边际和依赖不确定性：界限、最优运输和

为了对冲后者，需要进一步投资于水平和/或垂直带。应用于f=1b的定理2.3立即产生最大u∈QZBdu=最大u∈Qu（B）=φ（1B），因此我们需要证明φ（1B）允许以下表示：φ（1B）=minnν((-∞, B] ），ν((-∞, B] ），m ini∈在πi+ν（（Ai，B））+ν（（Ai，B））oo中。Baaasddddddd图3：主设置如图所示，其中d=Bhence i=3。现在让我们介绍一些将在后续证明中使用的符号；如图3所示。定义Dj：={Aij:i∈ I}∪ {Bj}，对于j=1，2，让Dj={dkj:k=1，…，mj}bean枚举，使得Dj<Dj<···<dmjj。此外，定义fj：=(-∞, dj），Fij：=[dij，di+1j），对于i=1，…，mj- 1和Fmjj：=（dmjj，∞)对于j=1，2。此外，让ibe使di=B。在第一步中，请注意，在φ（1B）的定义中，我们可以并且将自己限制在Fj（x）：=mjXi=1fijFij（x）形式的函数fjof，其中fijare为正常数。我们将参考函数fas“垂直边缘”和函数fas“水平边缘”。引理3.2。设S：=Fi-1×R.然后φ（1B）=分钟∈{0,1}nsν（Fi-1） +sφ（1B\\s）+（1- s） η（1B）o，（3.1），其中η（1B）：=infnπ（0，f，a）：f（x）+Xi∈IaiAi（x）=1表示所有x∈ B和f，ai≥ 0o=m innν((-∞, B] ），迷你型∈一： B类≤Ainπi+ν（（Ai，B））oo。（3.2）BBBBABBAA图4：功能η（1B）的图形表示。功能η（1B）如图4所示，并指出有两种方法可以在不使用垂直边缘的情况下对方框B进行超边缘处理：要么使用水平剥离器×(-∞,B] ，或使用另一个带有≥ B>A时，此框上方的水平条，即1R×（A，B）。证明。

首先，请注意，出现的所有优化问题都是有限维线性问题，因此最小值总是存在的。我们从证明（3.1）开始，首先证明左手边比右手边小。事实上，在s=0的情况下，这会减少到φ（1B）≤ η（1B），因为φ（1B）被定义为更大集合的上限。当s=1时，let（f，f，a）∈ 在π（f，f，a）=φ（1B\\S）的意义上，Θ（1B\\S）是最优的，并且注意，可以假设w没有失去普遍性，即-1= 0. 现在定义fi：=（fi，如果i 6=i- 11，否则，则如下（^f，f，a）∈ Θ（1B）。根据^Fi的定义，它认为π（^f，f，a）=ν（Fi-1） +π（f，f，a）=ν（Fi-1） +φ（1B\\S），表示φ（1B）≤ ν（Fi-1） +φ（1B\\S）。为了证明逆不等式，请注意，通过交换两个极小值，它保持φ（1B）=min∈[0,1]nsν（Fi-1） +φ\\i-1（1B- s1S）o，（3.3）其中φ\\i-1（1B- s1S）：=infπ（f，f，a）：（f，f，a）∈ Θ（1B- s1S）和fi-1= 0.在（3.3）中固定一些最优s，并为φi固定一个最优策略（f，f，a）-1（1B- s1S）。自fi以来-1=0，遵循f（x）+Xi∈IaiAi（x）=f（x）+Xi∈一： B类≤AiaiAi（x）≥ 1.- s代表所有x∈ B∩ S、 设t：=π∈一： B类Aiai。一方面，如果t≥ 1.- s、 设置“ai”：（1）- s） 每个i的ai/t Ai，\'Ai=0，其他，\'f=0。THNPI公司∈I'aiAi（x）=1- s代表x∈ B、 因此（0，0，a）是η（（1）的容许策略- s） 1B）=（1- s） η（1B）。进一步定义a：=a- \'\'a≥ 0。然后可以检查（f，f，~a）∈ Θ（s1B\\S）。因此φ（1B）=sν（Fi-1） +π（f，f，a）=sν（Fi-1） +π（f，f，a）+π（0，0，a）（3.4）≥ 分钟∈[0,1]nsν（Fi-1） +sφ（1B\\s）+（1- s） η（1B）o。此外，由于最后一项以s为单位，因此s上的最小值∈ [0，1]产生的值与s上的最小值相同∈ {0, 1}.另一方面，假设t<1-s和定义‘ai：=所有i的ai，使得B 人工智能。为了方便起见，我们假设Ai≥ 对于i=1。

，m和B>A>A>Am；对于某些i，j，Ai=aj的情况≤ m的工作方式相同，但需要额外的表示法。进一步表示为k指数，使dk=频带，表示为k指数，使dki=Ai，对于i=1，m、 然后，对于每个i=k，k- 1需要持有fi≥(R)fi：=1- s- t>0。Moreoverfi+a≥ 1.- s- t代表k≤ 我≤ k- 1，（3.5）即f（x）+a≥ 1.- s- t代表所有x∈ S带x∈ （A，B）。现在，有两种可能性：o如果A≥ (R)a：=1- s- t、 然后为i设置“fi：=0”≤ k- 1和“ai：=0，表示i=2，m、 那么（0，\'f，\'a）是η（1B）和（f，~f，~a）的容许策略∈ Θ（s1B\\S），其中▄f：=f-“fand”a：=a- 因此，根据π的线性，如（3.4）所示，φ（1B）≥ 分钟∈[0,1]nsν（Fi-1） +sφ（1B\\s）+（1- s） η（1B）o.o否则，如果a：=a<1- s- t、 定义fi：=1- s- t型- 一≤ fifor所有k≤ 我≤ k- 1并设置▄t：=t+a。然后设置▄f（x）+Xi∈一： B类≤Ai'aiAi（x）=1- s代表x∈ B使A≤ x个≤ 波段必须为fi+a≥ 1.- s-t代表k≤ 我≤ k- 这意味着情况与（3.5）中的情况相同。最多重复此过程m次，就可以找到η（1B）的可容许策略（0，\'f，\'a）。自（f，~f，~a）∈ Θ（s1B），其中▄f：=f-\'\'f≥ 0和▄a：=a- \'\'a≥ 0，从π的线性关系可以看出（3.4）成立。现在我们继续证明（3.2）。首先请注意，对于所有i和B 所有保持η（1B）=minai∈[0,1]ai'πi+（1- ai）η\\i（1B）,其中η定义为η，额外要求ai=0。因此ai∈ {0, 1}. 对于某些i和B，Ifai=1 哎，那么证明就完成了。否则用l表示▄I中的元素：={I∈ I：B≤ A和Ai≤ B} 这样Ai≤ 阿尔弗·艾尔维∈I.然后l=dk对于某些kan，它必须在（Al，B）上保持f=1。因此，η（1B）=ν（（Al，B））+η（1B），其中S：=R×（Al，B）。由于B\\S再次是一个方框，因此该主张现在遵循归纳法。我们现在准备证明本节的主要结果。证明（理论3.1）。

设S：=Fi-1×R。如果s=0和s=1都是（3.1）中的优化器，wealways选择s=0以排除许多病理病例（见下面的证明）。情况1：如果s=0，这意味着φ（1B）=η（1B）。然而，根据（3.2），η（1B）的最优策略包括全部水平边缘，即f=1(-∞,B] a=0，或者正好是一个带B的方框≤ Ai（即Ai=1，对于j 6=i，aj=0）和该框上方的水平边缘，即f=1（Ai，B）；再次参见图4。由于两种策略都是Θ（1B）的元素，证明是完整的。情况2：如果s=1，这意味着φ（1B）的最优策略包括fi-1=1加上φ（1B\\S）的优化。如果B\\S为空，这意味着φ（1B）的优化器是完全垂直边缘，即f=1Fi-1= 1(-∞,B] 。否则请注意，^B：=B\\S再次是一个（非空）框。因此，可以再次应用引理3.2：定义：=Fi-2×R，使φ（1^B）=分钟∈{0,1}nsν（Fi-1） +sφ（1^B\\710; s）+η（1^B）o。现在，又有两种可能性：o如果s=0，即φ（1^B）=η（1^B），则η（1^B）的最佳策略包括全水平边缘f=1(-∞,^B]=1(-∞,B] 仅，或正好一个带^B的盒子≤ A和方框上方的水平边缘，即f=1（Ai，^B）=1（Ai，B）。我们声称第一种情况不可能发生，而第二种情况下，它保持Ai=^B。事实上，如果f=1(-∞,B] 是最优的，那么（0，f，0）∈ Θ（1B）。尤其是之前的选择fi-1=1并不理想。类似地，在第二种情况下，Ai=^B.o如果s=1，则φ（1^B）的最佳策略包括fi-1=fi-2=1加上φ（1^B\\710; S）的最佳值。通过归纳，φ（1B）的最优策略可以采用以下形式之一：f=1(∞,B] ，f=0和a=0，或f=0，f=1(-∞,B] 如果j=i，aj=0，则a=0，或f=1（Ai，B），f=1（Ai，B）和aj=1；再次与图1进行比较。这就完成了证明。4.

类FS，π的改进Fréchet-hoefffding上界的锐度和FS，π在本节中，我们证明了改进的Fréchet-Hoeffding上界对于Fréchet类FS，π是逐点锐的和FS，π分别在（1.5）和（1.6）中介绍，而后续附录A中的反例表明，对于FS类π，相同的界不是逐点尖锐的。因此，我们将再次使用概率论的符号，并将使用分布函数而不是度量。第一类的锐度证明直接应用了第2节和第3节的结果，而第二类的锐度证明则遵循了属于集FS，π的分布函数的显式构造并获得改进的Fréchet–Hoeffdingbound。Féchet–Hoefffding边界的锐度或逐点锐度问题在概率论文献中有着悠久的历史。上Fréchet–Hoeffding界本身是一个分布函数，因此该界实际上是尖锐的。另一方面，下Fréchet–Hoeffding边界是一个分布函数，因此仅在维度2上是尖锐的，而在一般情况下，Rüschendorf[26]表明下Fréchet–Hoeffding边界是逐点尖锐的。关于改进的Fréchet–H Oefffding界，Tankov[30]在维度2中表明，上界是一个分布函数，因此在集合S减少的情况下（即（u，u），（v，v）的上界也是尖锐的∈ S保持（u- v） （u）- 五）≤ 0). 这一结果后来被Bernard、Jiang和Vanduffel削弱了[2]。另一方面，Lux和Papapantoleon【19】表明，在高维情况下（d>3），改进的Fréchet–Hoefffding上限仅在小情况下才是尖锐的。

因此，附录A中的反例令人惊讶，因为它表明，一旦违反了Tankov的条件，边界甚至不是逐点尖锐的。定理4.1。对于每x∈ Rd，最大值∈FS，π（F）*,...,F*d） F（x）=最小值=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ minnπs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+: s∈ 所以证据请注意，定理4.1是对定理3.1的重新表述。实际上，集合qc包含由FS，π中的分布函数所诱导的所有度量（F）*, . . . , F*d） ，反之亦然。提案4.2。设S是Rd的有界子集，则其中一个有maxf∈FS，π（F）*,...,F*d） F（x）=最小值=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ 最小{πs:s∈ 这样x≤ s} ，（4.1）每x∈ Rd，其中x≤ s每当xi≤ 对于所有i=1，d、 证明。FS的定义，π（F）*, . . . , F*d） 立即表示（4.1）的左侧（LHS）小于或等于其右侧（RHS）。为了显示反向不等式，fix x∈ Rd和let r∈ R太大以至于R≥ xj+1和r≥ 对于所有j=1，…，sj+1，d、 和s∈ S、 区分以下两种情况。情况1：假设右侧在minjF处到达*j（xj）。definegj（t）：=F*j（xj）1[xj，r）（t）+F*j（t）1[r，∞)（t） ，对于t∈ R、 j=1，d、 F（y）=minj=1，。。。，y的dGj（yj）∈ Rd.可以检查F是否为acdf，它保持Fj（t）=Gj（t）≤ F*j（t）表示所有t∈ R和j=1，d、 让我们∈ S、 如果x≤ s、 然后是XJ≤ sj公司≤ r表示j=1，因此F（s）=minjGj（s）=minjF*j（xj）=RHS≤ πs。否则，即如果存在一些j*这样sj*< xj公司*, 一个有F（s）≤ Gj公司*（sj*) = 0≤ πs。这表示F∈ FS，π（F）*, . . . , F*d） 和sice，因为F（x）=minjF*j（xj）=RHS，一个获得thatLHS≥ RHS。情况2：假设右侧达到πs*对于一些s*∈ S、 definegj（t）：=πS*[xj，r）（t）+F*j（t）1[r，∞)（t） ，对于t∈ R、 j=1，d、 F（y）=y的minjGj（yj）∈ Rd。

我们可以再次检查F是acdf，因为πs*≤ F*j（xj），也有Fj（t）=Gj（t）≤ F*j（t）表示所有t∈ R和j=1，d、 对于s∈ S带x≤ s、 它保持F（s）=minjGj（s）=minjF*j（xj）=πs*≤ πs从πs处获得的Rhsi开始*. 否则它保持F（s）=0，因此F∈ FS，π（F）*, . . . , F*d） 。因为F（x）=minjF*j（xj）=RHS，因此得出LHS≥ RHS。A、 改进的上Fréchet–Hoeffding界对于类FS来说并不明显，下面的反例（Stephan Eckstein向我们传达）说明了改进的上Fréchet–Hoeffding界min{F*i（xi）：i=1，d}∧ minnπs+dXi=1（F*一（xi）- F*i（si））+：s∈ 对于FS，π（F），SOI通常不是逐点尖锐的*, . . . , F*d） ，即使尺寸d=2。示例A.1。边际CDF由F给出*:= F*:= 0.1 · 1[0,1)+ 0.3 · 1[1,2)+ 0.35 · 1[2,3)+ 1[3,∞),i、 e.F.公司*iare概率测度的CDF为0.1δ+0.2δ+0.05δ+0.65δ。考虑附加信息={（0，0），（0，2），（2，0），（1，1）}，其中π（0,0）=0，π（0,2）=π（2,0）=π（1,1）=0.1。对于对应于概率度量x的cdf^F，x=0cx，xδ（x，x），权重由cx决定，xx=0 x=1 x=2 x=3x=0 0 0 0.05 0.05 0x=1 0.05 0 0 0.15x=2 0.05 0 0 0x=3 0 0.15 0 0.5可以验证^F∈ FS，π（F*, F*) :=F∈ F（F*, F*): F（s）=所有s的πSFO∈ S.这表明FS，π（F*, F*) 6= . 设x=（x，x）：=（0，1），则改进的Fréchet–hoefffding界由min{F给出*（0），F*(1)} ∧ minnπs+Xj=1（F*j（xj）- F*j（sj））+：s∈ So=0.1，而对于Д（u）=1{u≤x} 可以很容易地检查∈FS，π（F*,F*)ZхdF=supF∈FS，π（F*,F*)F（0，1）=^F（0，1）=0.05。B、 类FS，π的改进Fréchet-hoefffding上界的推导和FS，π在本附录中，我们证明了改进的Fréchet–Hoeffding上界对于类FSπ是有效的和FS，π. 推导过程使用了从copula理论中借用的简单参数，参见。

[19].让我们指出，第4节中的清晰度结果允许我们恢复以下陈述。引理B.1。让G∈ FS，π（F）*, . . . , F*d） ，那么我们有g（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ minnπs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+: s∈ 所以，（B.1）对于所有（x，…，xd）∈ Rd.此外，让H∈ FS，π（F）*, . . . , F*d） ，那么我们有h（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ 最小{πs:s∈ 这样x≤ s} ，（B.2）适用于所有（x，…，xd）∈ Rd证明。通过定义FS类，π（F）*, . . . , F*d） 我们有G=cF，其中c∈ [0，1]andF是Rd上的cdf。让我们用F表示，F的边沿，那么我们立即得到g（x，…，xd）=cF（x，…，xd）≤ c mini=1，。。。，dFi（xi）=最小值=1，。。。，dcFi（xi）≤ mini=1，。。。，dF公司*i（xi），（B.3）其中，我们使用F表示第一个不平等的cdf和cFiF*如果是第二个。使用F是RDF上的cdf，带有边距F，Fd，我们对anyxi，si有以下估计∈ RF（x，…，xi，…，xd）- F（x，…，si，…，xd）≤Fi（xi）- Fi（si）+,因此，使用伸缩和，我们得到以下任何x，s的估计值∈ RdF（x）- F（s）≤dXi=1Fi（xi）- Fi（si）+. （B.4）因此，再次使用G=cF，我们得到了G（x）≤ cF（s）+dXi=1cFi（xi）- cFi（si）+≤ πs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+,我们使用cF的地方≤ 所有s的πSFO∈ S和cFi（xi）- cFi（si）≤ F*一（xi）- F*i（si）代表所有xi≤ 硅。下面的语句是最小化所有s∈ 并将结果与（B.3）相结合。现在，让H∈ FS，π（F）*, . . . , F*d） 。因为H是Rdand上的cdf，使用该FiF*i、 我们立即得到H（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*i（xi）。此外，（B.4）中的估计仍然有效，因此从FS类π的定义来看（F）*, . . . , F*d） 我们到达atH（x）≤ πs+dXi=1Fi（xi）- Fi（si）+.然而，边缘上可用的信息，即。

那个FiF*i、 不允许我们估计差异Fi（xi）- Fi（si），我们能说的最好的是x≤ 这个术语缩为零。这句话再次紧跟在我的“最小化”之后∈ S参考文献【1】D.Bartl、P.Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi。具有大量边缘约束的增凸泛函的对偶性。巴纳赫J.数学。分析。，11:72–89, 2017.[2] C.Bernard、X.Jiang和S.Vanduffel。Tankov（2011）关于“改进的Fréche t b ounds和多资产期权的无模型定价”的说明。J、 应用程序。概率。，49:866–87 5, 2012.[3] P·P·博伊尔和X·S·林。基于若干资产的连续索赔的界限。J、 财务部。经济。，46:383–400, 1997.[4] D.Breeden和R.Litzenberger。期权价格中隐含的国家持续索赔价格。J、 《商业》，51:621–6511978。[5] G.卡利尔。关于一类多维最优运输问题。J、 《凸面肛门》，10:517–5292003年。[6] X.Chen、G.Deelstra、J.Dhaene和M.Vanmaele。一类外推选项的静态超级复制策略。保险数学。经济体。，42:106 7–108 5, 2008.[7] P.Cheridito、M.Kupper和L.Ta ngpi。离散时间下鲁棒定价和套期保值的对偶公式。暹罗J.金融数学。，8:738–765, 2017.[8] U.Cherubini和E.Luciano。具有copulas的二元期权定价。应用程序。数学《金融》，9:69–852002。[9] A.d\'Aspremont和L.El Ghaoui。篮子期权价格的静态套利边界。数学程序106（3，Ser.A）：467–4892006。[10] J.Dhaene、M.Denuit、M.J.Goovaerts、R.Kaas和D。Vyncke。事实科学和金融中的共名概念：理论。保险数学。经济体。，31:3–33, 2002.[11] J.Dhaene、M.Denuit、M.J.Goovaerts、R.Kaas和D。Vyncke。在实际科学和金融中，共名的概念：应用。保险数学。经济体。，31:133–161, 2002.[12] P.Embrechts和G.Puccetti。

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