程W是一个一维布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）和，对于任何T∈ [-l、 T]，Slt∈ C由Slt（s）给出：=s（t+s），s∈ [-五十、 0）。对于t∈ [-1，0]，定义Ft：=F。（2.1）的解决方案是一个示例连续过程Sl：[-l-五十、 T]×Ohm → 因此，Sl |[0，t]是（Fs）t∈[0，s]-自适应，Sl（s）对所有s都是F-可测量的∈ [-l- 五十、 0），并满足It^o积分方程SL（t）=（θ（·）（0）+Rtf（u，Slu-l） S（u）du+Rtg（u，Su-l） S（u）dW（u），t∈ [0，T]^θ（·）（T），T∈ [-l- 五十、 0）。备注2.1。SFDE（2.1）不是【16】中引入的存在理论的特例。此外，正如我们将在theo-rem 2.2的证明中所示，函数f和g需要满足一个联合连续性条件，以便SFDE（2.1）允许全局解。这是一个有趣的结果，与[16]中对函数施加的连续性、局部Lipschitz和全局线性增长条件相比。然而，我们将在第3节中看到，为了实现收敛（如l→ 0）对于（2.1）到具有完整有限内存的进程的解决方案，我们必须对f和g.2.2施加附加条件。可行解的存在唯一性。下一个结果为SFDE提供了唯一的解决方案（2.1）。此外，如果θ（0）是三次正的a.s.，那么（2.1）的解也是如此。这是一个非常重要的特性，因为SL描述的是股票价格。定理2.2。考虑第2.1节的框架。

那么SFDE（2.1）有一个唯一的解s atisfyingSl（t）=θ（0）expZtf（u，Slu-l） du+Ztg（u，Slu-l） dW（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦, t型∈ [0，T]。（2.2）证据。我们通过长度为l的步骤进行归纳来说明这一点。为简单起见，考虑l的Ta倍数。对于t∈ [0，l]，我们有dsl（t）=Sl（t）[f（t，^θt-l） dt+g（t，^θt-l） dW（t）]。（2.3）定义过程n（t）：=Ztf（u，^θu-l） du+Ztg（u，^θu-l） dW（u），t∈ [0，l]。f，g和θ的连续性意味着过程f（t，^θt-l） =f（t，·）o^θt-landg（t，^θt-l） =g（t，·）o^θt-l、 t型∈ [0，l]是F-可测且连续的。因此，过程A（t）：=Rtf（u，^θu-l） du，t∈ [0，l]几乎所有采样路径都是连续可区分的。同样，从g（t，^θt）的采样路径连续性-l） ，t∈ [0，l]，4 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammed我们有ZTG（u，^θu-l） du<∞ a、 s。t型∈ [0，l]。因此，过程M（t）：=Rtg（u，^θu-l） dW（u），t∈ [0，l]是连续（Ft）t∈[0，l]-局部变量，因此，过程N（t）：=A（t）+M（t），t∈ [0，l]是连续半鞅。方程（2.3）可以写成线性随机微分方程（SDE）dSl（t）=Sl（t）dN（t），t∈ [0，l]，Sl（0）=θ（0），其具有唯一解（Dol\'eans Dade指数），由l（t）=θ（0）exp给出N（t）-[N，N]（t）= θ（0）expZtf（u，^θu-l） du+Ztg（u，^θu-l） dW（u）-Ztg（u，^θu-l） 杜邦, t型∈ [0，l]。这意味着方程（2.2）适用于t∈ [0，l]。现在假设方程（2.2）适用于t∈ [0，nl]，其中n是小于T/l的正整数。然后从等式n（2.2），Sl（t）t型∈[0，nl]为（Ft）t∈[0，nl]-自适应并连续。这意味着（Slt）t∈[0，nl]也是（Ft）t∈[0，nl]-适应和连续（Mohammed[16]中的引理I I-2.1）。换句话说，Slt-lis CONTINUOUS和Ft-l-可测量t∈ [0，（n+1）l]。

那么f和g的连续性意味着过程f（t，Slt-l） =f（t，·）o Slt公司-土地g（t，Slt-l） =g（t，·）o Slt公司-l、 t型∈ [0，（n+1）l]为（Ft）t∈[0，（n+1）l]-自适应和连续。因此，processAn+1（t）：=Rtf（u，Slu-l） du，t∈ [0，（n+1）l]，几乎所有的采样路径都是连续可微分的，并且Mn+1（t）：=Rtg（u，Slu-l） dW（u），t∈ [0，（n+1）l]，isa连续（Ft）t∈[0，（n+1）l]-局部鞅。因此，过程Nn+1（t）=An+1（t）+Mn+1（t），t∈ [0，（n+1）l]是一个半鞅和线性SDEdSl（t）=Sl（t）dNn+1（t），t∈ [0，（n+1）l]Sl（0）=θ（0），有一个唯一的解（Dol\'eans Dade指数），由l（t）=θ（0）exp给出Ztf（u，Slu-l） du+Ztg（u，Slu-l） dW（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦, t型∈ [0，（n+1）l]。注意，如果θ（0）>0，那么任何t的Sl（t）也是∈ [0，T]。这就完成了诱导参数，因此方程（2.2）对anyt有唯一的解∈ [0，T]。定理2.3。考虑过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[o，T]，P）和一维布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t∈【o，T】，P）。设￠θ∈ L(Ohm, C） ，一个期权定价模型，最小5f:[0，T]×L(Ohm, C）→ R和▄g:[0，T]×L(Ohm, C）→ R、 当▄f和▄g连续且满足线性增长条件时：▄f（t，η）▄+▄g（t，η）▄≤ D（1+kηkL(Ohm,C） ），对于任何t∈ [0，T]和η∈ C、 常数D与t和η无关。然后SFDE（dSl（t）=f（t，Slt-l） Sl（t）dt+~g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t），t∈ [0，T]Sl（T）=^Иθ（T），T∈ [-l- 五十、 0]，具有唯一的非负s解，满足sl（t）=θ（0）expZtf（u，Slu-l） du+Ztg（u，Slu-l） dW（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦, t型∈ [0，T]。过程^Иθ由^Иθ（t）给出：=θ（t），t∈ [- 五十、 0]，°θ(-五十） ，t∈ [- l- L-五十] 。。证据这个证明类似于定理2.2，但除此之外，对于任何t∈ [-l、 T]，l中的每个Sltis(Ohm, C） 。

我们在命题2.5中展示了这一点，该命题对Ito积分使用鞅型不等式，如下所述。引理2.4。让W：[a，b]×Ohm → Rmbe过滤概率空间上的m维布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t∈【a，b】，P）。假设g：[a，b]×Ohm → L（Rm，Rd）是可测量的，（Ft）t∈【a，b】-适应和RBAE | g（t，·）| 2kdt<∞, 对于正整数k≥ 1、网络支持∈【a、b】Ztag（u，·）dW（u）2公里≤ Ak（b- a） k级-1ZbaE | g（u，·）| 2kdu，式中：=dk-1.4km2k-1.k、 证明。读者可以参考穆罕默德（Mohammed）[16]（第27页）进行证明。2.5的提案。设￠θ、￠f和￠g满足定理2.3的假设。然后针对每个t∈ [0，T]，流程满足“supv”∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ UT/l，其中UT/l是满足UT/l的常数≥E |￠θ（0）|T/l（DT）2T/l.6 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedth这表明∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C） 在l.Proof中不是一致有界的。为简单起见，考虑T是l的倍数。我们使用归纳法和l的步长。更具体地说，我们证明了对于任何T∈ [0，nl]，n=1，2，电汇，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ Un，其中Unis为常数s ATIFYINGUN≥E |￠θ（0）|n（DT）2n。（2.4）我们首先证明该命题适用于任何t∈ [0，l]。

应用（按顺序）Jensen的ine quality（有限和积分形式）、le mma 2.4和f和g的线性增长特性，以∈ [0，l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（·）（v）|#=E“supv∈ [0，t]θ（0）+Zvf（u，^Иθu-l） Sl（u）du+Zvg（u，^Иθu-l） Sl（u）dW（u）#≤ E“supv∈ [0，t]~θ(0)+ 3.Zvf（u，^Иθu-l） Sl（u）du+ 3.Zv▄g（u，^Иθu-l） Sl（u）dW（u）!#≤ Eh3 |θ（0）| i+3tEZt |￠f（u，^Иθu-l） | | Sl（u）| du+ 3·4EZt |￠g（u，^Иθu-l） | | Sl（u）| du≤ 3E |Иθ（0）|+3D（t+4）EZt（1+k^Иθu-lkL公司(Ohm,C） ）| Sl（u）| du≤ 3E |￠θ（0）|+3D（T+4）（1+k￠θkL(Ohm,C） ）中兴通讯“supv”∈ [0，u]| Sl（v）|#du。（2.5）因此，从Gronwall不等式中，我们得到t∈ [0，l]：E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#≤ 3E |Иθ（0）| e3D（T+4）（1+k |θkL(Ohm,C） ）t.A期权定价模型，包括ME MORY 7∈ [0，l]，kSlt-lkL公司(Ohm,C） =k^Иθt-lkL公司(Ohm,C） =k￠θkL(Ohm,C） ，从中我们可以得到∈ [0，l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ k￠θkL(Ohm,C） +3E |Иθ（0）| e3D（T+4）（1+k |θkL(Ohm,C） ）T=：U。请注意，U≥ E |∧θ（0）|（DT）。现在假设2.5号提案有效∈ [0，nl]，其中n是正整数n<lT。

特别是，假设对于anyt∈ [0，nl]，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ Un，其中Unis是满足（2.4）的正常数。那么对于t∈ [l，（n+1）l]，E“sups∈[-五十、 0]| Slt-l（s）|#≤ E“sups∈[-L-l、 nl]| Sl（s）|#≤ E“sups∈[-五十、 0]|￠θ（s）|#+E“sups∈[0，nl]| Sl（s）|#≤ k￠θkL(Ohm,C） +联合国。此外，在类似于（2.5）的计算中，对于任何t∈ [l，（n+1）l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（·）（v）|#≤ 3E |θ（0）|+3D（T+4）（1+kSlu）-lkL公司(Ohm,C） ）Zt | Sl（u）| du，≤ 3E |Иθ（0）|+3D（T+4）（1+pUn）中兴通讯“supv”∈ [0，u]| Sl（v）|#du。因此，从Gronwall不等式中，我们得到了“supv”∈ [0，t]| Sl（v）|#≤ 3E |θ（0）| e3D（T+4）（1+√Un）tThus，对于任何t∈ [0，（n+1）l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ k￠θkL(Ohm,C） +Un+3E |Иθ（0）| e3D（T+4）（1+√Un）T=：Un+1。请注意UN+1≥ E |θ（0）|（DT）Un≥ E |￠θ（0）|（DT）（E |￠θ（0）|）n（DT）2n=（E |￠θ（0）|）n+1（DT）2（n+1）。8 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedshus，2.5号提案适用于任何t∈ [0，（n+1）l]。归纳论证到此结束，带有“supv”∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ UT/l，t∈ [0，T]其中，UT/lis是一个满足UT/l的常数≥ （E |θ（0）|）T/l（DT）2T/l。为了更好地理解理论2.2和2.3中系数之间的差异，我们提供了以下示例。示例2.6。设f:[0，T]×C→ R和g:[0，T]×C→ R是具有线性增长且满足第2.1节中条件的泛函。那么函数f:[0，T]×L(Ohm, C）→ R和g:[0，T]×L(Ohm, C）→ 定义的byf（t，η）：=ZOhmf（t，η（ω））dP（ω）=Ef（t，η（·）），g（t，η）：=ZOhmg（t，η（ω））dP（ω）=Eg（t，η（·）），对于任何t∈ [0，T]，η∈ C、 满足定理2.3的假设。示例2.7。在本例中，我们将漂移项的统一平均值和扩散项的统一标准偏差作为符号。