论最优运输产生的投资组合

ODE（5.8）的所有解都可以写成（5.10）g（x）=c+cx或g（x）=clog（c+x）+c的形式，其中ci是实常数。命题5.1的证明。这个命题现在是前面引理的直接结果。常数c的条件确保g严格递增，且其域包含（0，∞). 5.2. 新一代功能性产品。请注意，g（x）=c+cx形式的标度函数对应于相加生成，所以它们不会导致新的投资组合。接下来，我们将展示每个尺度函数g（x）=clog（c+x）+CADMIT是一个函数组合生成。请注意，相加常数C不起作用，可以省略。让我们写出c=α和c=c，其中α>0和c≥ 0是参数。出于（5.4）的动机，我们给出以下定义。定义5.5（（α，C）-生成）。让^1：n→ ∞ 是一个光滑函数，使得eαν在n、 （我们称之为α-指数凹函数。）Alsolet Vη（t）>0应固定。由Д生成的交易策略（α，C）是由（5.11）ηi（t）=α（C+Vη（t））Dei定义的过程η（t）-u（t）Д（u（t））+Vη（t），i=1，n、 这里的初始值Vη（0）是固定的和任意的。按照引理3.5的方式，很容易验证（5.11）是一种自我融资的交易策略。将（5.11）与（3.1）和（3.8）进行比较，我们发现乘法生成对应于C=0和α=1的情况，加法生成对应于α=C时的极限→ 注意，当C 6=0时，portfolioweights取决于Vη（t）和u（t）。交易策略可以解释如下。通过增加C，我们可以构建比乘法生成的投资组合更具攻击性的投资组合。请注意，我们保留参数α，以便我们可以使用相同的生成函数生成不同的Portfolios。引理5.6（投资组合权重η）。

设π（α）为指数凹函数αν多次生成的投资组合过程。如果Vη（t）>0，（α，C）生成的交易策略η的组合权重向量π（t）由（5.12）π（t）给出=η（t）u（t）Vη（t），ηn（t）un（t）Vη（t）=C+Vη（t）Vη（t）π（α）（t）-CVη（t）u（t）。特别是，在每个时间点，η（t）做多乘法生成的投资组合π（α），做空市场投资组合，权重取决于Vη（t）和C.16 TING-KAM LEONARD WONGProof。使用（5.11）直接计算。为了制定路径分解，我们需要n对应于我们的（α，C）代。这种分歧是布雷格曼分歧和L分歧的推广。定义5.7（L（α）-散度）。设ν可微且α指数凹n、 ν的L（α）-散度是函数DL（α），Д[·|·]：n×n→[0, ∞) 定义为（5.13）DL（α），Д[q | p]=αlog（1+α^1（p）·（q）- p） ）+（Д（q）- ^1（p））。尤其是，它等于α的通常L-散度α的α倍，即DLα，ν[·|·]≡αDL（1），αД[·|·]。引理5.8。假设对于所有α>0非常小的值，ν是α指数凹的。那么，作为α→ 0时，L（α）-散度逐点收敛到Bregman散度：limα↓0DL（α），Д[q | p]=DB，Д[q | p]，p，q∈ n、 证明。这源自极限αlog（1+αx）→ x当α↓ 0现在，我们推导（α，C）生成交易策略的承诺路径分解公式。由于投资组合η可能有空头头寸，不幸的是，我们不能保证g（Vη（t））=αlog（C+Vη（t））对于所有t都是很好的定义。然而，只要值的边界低于-C、 定理5.9（路径分解）。考虑定义5.5中（α，C）生成的交易策略η。如果Vη（·）>-C、 数值过程满足路径分解（5.14）αlogC+Vη（t）C+Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0DL（α），Д[u（s+1）|u（s）]。证据

根据（5.11），在每个时间t，我们有αlog（C+Vη（t+1））-αlog（C+Vη（t））=αlogC+Vη（t）+α（C+Vη（t））^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））C+Vη（t）=αlog（1+α^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））=Д（u（t+1））- Д（u（t））+DL（α），Д[u（t+1）|u（t）]。这将产生所需的分解。注意，在上述证明中，当我们取微分g（Vη（t+1））时，项Vη（t）很好地抵消了- g（Vη（t））。这是因为尺度函数满足微分方程（5.8）。由于L（α）-散度只不过是一个标准化的L-散度，我们可以直接应用[19]中开发的信息几何学来说明由优化运输17F IBMTMT1995 1995 2000 2010 20151.0 1.5 2.0 2.5图4生成的勾股组合。左：单纯形中的市场路径{u（t）}t=0.颜色是根据当前值（u（t））（当t=0时，其在重心处最大）选择的。右：投资组合值Vη（α）（t）的时间序列，从α=0（黄色）到α=1（红色）。等权投资组合的价值以黑色显示。描述三个时间点最优再平衡的定理。更有趣的是，对于给定的指数凹函数，L（α）-散度在L-散度（α=1时）和Bregmandivergence（α=0时）之间引入了一个自然插值。就最优运输而言，我们可以在对数成本函数和二次成本之间进行插值。我们计划在未来的研究中调查这个问题，以及【15】的设置。5.3. 一个实证例子。考虑一个光滑的指数凹函数。对于所有的0<α，它是α指数凹的≤ 1且为凹面（对应于情况α↓ 0). 因此，加法和乘法生成的投资组合都得到了很好的定义。

不幸的是，虽然L（α）-散度是自然插值，但似乎没有一个连接两种基本情况的常数的规范选择。在本小节中，我们考虑参数化族η(α)0≤α≤1式中，η（α）是由Д生成的交易策略（α，α）（因此，当α=0时，它是相加生成的投资组合），并比较它们的经验表现。注意，η（1）不是乘法生成的投资组合，而是更具侵略性的投资组合。在这个实证例子中，我们让n=3，这样我们就可以在单纯形中直观地看到市场的路径. 我们考虑了从1990年1月（t=0）到2017年9月（t=332）美国公司福特、沃尔玛和IBM的（期初）月度股价。我们将价格标准化，以便在t=0时，市场权重位于重心,,. Simplex中市场权重u（t）的路径如图4（左）所示。18 TING-KAM LEONARD Wongt所选的生成函数是交叉熵（5.15）Д（p）=nXi=1log Pi，它以乘法的方式生成等权投资组合π（p）≡ e:=,,.根据（5.11），对于每个α∈ [0，1]交易策略由η（α）i（t）=（1+αVη（t））给出3ui（t）- 1.+ Vη（t）。就投资组合权重而言，我们有π（α）（t）=1+αVη（t）Vη（t）e-1+αVη（t）- Vη（t）Vη（t）u（t）。因此，随着α的增加，投资组合的等权投资组合越来越长。我们还将Vη（0）=1。相应的L（α）-散度由byD（α）[q | p]=αlog1+αnXi=1npi（qi）给出- pi）！-nXi=1nlogqipi。模拟投资组合的值如图4（右）所示。在这一时期结束时，投资组合的价值以α的形式增加，加性投资组合（α=0）的价值最小。有趣的是，一开始情况正好相反。请注意，与金融危机相对应，2008-2009年期间的价值波动很大。

为了进行比较，我们还模拟了等权投资组合（即，（α，C）=（1，0））。有趣的是，加法和乘法组合在这里有相似的行为。在此期间，通过使用C的正值做空市场，与加法和乘法投资组合相比具有显著优势。直观地说，当参数α从1减小到0时，发散的影响会从混合变为添加，从分解中可以看出（3.11）。如果散度项在时间上大致呈线性增长（见[9]），则从长远来看，加法组合的表现将低于α>0的组合，至少在φ（u（t））稳定时是如此。从另一个角度来看，额外生成的投资组合可能比短期投资更好。扩展功能生成投资组合的动态优化是一个有趣的问题。致谢作者感谢Ioannis Karatzas教授和Johannes Ruffor教授对手稿的有益评论。参考文献【1】S.-I.Amari。信息几何及其应用。Springer，2016年。[2] A.D.Banner和D.Fernholz。波动稳定市场中的短期相对套利。《金融年鉴》，4（4）：445–4542008。[3] D.G.Booth和E.F.Fama。多元化回报和资产贡献。《金融分析师杂志》，48（3）：26–321992年。[4] L.M.布雷格曼。求凸集公共点的松弛方法及其在凸规划问题求解中的应用。《苏联计算数学与数学物理》，7（3）：200–2171967年。[5] T.M.Cover和J.A.Thomas。信息论要素。John Wiley&Sons，第二届，2006年。关于最优运输产生的投资组合19【6】E.R.Fernholz。随机投资组合理论。斯普林格，2002年。[7] E.R.Fernholz、I.Karatzas和J.Ruf。波动性和套利。arXiv预印本XIV:1608.061212016。[8] R.Fernholz。

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