论最优运输产生的投资组合

取一个（凹）生成函数Д：n→ R并考虑其梯度（3.7）~η（t）=^1（u（t））。在最优运输7产生的投资组合中，由Д产生的额外交易策略是从（3.7）中以（2.7）的方式获得的自我融资策略，该策略纠正了“自我融资的缺陷”。我们下面给出的公式（3.8）取自【21，第3.3节】。定义3.4（额外生成的投资组合）。设ν为光滑凹函数n、 通过（3.8）ηi（t）=Dei定义了由Д产生的额外交易策略-u（t）Д（u（t））+Vη（t），i=1，n、 一旦初始值Vη（0）固定，这对于所有t都是明确的。注意，相加生成的交易策略取决于当前市场权重u（t）和当前投资组合值Vη（t），而乘法生成的投资组合的投资组合权重是u（t）的确定函数。为了完整性和说明符号，让我们检查以下引理3.5。（3.8）定义的交易策略η是自我融资的，即身份（2.3）保持不变。证据假设该策略在时间t之前是自我融资的。那么，时间t+1的投资组合价值是明确的，等于vη（t+1）=nXi=1ηi（t）ui（t+1）。另一方面，我们有nXi=1ηi（t+1）ui（t+1）=nXi=1（Dei-u（t+1）Д（u（t+1））+Vη（t+1））ui（t+1）=nXi=1ui（t+1）Dei-u（t+1）Д（u（t+1））+ Vη（t+1）=0+Vη（t+1）。最后一个等式来自方向导数的线性和nxi=1ui（t+1）（ei）的事实- u（t+1））=u（t+1）- u（t+1）=0。通过归纳，战略η是所有t的自我融资。现在，我们为价值过程开发了一个分解公式，该公式在【12】中连续进行了验证。在我们的离散时间设置中，【12，命题4.3】中的有限变化项成为Bregmandivergence的累积和。

Bregman散度是在[4]中引入的，是信息几何学中的一个基本概念。几何后果将在第4节中解释。定义3.6（布雷格曼分歧）。定义3.4中凹函数Д的布雷格曼散度是非负函数DB，Д[·|·]：n×n→[0, ∞) 定义为（3.9）DB，Д【q | p】=^1（p）·（q）- p）- （q）- ^1（p））。8 TING-KAM LEONARD WONGTheorem 3.7（添加剂分解）。考虑由凹函数Д生成的交易策略η。然后，相对值满足分解（3.10）Vη（t）- Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0DB，Д[u（t+1）|u（t）]。证据对于任何t，我们有vη（t+1）- Vη（t）=nXi=1ηi（t）（ui（t+1）- ui（t））=nXi=1Dei-u（t）Д（u（t））+Vη（t）！（ui（t+1）- ui（t））=nXi=1（ui（t+1）- ui（t））Dei-u（t）Д（u（t））=^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））=Д（u（t+1））- Д（u（t））+分贝，Д[u（t+1）|u（t）]。公式（3.10）通过随时间求和得出。我们还给出了一个加法情况的例子。Let^1（p）=-1 | p|=-1.p+···+pn是平方欧几里德范数的负一半。它生成交易策略η（t），由ηi（t）=p给出|- pi+Vη（t）。有趣的是要注意到，φ的布雷格曼散度是欧氏距离平方的一半：DB，φ[q | p]=kp- qk。有关布雷格曼分歧的其他示例，请参见[1，第1章]。3.3. 功能性投资组合生成框架。

观察分解（3.5）和（3.10）都可以写成（3.11）g（Vη（t））的形式- g（Vη（0））=Д（u（t））- ν（u（0））+D[u（t+1）|u（t）]，其中g、Д和D[·|·]是合适的函数：o（乘法生成）g（x）=对数x，D[···]是指数凹函数的L-散度（加法生成）g（x）=x，D[·|·]是凹函数的布雷格曼散度。人们很自然会问，是否存在其他允许形式路径分解的投资组合结构（3.11）。为了阐明这个问题，我们引入了散度的一般概念。在信息几何中，散度是可微流形上的一个非负的类距离量；见【1，第1章】。这里我们只考虑单位单纯形上的发散。定义3.8（分歧n） 。上的分歧nis a非负函数D[·：·]：n×n→ [0, ∞) 满足以下条件：（i）D[q:p]=0当且仅当p=q。关于由最优传输9u（0）u（t）u（0）u（t）图2生成的投资组合。功能生成交易策略的财务直觉。左：市场位移，其中虚线曲线是生成函数的水平集。右图：路径{u（s）}ts的波动率=0，作为累积散度。（ii）它允许（3.12）D[p+p:p]=nXi，j=1gij（p）圆周率pj+O(|p |），其中|p |→ 0，且矩阵G（p）=（gij（p））在p中平稳变化，且严格正定义为（3.13）nXi，对于所有向量v，j=1gij（p）vivj>0∈ RN与n、 即v+···+vn=0。如果条件（i）被删除，并且在（3.13）中我们没有严格不等式，我们称D[····]为伪散度。注意，散度在变量p和q中不一定是对称的。

在我们的背景下，这一点从直觉上是清楚的，因为逆转时间的方向几乎总是会导致不同的财务结果。当Φ=eД和Д的欧几里德黑森值分别为严格正定义时，L-散度和Bregmandivencies为真散度（矩阵g见下文（3.14））。定义3.9（一般功能组合构建）。设η={η（t）}∞t=0bea自我融资交易策略，其价值过程为Vη（t），并设Д，g：n→ Rbe功能开启其中g严格递增。如果存在伪散度D[·：·]，我们说η是由φ和标度函数g生成的（3.11）适用于所有市场序列{u（t）}∞t=0。我们将根据第5节中的定义3.9描述功能生成。在结束本节之前，我们简要讨论了分解后的财务直觉（3.11）。分解意味着投资组合相对于市场的表现可归因于两个数量。第一个是通过函数Д（u（t））的变化来衡量的市场位移。它仅取决于市场的起始位置u（0）和当前位置u（t）。请注意，Д（u（t））的变化仅由沿垂直于水平集的φ（u（t））。10 TING-KAM LEONARD WONGIn，尤其是沿着同一水平集的位移，在本图中不可见。（3.11）中的第二项测量了市场的波动性，当市场从u（0）移动到u（t）时，通过D[u（s+1）|u（s）]随时间的总和来测量。直觉上，当且仅当波动性大于市场位移时，功能生成交易策略η的表现优于市场。

本着这种精神，可以通过对φ（u（t））和散度项的增长施加条件来构建相对论。在连续时间限制内，散度项-1s=0D[u（s+1）|u（s）]成为根据市场权重的二次变化过程给出的有限变化过程。这源自二次近似（3.12）。特别是，在矩阵符号中，我们有DB，Д[p+p | p]=-1(p） >赫斯（p）(p） +O(|p |），DL，Д[p+p | p]=-1(p） >赫斯И（p）+(^1（p））(^1（p））>(p） +O(|p |），（3.14），其中HessД是欧氏Hessian矩阵。这给出了连续时间设置下的[12，命题4.3]和[6，定理3.1.5]。与最佳运输和信息几何的连接4.1。最佳运输。最佳运输是一个极其广阔和深入的领域。为了简单起见，我们使用离散质量的传输来解释主要思想。（如[18]和[21]所示，结果适用于满足温和条件的广义概率测度的Monge-Kantorovich问题。）为了系统地阐述最佳交通方式，我们建议读者阅读维拉尼的优秀书籍【23，24】。设X，Y为集，c:X×Y→ R是一个成本函数。让x，xN公司∈ X和y，yN公司∈ Y、 在这种简化的背景下，（Monge）最优运输问题试图为每个xito分配一些yjso，以最小化总运输成本：minNXi=1c（xi，Yσ（i））。这里的最小化是所有双射（即置换）σ：{1，…，N}→{1，…，N}。利用置换是不相交循环的产物这一事实，不难证明（见[23，练习2.21]）赋值xi→ yi，i=1，N、 是最优的当且仅当它是c-循环单调的，即，对于任何i，i，imin{1，…，N}我们有（4.1）mXk=1c（xik，yik）≤mXk=1c（xik，yik+1），其中根据惯例im+1：=i。

同样，我们可以定义子集a的c循环单调性 X×Y.在非常温和的条件下（见[23，24]），我们可以证明运输计划的C循环单调性是Monge-Kantorovich问题最优性的有效和必要条件。功能组合生成和最佳运输之间的联系如下。考虑分解（3.3）和（3.7）。如果市场路径满足u（t）=u（0），那么{u（s）}ts=0是n、 然后，我们总是有最优运输11Vη（t）产生的投资组合≥ Vη（0）。结果表明，对于适当的代价函数选择，该不等式等价于c-循环单调性。这意味着功能生成的交易策略可以作为某些最优运输问题的解决方案。以下定理摘自【18】和【21】。定理4.1（功能生成和最佳运输）。（i） （乘法生成[18]）设X=nand Y=n、 考虑成本函数（4.2）c（p，q）=log（p·q），（p，q）∈ X×Y.假设π是指数凹函数通过（3.1）乘法生成的投资组合图。给定π，定义映射T：n→nby（4.3）T（p）=π（p）/pPnj=1πj（p）/pj，πn（p）/pnPnj=1πj（p）/pj！。那么T的图是c-循环单调的。（ii）（加法生成[21]）改为考虑X=nand Y=Rn，而成本函数（4.4）c（p，v）=p·v，（p，v）∈ X×Y.考虑凹函数通过（3.8）生成的交易策略η。确定交通地图T：n→ Rnby（4.5）T（p）=^1（p）。那么T的图是c-循环单调的。让我们注意到，在定理4.1（ii）中，一旦确定了成本函数，关于c-循环单调性的陈述立即来自Rockafellar定理（见[20，第24节]），该定理描述了凸/凹函数的不同之处。4.2.

额外生成的投资组合的几何结构。功能生成的投资组合与信息几何学有关，这是在【19】的多重生成投资组合中首次发现的。在这篇文章中，我们研究了由单纯形上指数凹函数的给定L-散度诱导的几何结构（在[1，第6章]的意义上）nand证明了一个广义的勾股定理。这里我们给出了加法生成的类似物；由于布雷格曼散度的几何学已经得到了很好的研究，这种情况更容易发生。设η为光滑凹函数Дon相加生成的交易策略n、 因此HessД是严格的正定义。在第2节讨论的市场模型中，投资组合在每个时间点进行交易。更一般地说，我们可以根据停车时间的增加顺序进行交易。一个重要的财务问题是确定最佳再平衡频率。对于三个时间点的情况，我们可以几何地描述该解。让t<t<t考虑两种实施策略η的方法：（a）仅在t时重新平衡。（b）在t时重新平衡。12 TING-KAM LEONARD WONGThen，在t时，相应的投资组合值为v（a）η（t）- V（a）η（t）=Д（u（t））- Д（u（t））+D[u（t）|u（t）]，V（b）η（t）- V（b）η（t）=Д（u（t））- Д（u（t））+D[u（t）|u（t）]+D[u（t）|u（t）]，其中D=DB，Д是Д的布雷格曼散度。假设V（a）η（t）=V（b）η（t），我们发现方法（b）在[t，t]期间的收益大于方法（a），当且仅当（4.6）D[u（t）|u（t）]+D[u（t）|u（t）]≥ D[u（t）|u（t）]。我们给出了三重态的几何条件（p，q，r）=（u（t），u（t），u（t））∈(n） 保持（4.6）。这将根据布雷格曼散度的二重弯曲几何形状进行说明；有关更多详细信息和动机，请参见【1，第1章】。定义4.2（布雷格曼散度几何）。

设M=n被视为牙齿（n- 1） -无边界的维光滑流形。（i） （原始坐标）单位映射p=（p，…，pn）∈ M 7→ p=（p，…，pn）称为原始坐标系。（ii）（双坐标）地图p∈ M 7→ p*= Д（p）称为双坐标系。根据勒让德变换的性质，这是一个从M到其范围（也是凸的）的微分同胚。p=φ*（p*) 其中^1*是ν的凹共轭。（iii）（原始测地线）给定p和q，从q到p的原始测地线是直线γ（t）=（1- t） 用原始坐标表示时，q+tp。（iv）（双测地线）给定q和r，从q到r的双测地线是直线γ*（t） =（1）- t） q*+ tr公司*用双坐标表示时。（v） （黎曼度量）设u和v相切于nand以主坐标表示，并设p∈ n、 p的黎曼内积由（4.7）hu定义，vip=u>(- HessД（p））v。我们说，如果hu，vip=0，u和v在p处正交。我们说这种几何是双重的，因为p空间中的直线和p空间中的直线*空间给出M上的两个a ffne结构；通过勒让德变换，这两个坐标系是相互对偶的。在[19]中，这种二元结构扩展到对数成本函数，其中勒让德变换采用（4.3）的形式。定理4.3（广义勾股定理）。设p、q和r是不同的点sinn、 考虑从q到p的原始测地线γ（t）和对偶测地线γ*（t） 从q到r，当且仅当速度向量˙γ（0）和˙γ之间的黎曼角*（0）at q小于π。此外，当且仅当两条测地线在q处正交相交时，等式成立（见图3）。证据参见【1，定理1.2】。

关于最优传输13RQP双测地线基本测地线生成的投资组合⊥ 在黎曼度量表下图3。广义勾股定理。这是在主坐标中绘制的，因此原始测地线是一条直线。5、功能组合生成的特征在本节中，我们根据定义3.9对功能组合生成进行了特征描述。在本节中，我们将η定义为功能生成的交易策略，如定义3.9所示。我们假设标度函数g是光滑的，并且对于所有x，g（x）>0。我们还要求g的域包含正实线（0，∞). 此外，我们假设η是非平凡的，因为对于时间t之前的所有市场路径，利润或损失η（t+1）- Vη（t）=η（t）·（u（t+1）- u（t））不是作为u（t+1）函数的相同零。5.1. 缩放功能。我们首先描述了scalefunction的可能形状。提案5.1。尺度函数g仅当具有以下形式之一时，才允许使用非平凡函数生成的交易策略。（5.1）g（x）=cx+Cw，其中c>0和c∈ R、 或（5.2）g（x）=堵塞（c+x）+此处为CWC≥ 0，c>0和c∈ R、 我们将用几个引理证明命题5.1。首先，我们观察到，分解（3.11）已经暗示了每个时间点的交易策略公式。引理5.2。对于任意切线向量vn（即v+···+vn=0）我们有（5.3）η（t）·v=g（vη（t））ν（u（t））·v。尤其是对于每个i=1，n、 我们有（5.4）ηi（t）=g（Vη（t））Dei-u（t）Д（u（t））+Vη（t）。14 TING-KAM LEONARD WONGProof。从（3.11）我们得到等式（5.5）g（Vη（t+1））- g（Vη（t））=Д（u（t+1））- ν（u（t））+D[u（t+1）|u（t）]，适用于u（t+1）的所有值。此外，我们有Vη（t+1）=Vη（t）+η（t）·（u（t+1）- u（t））。现在让u（t+1）- u（t）=δv，δ>0，并计算（5.5）两侧的一阶近似值。

由于D[·|·]是一个伪散度，通过（3.12），其一阶近似值消失。计算导数并除以δ>0，我们得到（5.3）。让v=ei-u（t）in（5.4），对于i=1，n、 我们得到了显式公式（5.4）。观察到（5.3）在g（x）=x时减少到（3.7），在g（x）=log x时减少到（3.1）。此外，我们注意到交易策略仅取决于u（t）和当前值Vη（t）。放置v=u（t+1）- u（t）在（5.3）中，我们有（5.6）Vη（t+1）- Vη（t）=g（Vη（t））^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））。考虑表达式（Vη（t+1））- g（Vη（t））=g（Vη（t）+（Vη（t+1）- Vη（t）））- g（Vη（t））=gVη（t）+g（Vη）^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））i）- g（Vη（t））。（5.7）乘以（3.11），等于Д（u（t+1））- ν（u（t））+D[u（t+1）：u（t）]，仅为u（t）和u（t+1）的函数。因此，（5.7）中的表达式不取决于当前投资组合价值Vη（t）。根据这一观察，我们将推导出一个由g.引理5.3满足的微分方程。标度函数g满足三阶非线性ODE（5.8）gg=2（g）。证据设x=Vη（t），设δ=^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））。根据（5.7），对于任何δ，表达式（5.9）g（x+g（x）δ）- g（v）不依赖于x。关于x的微分（5.9），我们有g（x+g（x）δ）1.- δg（x）（g（x））- g（x）=0。接下来，我们对δ进行区分（由于η被假定为非平凡的，这可以通过改变u（t+1））：g（x+g（x）δ）g（x）1.- δg（x）（g（x））+ g（x+g（x）δ）-g（x）（g（x））=0。关于最优运输15产生的投资组合，再差一次δ，我们有g（x+g（x）δ）（g（x））1.- δg（x）（g（x））+ g（x+g（x）δ）-g（x）（g（x））-g（x+g（x）δ）g（x）（g（x））=0设置δ=0，我们得到g（x）（g（x））- 2（g（x））（g（x））=0。重新排列，我们获得ODE（5.8）有了微分方程，不难检查以下引理5.4。