边际和依赖不确定性：界限、最优运输和

，fd，a）∈ Θ（f）和φ（f）：=infπ（f，…，fd，a）：（f，…，fd，a）∈ Θ（f）.此外，考虑测量集q：=nu∈ ca+（Rd）：u=ν，ud=νdandπi≤ u（Ai）≤πi，对于所有i∈ IoandQ：=nu∈ 加利福尼亚州+≤1（Rd）：uν, . . . , udνdandu（Ai）≤πi，对于所有i∈ Io，其中ujdenotes是度量u的第j个边缘，而ujνj应理解为uj（B）≤ νj（B）对于每个Borel集合B R后一种情况也称为0阶随机优势。以下定理建立了最优运输环境下附加约束下的Monge–Kantorovich对偶，或数学金融环境下附加信息下的定价对冲对偶。事实上，在优化运输的背景下，我们寻求最大化相对于运输计划u的总成本u，边际ν，νd附加满足约束πi≤ u（Ai）≤πifor i∈ 一、 我们还考虑了这一问题的一个宽松版本，即我们寻求最大化与由ν、…、，νdand满足附加约束u（Ai）≤ πifor i∈ 一、 在数学金融的背景下，让f表示依赖于多个资产的期权的支付函数，其联合分布为u。然后，（2.1）中的右侧是该选项的无模型超边际价格，假设边际分布已知（即u=ν，…，ud=νd），同时还有其他信息，以边界πi，πion的形式呈现，即多资产数字选项1Ai，i的价格∈ 一、 （2.1）中的左侧描述了套期保值或交易策略，包括投资收益为第I个边际νI，I的期权∈ {1, . . .

，d}，还可以购买ai+和销售ai-收益为1的数字期权的价格分别为πi和πi∈ 一、 根据这些收益之和支配f的要求，（2.2）中的二元性代表了上述问题的放松，其中一方面考虑了保证金的不确定性，而另一方面，交易策略受制于卖空约束（即它们是积极的）。定义2.1。满足（f，…，fd，A）的交易策略（f，…，fd，A）∈ Θ（ε）和π（f，…，fd，a）≤ 对于某些ε>0的情况，称为一致强套利。备注2.2。上述策略被称为一致强套利，因为其价格异常小于或等于零，而其结果从下到下以ε>0为界。下一个定理将一致强套利的不存在与Q中的一个元素的存在联系起来，Q中的一组概率测度具有满足条件πi的给定边际≤ u（Ai）≤πifor ALI∈ 一、 换言之，没有套利可以让我们对给定m边的概率度量得出一些结论，反之亦然。请注意，没有统一的强套利是一个非常弱的条件，这是由经典的无套利条件所暗示的。定理2.3。让f：Rd→ R是上半连续有界函数。然后，当且仅当Q不为空时，不存在一致强套利。在这种情况下，φ（f）=最大u∈QZRdf du。（2.1）此外，φ（f）=最大u∈QZRdf du。（2.2）备注2.4。在Lux和Rüschendorf【20，定理3.2】中，附加信息（2.1）下的最优输运对偶以类似形式出现。这两个结果是并行发展的，但它们的证明完全不同。

此外，在[20]中，作者考虑了具有给定边缘的d维概率分布的Fréchetclass，其copula由任意拟copula从下到上限定；拟copula概括了copula的概念。鉴于（2.1），我们的公式稍微更一般，因为我们不需要边界（πi，πi）i∈Ito有一个由准copula施加的特殊结构。这个定理的证明建立在以下凸函数和递增函数的表示结果以及共轭的显式计算的基础上。让我们首先介绍一下泛函φ*Cbandφ*UB定义如下：φ*Cb（u）：=supf∈CbnZfdu- φ（f）o和φ*Ub（u）：=supf∈UbnZfdu- φ（f）o，（2.3），其中ub表示所有有界上半连续函数的集合f:Rd→ R、 和所有有界连续函数的Cbtheset。那么下面的公式成立：设φ：Ub→ R是一个凸的递增函数，并假设对于连续有界函数的每个序列（fn），使得fn逐点减少到0，它保持φ（fn）↓ φ(0).然后，φ接受以下表示：φ（f）=maxu∈ca+nZfdu- φ*所有f的Cb（u）o（2.4）∈ Cb。此外，假设φ*Cb（u）=φ*Ub（u）表示任何u∈ ca+，然后φ（f）=最大u∈ca+{Rfdu- φ*Ub（u）}适用于所有f∈ Ub。证明类似于Bartl、Cheridito、Kupper和Tangpi【1，定理2.2】；另见Cheridito、Kupper和Tangpi【7，定理A.5】。证明（定理2.3）。我们首先注意到Θ（λf）=λΘ（f）和Θ（f）+Θ（g） Θ（f+g）对于每λ>0和每两个函数f，g:Rd→ R、 此外，它认为π（λf，…，λfd，λa）=λπ（f，…，fd，a），而从不等式a++b+≥ （a+b）+和a-+ b-≥ （a+b）-和条件0≤ πi≤πiit表示π（f+g，…，fd+gd，a+b）≤ π（f，…，fd，a）+π（g，…，gd，b）。因此，我们得到φ是一个次线性泛函，即。

φ（λf）=λ>0和φ（f+g）时的λφ（f）≤φ（f）+φ（g）。同样的参数也适用于Θ，因此φ也是次线性的。此外，因为（m，0，…，0）∈ Θ（m）和π（m，0，…，0）=m表示m∈ R+，则φ（m）≤ φ（m）≤ m、 证明的主要部分是证明如果φ是实数，则φ具有表示（2.1）。步骤1：我们声称，如果不存在一致强套利，那么φ（m）=m表示所有m∈ R、 我们已经证明φ（m）≤ m、 另一方面，如果φ（m）<m- ε对于某些ε>0，存在（f，…，fd，a）∈ Θ（m）使得π（f，…，fd，a）≤ m级- ε. 定义\'j（x）：=fj（x）-m级- εd每x∈ R和j=1，d、 然后（f′…，f′d，a）∈ Θ（ε）但π（f′…，f′d，a）≤ 0，这与不存在一致强套利的假设相矛盾。第二步：我们声称φ和φ在Cb上是连续的，即φ（fn）↓ CBS中的everysequence（fn）为0，如该fn↓ 0点方向。让我们定义这样一个序列（fn），一些ε>0，并且让l是这样的νi([-l、 l]c）≤εd supx | f（x）|，对于所有i∈ {1，…，d}。（2.5）集合K：=[-l、 l]d Rdis紧，因此我们可以应用Dini引理来获得一些指数nsuch thatfnK≤ ε表示所有n≥ n、 （2.6）现在我们定义fj（x）：=supx | f（x）| 1[-l、 l]C或j∈ {1，…，d}这样fnkc（x）≤ fKc（x）≤ f（x）+···+fd（xd），因此（f，…，fd，0）∈ Θ（fnKc）。因此我们有φ（fnKc）≤ π（f，…，fd，0）=ZRfdν+···+ZRfdνd≤ ε、 （2.7）其中最后一个不平等来自（2.5）和fj的定义。因此，次加性加上（2.6）和（2.7）意味着φ（fn）≤ φ（fnK）+φ（fnKc）≤ ε+ε表示所有n≥ n、 由于ε是任意的，我们得出的结论是φ（fn）↓ 0=φ（0），因此也是φ（fn）↓ 0，自φ（fn）≤ φ（fn）和φ（0）=0。第3步：在最后一步中，我们要显示φ*Cb（u）=φ*Ub（u）=（0，如果u∈ Q+∞, 否则，和φ*0，Cb（u）=φ*0，Ub（u）=（0，如果u∈ Q+∞, 否则，每u∈ 钙+。

此处φ*0，Cb和φ*0，U定义类似于φ*Cbandφ*Ub；参见（2.3）。一方面，我们将证明共轭值取+∞ 每当测量u时/∈ Q、 响应。u /∈ Q、 请注意，根据定义，0≤ φ*Cb公司≤ φ*Uband类似于0≤ φ*0，Cb≤ φ*0，Ub。因为φ（m）=m表示m∈ R、 因此φ*Cb（u）≥ s upm公司∈Rmu（Rd）- m级= +∞当u不是概率度量时。类似地，我们得到φ*0，Cb（u）≥ 卸荷点法≥0mu（Rd）- m级= +∞当u（Rd）>1时。现在，对于某些Borel集合B，设uj（B）6=νj（B）（分别uj（B）>νj（B）） R和一些j∈{1，…，d}。然后存在一个连续有界函数h:R→ R（分别为h:R→ [0, +∞))这样ZRh duj>ZRh dνj。此外，我们可以通过f（x）：=x的h（xj）定义函数f∈ Rd，它是连续且有界的。对于x，我们还可以定义fj（x）：=h（x）和fk（x）：=0∈ R、 对于所有k，a=0∈ {1，…，d}\\{j}。然后，通过构造，它保持（f，…，fd，a）∈ Θ（f）和π（f，…，fd，a）=ZRh dνj（分别为f，…，fd，a）∈ Θ（f）），因此我们得到thatZRdfdu- φ（f）≥ZRh duj-ZRh dνj>0。由于φ（λf）=λφ（f），对于每个λ>0，则得出φ*Cb（u）≥ supλ>0nZRdλfdu- φ（λf）o=+∞.相同的参数表明φ*0，Cb（u）=+∞.u的最终条件∈ Q（分别为u∈ Q） 读数为πi≤ u（Ai）≤πi（分别为u（Ai）≤ πi），对于alli∈ 一、 假设u（Ai）≥πi+ε对于一些ε>0和一些i∈ 一、 我们可以选择δ>0，使得所有j的νj（（Aij，Aij+δ））<εdf∈ {1，…，d}。确定setC：=(-∞, Ai+δ）×····×(-∞, Aid+δ）。然后，A和C是闭集和不交集，因此Urysohn引理保证了连续函数f:Rd的存在性→ R这样Ai≤ f≤ 1C。（2.8）注意f（x）≤ 1C级≤ 1Ai（x）+1（Ai，Ai+δ）（x）+···+1（Aid，Aid+δ）（xd），因为C中的每个元素都属于air或其中一个集合（Aij，Aij+δ），j∈ {1，…，d}。因此，可以得出（f。

，fd，a）∈ Θ（f） Θ（f），其中我们定义了fj（x）：=1（Aij，Aij+δ）（x），x∈ R、 对于所有j，ai=1，ak=0∈ {1，…，d}和k∈ I \\{I}。所以我们现在有φ（f）≤ φ（f）≤ π（f，…，fd，a）=πi+dXj=1νj（（Ai+1，Aid+δ））<πi+ε。（2.9）因此，使用（2.8）、（2.9）和假设，我们得到Zrdf du- φ（f）>u（Ai）- （πi+ε）≥ 0和alsoZRdf du- φ（f）>0。因此，前面的缩放参数显示φ*0，Cb（u）=φ*Cb（u）=+∞.最后，假设对于某些i∈ 一、 通过集合Ai的封闭性，存在一系列连续函数fn，使得-1.≤ fn公司≤ -1和fn↑ -1Ai。然后（0，…，0，a）∈ Θ（fn）对于ai=-k为1且ak=0∈ I \\{I}，所以它保持φ（fn）≤ π（0，…，0，a）=πi。根据支配收敛定理，存在一个n，使得rrdfndu>-πi，henceZRdfndu- φ（fn）>0。缩放参数再次显示φ*Cb（u）=+∞ .另一方面，我们将表明如果u∈ Q（分别为u∈ Q） 那么它认为φ*Ub（u）=0（分别为φ*0，Ub（u）=0）。的确，让f:Rd→ R是上半连续有界函数，使得（f，…，fd，a）∈ Θ（f）（分别为（f，…，fd，a）∈ Θ（f））。然后π（f，…，fd，a）≥ZRd公司f（x）+···+fd（xd）+Xi∈IAI（x）u（dx）≥ZRdf（x）u（dx）。因此，我们有φ（f）≥ZRdf du和φ（f）≥ZRdf du，这立即产生了索赔。步骤3到此结束。现在，为了推断φ（f）和φ（f）具有所需的表示，我们将使用表示（2.4）。φ的次线性尤其意味着它是凸的。此外，forf≥ g认为Θ（f） Θ（g），因此φ（f）≥ φ（g），即φ也在增加，而第二步表明φ满足表示（2.4）保持的剩余条件。同样的论证也适用于φ。

因此，（2.4）允许我们获得φ（f）=最大u∈ca+nZRdf du- φ*Cb（u）o=最大u∈QZRdf du，φ（f）=m axu∈ca+nZRdf du- φ*0，Cb（u）o=最大u∈QZRdf du，对于每个有界和上半连续函数f。此外，由于φ和φ是实值的，我们得到了集Q和qa不是空的。最后，为了总结证明，请注意，如果Q不是空的，那么就不存在uniformstrong套利。实际上，对于任何ε>0和（f，…，fd，a）∈ Θ（ε）为u∈ Q它保持π（f，…，fd，a）≥ZRdnf（x）+···+fd（xd）+Xi∈IaiAi（x）ou（dx）≥ZRdεu（dx）=ε。作为定理2.3的推论，我们在下面导出了一个m最大运输问题的对偶结果。这个问题对应的情况是，除了边际分布之外，度量值在Rd中的增长轨道上规定。就随机变量而言，这相当于知道d个随机变量的最大值的分布。推论2.5（最大运输问题）。设I=R，Ai=(-∞, i] dπi=πi=νmax((-∞, i] ）对于某些度量值νmax∈ 钙离子（R）。然后Q=nu∈ ca+（Rd）：u=ν，ud=νdanduo 最大值-1=νmaxo，（2.10），对于每个上半连续有界函数f:Rd→ R其中φ（f）=infndXj=1ZRfjdνj+ZRg dνmax:f，fd，go，其中f，fd，g：R→ R是有界的可测函数，使得f（x）+···+fd（xd）+g（max x）≥ f（x），对于所有x∈ Rd，（2.11），其中最大x：=最大j=1，。。。，dxjfor x∈ Rd证明。Letu∈ Q、 利用πi=πi，我们得到uo 最大值-1((-∞, i] ）=u（Ai）=πi=νmax((-∞, i] ）对于所有我∈ R、 因此，Q具有（2.10）中给出的形式。现在让我们定义φmax（f）=infndXj=1ZRfjdνj+ZRg dνmax:f，fd，go，其中f，fd，g满足不等式（2.11）。我们想证明φ（f）=φmax（f）。一方面，请注意右侧比左侧小。事实上，对于所有人（f。

，fd，a）∈Θ（f），我们可以定义：=Xi∈Iai公司(-∞,i] 这样Zrg dνmax=Xi∈Iaiπiand g（max x）=Xi∈IaiAi（x）。另一方面，让f，fd，g应为f（x）+···+fd（xd）+g（max x）≥ f（x），对于所有x∈ 然后，利用集合Q的结构，我们得到dxj=1ZRfjdνj+ZRg dνmax=ZRdf（x）+···+fd（xd）+g（最大x）u（dx）≥ZRdf（x）u（dx）。因此，取上述不等式两侧的上确界和上确界，并利用第一部分的结论，我们得到φ（f）≥ φmax（f）≥ supu∈QZRdf du。定理2.3得出了所有不等式实际上都是相等的结论。接下来，我们在（2.1）中提供了二元性的另一种放松，其遵循与（2.2）相同的推理路线。特别是，这可以再次解释为定价对冲二元性，其中超级对冲问题涉及边际和联合分布的不确定性，而对冲策略考虑了单资产期权的买入和卖出价格以及多资产数字期权的交易。让我们xνj，νj∈ ca+（R）对于每个j=1，d、 使得νj一阶随机支配νj。回想一下，νjνjin如果νj，则为一阶随机优势(-∞, t]≥νj(-∞, t] 对于allt∈ R、 让f：Rd→ R为成本或收益函数，并定义集合Θ（f）：=n（f，g，…，fd，gd，a）：dXj=1fj（xj）- gj（xj））+Xi∈IaiAi（x）≥ f（x），x个∈ Rdo，其中fj，gj:R→ R是非递减、有界和连续函数，ai≤ 定义π（f，g，…，fd，gd，a）：=dXj=1ZRfjdνj-ZRgjdνj+xi∈Iaiπi，适用于所有（f，g，…，fd，gd，a）∈ Θ（f）并进一步定义函数φ（f）：=infπ（f，g，…，fd，gd，a）：（f，g，…，fd，gd，a）∈ Θ（f）.此外，考虑测量值集q：=nu∈ ca+（Rd）：νjujνjandπi≤ u（Ai）表示所有i，jo。然后，以下内容成立。提案2.6。让f：Rd→ R是上半连续有界函数。

然后，如果φ（ε）>0表示每ε>0，则保持φ（f）=su pu∈QZRdf du。证据证明遵循与定理2.3证明相同的路线，因此我们只提供一个草图。首先，可以检查φ：Ub→ R∪ {-∞} 是满足φ（m）的次线性单调函数≤ m代表所有m∈ R、 第1步。与定理2.3类似，对于所有m，φ（m）=m∈ R、 第2步。回想一下，对于两个概率ν，ν′∈ ca+（R），一个有νν′当且仅当ifRRf dν≤每个非递减有界连续函数f:R的RRf dν′→ R、 这是一个简单的部件集成应用程序。特别是，如果fi，gi:R→ R是满足YDxj=1的非递减有界连续函数fj（xj）- gj（xj））+Xi∈IaiAi（x）≥ f（x）表示所有x∈ Rd和u∈ ca+（Rd）为νjujνjfor all 1≤ j≤ d和πi≤ u（Ai）适用于所有i∈ 一、 然后保持Szrdf du≤dXj=1ZR（fj- gj）duj+Xi∈Iaiu（Ai）≤dXj=1ZRfjdνi-ZRgjdνi+Xi∈Iaiπi。由于fi、gian和ai是任意的，因此φ（f）≥RRdf du。第3步。设（fn）为有界连续函数序列，其逐点递减为0。对于ε>0，fix m∈ N这样Maxνj（[m- 1.∞)), νj((-∞, -m+1]）≤ε2d supx | f（x）|对于每j=1，d、 并定义递增函数fj（t）：=supx∈Rd | f（x）|·1 + 0 ∨ （t+1- m）∧ 1.和gj（t）：=supx∈Rd | f（x）|·0∨ （t+m）∧ 1..然后FJ- gj公司≥ supx公司∈Rd | f（x）| 1[-m、 m]c和ZRFJDνj-ZRgjdνj≤εd，从中得出的结果与T heorem2.3的证明完全一致，即φ（fn）↓ 0 = φ(0). 3、f=1b的显式解当原问题φ（f）或φ（f）允许显式解时，定理2.3中给出的最优输运对偶变得非常有趣。

虽然我们不能期望推导出一般函数f的显式解，但我们将证明，对于矩形集B，当f=1B时，φ（f）允许显式解 Rd.为了简化本节中主要结果的呈现，我们在以下情况中考虑了框B的情况d=2=(-∞, B] ×(-∞, B] 定义I，即I={1，…，n}。高维情形（d＞2）的证明可以通过类似的论证得到。定理3.1。以下各项适用：最大u∈Qu（B）=minnν((-∞, B] ），ν((-∞, B] ），m ini∈在πi+ν（（Ai，B））+ν（（Ai，B））oo中。图1：定理3.1的图示。在有关最优运输的文献中，有些部分称为原始问题，参见Villani【31】，而在其他部分称为对偶问题，参见Kellerer【17】。BAA图2：带两个盒子的超磨边的非最优性。图1给出了定理3.1的图形表示。让我们将“box”称为回报为1bb的期权 兰德“剥离”一个收益为1J×Ror 1R×JJ的期权 R、 然后，在数学金融语言中，这一结果表明有三种可能的方法可以使方框B超边缘化：要么使用水平条带（左），要么使用垂直条带（中），要么使用另一个方框a加上与其相邻的水平和/或垂直条带（右）。图2直观地解释了为什么在存在卖空约束的情况下，购买两箱A和A以超压B不是最佳选择。事实上，如果一个人同时购买A和A，那么阴影区域会被购买两次，从而产生不必要的额外成本，而阴影区域仍然没有对冲。