基于金融危机指标的成功投资策略

然而，在实践中，在本研究中，我们将聚合许多不同指标产生的信号，截断协方差或相关矩阵的频谱确实会产生技术问题，并且往往会降低预测的质量，尤其是在Douady和Kornprobst（2017）中被称为A系列的指标，这些指标将整体谱的分布与代表平静或动荡市场的选定参考进行比较。因此，我们决定从现在开始，在本文中为所有数据集选择T=1.1×N（1）。尽管这意味着对于包含最多资产的数据集（如Dataset-SP500或Dataset-BE500），滚动窗口变得相当大，但使用未被截断的频谱所带来的好处超过了指标响应性损失方面的缺点，因为我们的一些数据集的内存较长。因此，在整个研究中，我们为每个数据集的滚动窗口选择以下大小；Dataset-SP500为462天，Dataset-BE500为461天，Dataset-SHSZ300为162天，Dataset-NASDAQ为76天，Dataset-CAC40为41天。对于给定的数据集和给定的日期t，我们考虑日志返回矩阵：a（t）=（ai，j（t））i∈J1，NK；j∈Jt公司-T、 T型-1K A（t）的行表示单个股票成分的时间序列，A（t）的列表示观察日期。该矩阵的系数是本研究中考虑的一个股票指数的股票组成部分的比例和中心每日对数回报率：ai，j（t）=√T{ri（j）-PTk=1ri（t- k） T}（2）从矩阵A中，我们推导出五个感兴趣的矩阵：o未修改的矩阵A（T）本身使我们能够通过其奇异值分解（我们将在下面详细描述）来计算N个股票成分在时间段T上的协方差矩阵的谱。

协方差矩阵包含给定股票指数的股票成分的相关性和波动性影响，这两种信号都是有用的矩阵B（t）=（bi，j（t））i∈J1，NK；j∈Jt公司-T、 T型-1K是通过将A的每个系数与其所属行的标准偏差进行归一化得到的。这种归一化消除了A（t）中包含的波动性信息，而B（t）仅包含股票成分之间的纯相关性。bi，j（t）=ai，j（t）std（Jai，t-Tai，t-1K）（3）通过B（t）的奇异值分解，我们得到了N个股票成分在时间段t内的相关矩阵的谱矩阵B（t）=（bi，j（t））i∈J1，NK；j∈Jt公司-T、 T型-1k是通过将B（t）的每一个系数与t对应股票每日交易量的相对重要性进行加权得到的- 1，关于指数的所有其他组成部分。背后的想法是建立一个不同的相关性矩阵，这使得指数中流动性最强、交易量最大的股票更加重要。事实上，这些流动性股票更容易推动市场走势，尤其是危机期间和之前的下跌走势。bi，j（t）=bi，j（t）Vi（t）PNk=1Vk（t）（4）根据B（t）的奇异值分解，我们将获得N个股票成分在时间段t内的相关矩阵的谱，该时间段t通过体积加权矩阵B（t）=（bi，j（t））i∈J1，NK；j∈Jt公司-T、 T型-1通过对B（t）的每个系数应用与相应公司的市值成比例的权重来构建。

这种想法是为了在计算相关矩阵的频谱时更加重视市值最大的公司，这些公司虽然规模庞大，但可能会推动整个行业部门或整个金融市场的变动。通过计算b（t）的奇异值分解，我们将获得相关矩阵的另一个系数的谱，其中一个系数由市值加权。bi，j（t）=bi，j（t）Ci（t）PNk=1Ck（t）（5）o最后，矩阵B（t）=（bi，j（t））i∈J1，NK；j∈Jt公司-T、 T型-1K是加权相关矩阵的另一种形式。这一次，我们对每个系数应用了相应公司财务杠杆的权重比例。由于财务杠杆可以被解释为衡量公司财务健康状况的一种手段，因此它为我们提供了一种有价值的方法，使我们在计算中更加重视那些由于财务杠杆较高而更容易受到危机期间重大不利影响或引发多米诺骨牌效应风险的企业。事实上，与自身资产相比，他们的债务比例更高，使他们处于更不稳定的财务状况，或者至少处于市场突然随机下滑将使他们无法偿还债务，从而容易破产的境地。例如，在2007-2008年金融危机期间，许多全球金融机构在这种恶性循环之前就陷入了困境。bi，j（t）=bi，j（t）Li（t）PNk=1Lk（t）（6）然后，我们将Horn和Johnson（2013）以及Golub和Van Loan（2013）中详述的奇异值分解（SVD）技术应用于我们的五个滚动矩阵（A、B、B、B带），以便在每个日期获得相应协方差、相关或加权相关矩阵的频谱。

我们通过使用SVDis获得的主要优势是，计算奇异值的算法不需要任何矩阵乘法，如Douady和Kornprobst（2017）所述，其中获得协方差和相关矩阵需要矩阵与其转置的乘积。因此，在计算机上执行代码时不会出现任何附加的数字错误。事实上，经典的光谱测定方法首先通过转置计算滚动矩阵的乘积，然后再应用标准技术，如使用牛顿-拉斐逊方法或Abbasbandy（2003）的工作中详细介绍的类似技术，通过数值计算特征多项式的所有根。SVD方法绕过了使用这些矩阵乘法的需要。考虑N×T，其中（N<T），矩阵M，其中M=A或M=Bkfork∈ J0，3K），编写奇异值分解：M=U∑VT；Σ =σ0 . . . 0 0 . . . 00 σ. . . 0 0 . . . 0.....................0 0 . . . σN0。0（7） M mta的特征值λiof由∑中的奇异值σifound获得：我∈ J1，N K，λi=σi（8）在计算每个日期t的滚动矩阵的全谱后，我们可以使用Kornprobst和Douady（2017）工作中描述的两种金融危机指标首先，有一些指标比较与我们的五个滚动矩阵相关的协方差、相关或加权相关矩阵的整个频谱，以参考频谱分布。我们将这些金融危机指标称为α系列。参考分布可以代表一个激动的市场参考，也可以代表一个平静的市场参考。继Douady和Kornprobst（2017）的工作之后，我们考虑了三种不同的参考分布。两个代表平静的市场，一个代表动荡的市场。

从采用的海林格距离（Hellinger distance）的意义上讲，当市场上金融危机的风险增加时，预计观察到的经验分布将从平静的参考分布转移到激动的参考分布。其主要思想是测量方差矩阵、相关矩阵或加权相关矩阵的特征值的整个频谱何时向更高的特征值移动，这是一种表明市场不稳定的情况，因此可能表明即将发生危机的可能性。对理想平静市场建模的第一个参考分布称为R，是Marchenko Pastur分布，在Marchenko and Pastur（1967）中介绍。它是由独立的同分布正态高斯系数构成的滚动矩阵对应的相关矩阵的频谱分布。第二个参考分布，称为RRE，代表更现实的平静市场。该数值计算参考值是与滚动矩阵相对应的协方差矩阵的特征值分布，滚动矩阵由高斯系数构成，在chosendataset（约50%）中包含的整个样本的所有资产之间的长期相关系数的平均值水平上相互关联，如Douady和Kornprobst（2017）所述。呈现波动市场参考的分布R是协方差矩阵特征值的数值计算分布，协方差矩阵对应于由学生（t=3）系数构成的滚动矩阵，这些系数通过与R中使用的方法相同的方法相互关联。

由此产生的系数遵循厚尾分布，并相互关联，因此构成了动荡市场的充分代表，其中股票指数股票部分的对数收益率波动性很大，容易出现极值。这些市场条件模拟了我们预计在几天内会出现的情况，这些情况会导致金融危机。综上所述，我们正在考虑五个矩阵（A、B、B、B区）和三个参考文献（R、Rand R），因此给出了α系列的15个金融危机指标其次，金融危机指标计算协方差矩阵、相关矩阵或加权相关矩阵的特定光谱特性。我们将这些金融危机指标称为β系列。我们考虑了三个光谱特性：光谱半径（特征值的最大值）、轨迹（特征值的和）和Frobenius范数（特征值的平方和）。这些指标背后的基本思想与α系列指标的情况相似，后者将整个光谱分布与参考分布进行比较。事实上，谱向右移，向更大的特征值移动，表明市场不稳定。这意味着市场的相关性和波动性增加，从而增加了发生冲突的风险。这些影响在与所考虑的五个滚动矩阵相对应的不同观点下进行研究。因此，我们考虑了五个矩阵（A、B、B、B带）和三个光谱特性（光谱半径、迹线和Frobeniusnorm），这为我们提供了β系列的14个金融危机指标。事实上，协方差矩阵的轨迹作为指标是无用的，因为它是常数，等于所考虑的股票指数中股票成分的数量N。

另一方面，从B（交易量）、B（市值）和B（财务杠杆）获得的加权相关矩阵的痕迹是非常有效的指标，为研究提供了独特的视角，因此非常有价值。事实上，正如书面不等式（4）、（5）和（6）所述，权重应用于滚动矩阵的系数X，而不是A的系数。因此，在加权之前应用归一化，加权相关矩阵的特征值之和（由B带B的奇异值分解获得）没有理由保持不变。因此，在汇总α系列和β系列的指标时，我们总共获得了29个金融危机指标。在给定日期t，当需要做出投资决策时，这些金融危机指标中的每一项都被视为专家意见。当必须制定战略时，我们的方法的核心将是试图在这29种观点之间达成共识。4校准我们的29个金融危机指标提供的每日结果目前只是数字。我们需要将这些数字转化为金融危机预测。我们必须确定样本校准期，并识别29个指标在该校准期内所取值的模式，这些模式是可重复的，我们将在无样本研究中使用这些模式进行预测。为了定量地确定金融危机，我们在每个给定日期引入未来给定时间范围H的最大提取（MDD（t））的t现象。我们将选择100天时的H作为剩余的研究，因为它是文献和行业中常用的值。

我们将金融危机或市场事件定义为超过所选的最大提取阈值，例如，如果我们想考虑轻微的市场事件，可以降低至5%，如果我们打算考虑大部分非常大的危机，则可以降低至40%。大多数指数的最大跌幅从未超过40%，甚至在2008年雷曼兄弟破产时的危机最严重时期也是如此。在我们正在构建的框架内，最大提取阈值的选择是构建成功的系统交易策略的重要部分。对于给定的数据集，计算最大提取的参考资产是指数本身（或复制指数的ETF），考虑的价格是P（t）天的最后一个价格。MDD（t）=最大≤t型≤τ ≤t+H{1-P（τ）P（t）}（9）显然，在样本外研究中，一个日期的tof MDD（t）值不知道att，我们需要未来的知识。事实上，我们希望将我们的指标值解释为未来在预测期H的过程中超过所选最大下降阈值的概率。然而，在样本中，我们的指标培训期内，我们将在给定日期将指标值与MDD（t）值进行匹配，从t日存在的观察者的角度出发，使用未来的数据进行提前计算。我们这样做是为了准确了解我们的指标所记录的值，这些指标对应于预测范围H内未来给定MDD阈值的交叉。该过程是我们29个指标校准的核心。在校准过程中，我们必须选择两件事。首先，我们确定样本校准期的大小K，在此期间，我们的指标学习如何识别他们所取的与最大MDD值匹配的值。

显然，校准周期越大，理论上越好，但由于我们的数据跨度仅为10年左右，我们必须保留足够大的样本期，以进行预测并验证我们系统交易策略的可行性。还有必要将2007-2008年的金融危机纳入校准期，因为指标必须至少面对一次重大危机，以了解其特征，并希望能够在样本期外提前识别类似事件。除了所有这些考虑因素外，校准周期K必须至少满足给定数据集的滚动窗口t，正如我们之前在等式（1）中解释的那样，该窗口t等于1.1×N，其中N是数据集中存在的库存组件的数量。使用这些符号，将有K- T指标培训和预测的可用日期可以从日期K+H开始。图1总结了校准周期的情况，滚动窗口用橙色矩形表示。图1：校准周期（红色）和滚动窗口（橙色），以使指标有机会为我们的五个数据集中的每个数据集提供足够的可用校准日期，并记住，我们必须尽可能平等地对待它们，即使它们所含的库存组分数量大小非常不同，我们建立了以下规则：K=max（500，T+50）（10）。这似乎是一个合理的选择。事实上，公式（10）保证所有数据集的指标都会遇到2007-2008年的金融危机，即使是较小的数据集，如CAC40。它确保培训期不会明显超过2年（假设每年约250个交易日），即使是对于SP500和BE500等较大的数据集。

最后，所有数据集（甚至更大的数据集）的指示器都保证至少有50个培训日期，这是保证其正确校准的最低要求。使用公式（10），我们获得了Dataset-SP500的样本校准期为512天，Dataset-BE500的样本校准期为511天，Dataset-SHSZ300、Dataset-NASDAQ和Dataset-CAC40的样本校准期为500天。对于给定的数据集和29个金融危机指标中的每一个，我们绘制了给定日期的最大提款与同一日期指标数值的散点图。附录中提供了所有五个数据集的曲线图以及α系列和β系列的29个金融危机指标。样本内校准期日期对应的点为红色，样本预测期日期对应的点为蓝色。通过观察所有这些曲线图，最显著的特征是它们都大致呈钟形，最重要的是，钟形结构在校准期和预测期都存在。在样本训练期和样本外预测期内，与MDD较高值相对应的指标值相同。这意味着，有必要在校准期间教授指标，他们所取的值实际上与MDD的最高值相对应（即金融危机）。当校准期内可用日期的数量较大时（即就股票指数内股票成分的数量而言，对于较小的数据集），这些结构显然更容易看到，但几乎总是可见的。我们可以用以下方式从财务角度解释钟形结构。当指示器的值非常小时（分别为。