边际和依赖不确定性：界限、最优运输和

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英文标题：
《Marginal and dependence uncertainty: bounds, optimal transport, and
  sharpness》
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作者：
Daniel Bartl, Michael Kupper, Thibaut Lux, Antonis Papapantoleon,
  Stephan Eckstein (appendix)
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Motivated by applications in model-free finance and quantitative risk management, we consider Fr\\\'echet classes of multivariate distribution functions where additional information on the joint distribution is assumed, while uncertainty in the marginals is also possible. We derive optimal transport duality results for these Fr\\\'echet classes that extend previous results in the related literature. These proofs are based on representation results for increasing convex functionals and the explicit computation of the conjugates. We show that the dual transport problem admits an explicit solution for the function $f=1_B$, where $B$ is a rectangular subset of $\\mathbb R^d$, and provide an intuitive geometric interpretation of this result. The improved Fr\\\'echet--Hoeffding bounds provide ad-hoc upper bounds for these Fr\\\'echet classes. We show that the improved Fr\\\'echet--Hoeffding bounds are pointwise sharp for these classes in the presence of uncertainty in the marginals, while a counterexample yields that they are not pointwise sharp in the absence of uncertainty in the marginals, even in dimension 2. The latter result sheds new light on the improved Fr\\\'echet--Hoeffding bounds, since Tankov [30] has showed that, under certain conditions, these bounds are sharp in dimension 2.
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中文摘要：
受无模型金融和定量风险管理应用的推动，我们考虑了一类多元分布函数，其中假设了关于联合分布的额外信息，同时也可能存在边际的不确定性。我们推导出这些Fr类的最优传输对偶结果，扩展了相关文献中的先前结果。这些证明基于增加凸泛函的表示结果和共轭的显式计算。我们证明了双输运问题允许函数$f=1\\u B$的显式解，其中$B$是$\\mathbb R ^ d$的矩形子集，并对该结果提供了直观的几何解释。改进的Fr\\echet-hoefffding界限为这些Fr\\echet类提供了特别的上界。我们表明，在边缘存在不确定性的情况下，这些类的改进的Frechet–Hoefffding界限是逐点尖锐的，而反例表明，在边缘不存在不确定性的情况下，即使在维度2，它们也不是逐点尖锐的。后一个结果为改进的Fr’echet-Hoefffding界限带来了新的曙光，因为Tankov[30]表明，在某些条件下，这些界限在维度2上是尖锐的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Marginal_and_dependence_uncertainty:_bounds,_optimal_transport,_and_sharpness.pdf (252.91 KB)

2022-6-1 07:27:59 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 Quantitative Applications

边际和依赖不确定性：界限、最优运输和锐度Daniel Bartla，1，Michael Kuppera，2，Thibaut Luxb，3，Antonis Papapantoleonc，4，附有Stephan Ecks teina的附录，5摘要受无模型金融和定量风险管理应用的推动，我们考虑了多元分布函数的Fréchet类，其中假设了关于联合分布的额外信息，而边缘的不确定性也是可能的。我们得到了这些Fréchet类的最优传输对偶结果，扩展了相关文献中的前一个结果。这些证明基于增加凸泛函的表示结果和共轭的显式计算。我们证明了双重运输问题允许函数f=1B的显式解，其中b是Rd的矩形子集，并对该结果提供了直观的几何解释。改进的Fréchet–Hoeffding边界为这些Fréchet类提供了特别的上界。我们表明，在边缘存在不确定性的情况下，改进的Fréchet–Hoefffding边界对于这些类是逐点尖锐的，而反例表明，在边缘不存在不确定性的情况下，即使在维度2，它们也不是逐点尖锐的。

后一个结果为改进的Fréchet–Hoefffding边界带来了新的曙光，sinceTankov[30]表明，在某些条件下，这些边界在维度2上是尖锐的。关键词：依赖不确定性、边际不确定性、Fréchetclasses、改进的Fréchet–Hoefffding界限、最优传输对偶、松弛对偶、界限锐度。作者：康斯坦茨大学数学系、康斯坦茨大学10号、康斯坦茨大学78464号、德国布鲁塞尔弗里杰大学金融系、普莱因兰2号、布鲁塞尔1050号、雅典国家技术大学数学系、希腊达尼尔15780号佐格拉福校区。bartl@uni-康斯坦茨。dekupper@uni-康斯坦茨。detlux@consult-勒克斯。depapapan@math.ntua.grstephan.eckstein@康斯坦茨大学。dePAPER INFOAMS分类：60E15、49N15、28A35A之前的版本名为“改进的Fréchet–Hoefffding界限的锐度：最佳运输方法”。1、引言概率论中一个著名的结果是Féchet–Hoefffding界，它提供了一个随机向量的联合分布函数（或copula）的界，前提是只有m个边缘分布是已知的。设F（F*, . . . , F*d） 用（已知）单变量边际分布F表示RDF上的累积分布函数（cdf）的Fréchet类*, . . . , F*d、 然后，Fréchet–Hoefffding边界表示，以下不等式适用于具有给定边缘的所有联合分布函数，即适用于所有F∈ F（F*, . . . , F*d） 它认为dXi=1F*一（xi）- （d）- 1)+≤ F（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*i（xi），（1.1）表示所有（x，…，xd）∈ 这些界限可以与随机优势的结果相结合，见。g。

Müller和Stoyan[21]指出，对于某些类别的（成本或收益）函数，在考虑formRДdF的积分时，分布函数上的不等式保持不变。换句话说，Fréchet–hoefffding界与formRДdF积分的随机优势场上下界的结果相结合，在所有可能的联合分布函数上，具有给定的边缘F*, . . . , F*d（或者，等效地，在所有copula上）。这些结果在金融和保险数学中有多个应用，因为它们可以在依赖不确定性的框架下，即当边际分布已知而联合分布未知时，推导出多资产期权价格和风险度量（如风险价值）的界限，参见Chen、Deelstra、Dhaene和Vanmaele【6】，Cherubinian和Luciano【8】、Dhaene、Denuit、Goovaerts、Kaas和Vyncke【10、11】、Embrechts和Puccetti【12】、Embrechts、Puccetti和Rüschendorf【13】以及Puccetti和Rüschendorf【23】。也可以使用线性规划或最优运输理论的方法得出类似结果，参见Boyle和Lin【3】、Carlier【5】、d\'Aspremont和El Ghaoui【9】、Han、Li、Sun和Sun【14】以及Hobson、Laurence和Wang【15、16】。最优运输二元性，在数学金融文献中也称为定价二元性，例如，它表明∈F（F*,...,F*d） ZДdF=infД+···+Дd≥ИnZДdF*+ · · · +Z^1ddF*做

（1.2）换言之，使用数学金融语言，在给定边际的所有联合分布上，具有支付函数的期权价格的无模型上限等于所有对冲策略的上限，包括根据边际F*i、 受限于以下条件，即Д+···+ДD终止支付函数Д。依赖性不确定性框架的主要缺陷是，产生的边界太宽，无法为应用提供信息；e、 g.多资产期权价格的界限可能与微不足道的无套利界限重合。另一方面，我们可以从金融和保险市场中推断出随机向量依赖结构的部分信息，该随机向量在弗雷谢特-霍夫丁界限和更一般的依赖不确定性框架中没有使用，其中只考虑了边缘信息。这些考虑导致人们越来越关注可称为部分依赖性不确定性的框架，即当依赖性结构上有更多信息可用时。可用的附加信息可以有几种形式，例如，一些作者假设联合分布函数在其域的某个子集上是已知的，其他人假设相关性（或更普遍的关联度量）是已知的，其他人假设和的方差是已知的或有界的，等等。我们请读者参考吕申多夫（Rüschendorf）[27，28]，了解这篇文献的另一个概述，重点是风险价值界限的应用。类似于依赖不确定性框架中的Fréchet–Hoefffding界限，一些作者开发了改进的Fréchet–Hoefffding界限，对应于部分依赖不确定性框架，参见N elsen【22】、Tankov【30】和Lux and Papapantoleon【18、19】。

改进的Fréchet–hoefffding边界可以容纳不同类型的额外信息，例如域子集上分布函数的知识和关联度量的知识。在本文中，我们考虑以下Fréchet类在附加信息F下，π（F*, . . . , F*d） :=F∈ F（F*, . . . , F*d） ：F（s）=πs对于所有s∈ S, （1.3）其中S Rdis是任意集和（πs）s∈值在[0，1]中的Sa族。换言之，w将所有联合分布函数与已知的边际F相结合*, . . . , F*d已知值πsforeach s∈ S、 其中S是域的子集。此类联合分配的额外信息可能无法在市场上直接观察到，但可以通过类似于Breeden和Litzenberger的论点从多资产期权价格或其他衍生品中暗示出来[4]。此类改进的Fréchet–Hoefffding界限已在[19，30]中推导出来，如下所示：dXi=1F*一（xi）- （d）- 1)+∨ 最大πs-dXi=1F*i（si）- F*一（xi）+: s∈ 所以≤ F（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ minnπs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+: s∈ 所以（1.4）[19，30]中的作者还使用了改进的Fréchet–Hoefffding界限，以便在部分依赖不确定性的框架下推导出多资产衍生品价格的界限，并表明界限中包含的附加信息导致期权价格界限相对于无附加信息的情况明显收紧。有人可能会问，这个框架在应用中是否现实，尤其是关于边际分布的完美知识的假设是否得到了经验证据的支持，或者是否源于数学上的便利。

我们认为，对边缘的完全了解并不是一个现实的假设，因此我们对将边缘的不确定性与依赖结构的部分不确定性相结合的框架感兴趣。为此，我们引入了两个与此框架相对应的fréchet类，我们有兴趣研究它们的属性。我们介绍的类别允许我们同时考虑边际分布中的不确定性（通过0阶或一阶随机优势衡量），以及依赖结构的附加信息（由πsfor s的值提供）∈ S、 因此，让我们考虑一下（1.3）中FS类π的以下宽松版本，由FSπ提供（F）*, . . . , F*d） :=cF：c∈ [0，1]和F是RDF上的cdf，因此cFiF*如果所有i=1，d和cF≤ 所有s的πSFO∈ S, （1.5）其中，fi是F的第i个边际分布，cFiF*我指的是F*i在第0个随机顺序中确定cFi，即cFiF*iif且仅当cFi（t）- 首席财务官≤ F*i（t）- F*i（s）代表所有s≤ t、 （注意，对于c=1，它遵循FiF*ithat Fi=F*i、 换句话说，我们考虑一类联合分布函数（与次概率测度相关），其边缘由F支配*, . . . , F*对于域的子集s中的每个点s，其值小于πs的0阶随机序。此外，我们考虑（1.3）中FS类π的另一个宽松版本，由FSπ提供（F）*, . . . , F*d） :=F:F是RDF上的cdf，因此FiF*如果所有i=1，D和F（s）≤ 所有s的πSFO∈ S, （1.6）其中FiF*I表示一阶随机支配F*i、 这一类与前一类非常相似，但现在我们考虑Rd上的概率度量。让我们提到，在一阶随机优势的文献测试中存在，请参见。

Schmid和Trede【29】。用u和u表示*与cFjand F相关的实线上的（次）概率*j、 然后一个Dynkin参数显示cFjF*jif且仅当u（B）≤ u*（B） 对于R的每个Borel子集，这两类属于上述框架，即它们允许我们考虑边际分布的不确定性，并将其与依赖结构的附加部分信息相结合。使用copula理论中的参数（推迟到appendixb）进行的简单计算表明，改进的Fréchet–hoefffding界[19，30]也适用于这两类。类似的结果已经出现在Puccetti、Rüschendorf和Manko【24】中。本文的贡献有三个方面：o我们为每一个弗里切特类FS，π，FS，π提供了最优运输或定价对冲的对偶结果和FS，π. 换句话说，我们证明了在存在额外信息的情况下，最优传输对偶是成立的；这概括了相关文献中先前的结果，参见Rachev和Rüschendorf【25】。在数学金融的背景下，我们表明，在存在额外信息的情况下，定价二元性结果也成立，在这种情况下，对冲组合还应包括多资产期权中的头寸，这些头寸的额外信息可用。此外，保证金的不确定性转化为“双重”方面的交易限制，如卖空限制我们证明了函数f=1B的对偶传输问题，对于矩形集BRd，允许类FS，π中的显式解.

用数学金融的语言，我们展示了卖空约束下多资产数字期权的超边缘问题提供了一个明确的解决方案，并解释了这个结果背后的直觉最后，我们讨论了类FS，π，FS，π的上改进Fréchet-H-oefffding界的逐点锐度和FS，π. 对于某个C类ifB，上界B称为夏普∈ 对于C ifsupF，称为逐点夏普∈CF（x）=B（x）表示所有x∈ dom（F）。更具体地说，我们表明，对于类FS，π，改进的Fréchet–H Oefffding上界是逐点Sharp的和FS，π. 此外，通过一个反例，我们证明了即使在维数d=2的情况下，对于类FS，π，samebound也不是逐点尖锐的。后一个结果令人惊讶，因为Tankov[30]已经证明，在集合S的某些条件下，上界不仅是逐点尖锐的，甚至是尖锐的，也就是说，他实际上证明了上改进的Fréchet–H oefffding界属于Fréchet类F。本文的结构如下：在第2节中，我们推导了上述三个Fréchet类的最优传输对偶。在第3节中，我们给出了函数f=1B在类FS，π中的对偶输运问题的显式解. 在第4节中，我们介绍并讨论了改进的Fréchet–Hoefffding边界的逐点锐度结果。最后，附录A包含上述反例，而附录B包含类FS，π的改进fréchet–H oefffing界的推导和FS，π.2、额外信息下的输运和松弛输运对偶在本节中，我们建立了我们的主要对偶结果。

我们推导了运输问题的对偶表示，即概率或子概率测度上的d维成本或收益函数的期望最大化，其单变量边际要么在0阶随机序中给定，要么在0阶随机序中占优，并且其质量规定在Rd中的某些矩形上。使用类似的参数，我们还获得了一个包含约束的运输问题的对偶表示，其形式是对第一随机顺序中的边际分布的估计。此外，作为一个推论，我们建立了一个具有随机变量最大值约束的运输问题的对偶性。我们遵循本节中最优运输理论的符号，因此使用度量值而不是分布函数。我们首先介绍有用的概念和符号。让我们用ca+（Rd）表示Rd，d的Borelσ-场上的所有单元测量集≥ 1和ca+（Rd）（分别为ca+≤1（Rd））满足u（Rd）=1（分别为u（Rd）的度量值u的子集≤ 1). 如果没有歧义，也可以从旋转中省略空格Rd。设ν，νd∈ ca+（R）并确定设定值：=(-∞, Ai]×····×(-∞, 援助] Rdfor i∈ 一、 其中I是任意索引集。定义任何成本或回报函数f:Rd→ R thesetΘ（f）：=n（f，…，fd，a）：f（x）+···+fd（xd）+Xi∈IaiAi（x）≥ f（x），对于所有x∈ Rdo，其中fi:R→ R是有界可测函数，a=（ai）∈ RI，因此ai=0，对于所有但非常多的i∈ 一、 此外，让0≤ πi≤πi≤ 1和定义π（f，…，fd，a）：=ZRfdν+···+ZRfdνd+Xi∈我ai+πi- 人工智能-πi,对于每个（f，…，fd，a）∈ Θ（f），其中ai+和ai-分别表示air的正负部分，即ai+=max{ai，0}和ai-= 最大值{-ai，0}。用Θ（f）表示所有（f，…，fd，a）的集合∈ Θ（f）使得f，fd公司≥ 0和ai≥ 0代表所有i∈ 一、 现在定义函数φ（f）：=infπ（f，…，fd，a）：（f。