论最优运输产生的投资组合

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英文标题：
《On portfolios generated by optimal transport》
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作者：
Ting-Kam Leonard Wong
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  First introduced by Fernholz in stochastic portfolio theory, functionally generated portfolio allows its investment performance to be attributed to directly observable and easily interpretable market quantities. In previous works we showed that Fernholz\'s multiplicatively generated portfolio has deep connections with optimal transport and the information geometry of exponentially concave functions. Recently, Karatzas and Ruf introduced a new additive portfolio generation whose relation with optimal transport was studied by Vervuurt. We show that additively generated portfolio can be interpreted in terms of the well-known dually flat information geometry of Bregman divergence. Moreover, we characterize, in a sense to be made precise, all possible forms of functional portfolio constructions that contain additive and multiplicative generations as special cases. Each construction involves a divergence functional on the unit simplex measuring the market volatility captured, and admits a pathwise decomposition for the portfolio value. We illustrate with an empirical example.
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中文摘要：
由Fernholz在随机投资组合理论中首次引入的功能生成投资组合允许其投资绩效归因于直接可观察且易于解释的市场数量。在以前的工作中，我们证明了Fernholz的乘法生成投资组合与最优传输和指数凹函数的信息几何有着深刻的联系。最近，Karatzas和Ruf引入了一个新的加性组合世代，Vervuurt研究了其与最优运输的关系。我们证明，加性生成的投资组合可以用著名的布雷格曼散度的对偶平坦信息几何来解释。此外，在某种意义上，我们将包含加法和乘法代的所有可能形式的函数组合结构作为特例进行了刻画。每种构造都涉及一个度量所捕获市场波动率的单位单纯形上的分歧函数，并允许对投资组合价值进行路径分解。我们用一个实证例子加以说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：投资组合 Mathematical Construction Quantitative Differential

关于由OPTIMAL Transporting-KAM LEONARD WONGAbstract生成的投资组合。由Fernholz在随机投资组合理论中首次引入的功能生成投资组合允许其投资绩效被归因于直接可观察且易于解释的市场数量。在之前的工作中[18，19]，我们表明Fernholz的乘法生成的PortfolioH与最优传输和指数凹函数的信息几何有着深刻的联系。最近，Karatzas和Ruf【12】引入了一种新的加性投资组合，Vervuurt【21】研究了其与最优运输的关系。我们表明，相加生成的投资组合可以用众所周知的布雷格曼散度的双重信息几何来解释。此外，从某种意义上说，我们将包含加法和乘法代的所有可能形式的函数组合结构描述为特例。每一种构造都涉及衡量市场波动率的单位单纯形上的分歧函数，并允许对投资组合价值进行路径分解。用一个实证例子加以说明。简介投资组合管理中的一个重要问题是绩效归因。对于一般的投资算法，通常很难根据市场走势透明地解释投资组合的PnL（盈亏）。从数学上讲，我们可以将投资组合价值视为与基础价格过程相关的交易策略的一个组成部分（例如，参见[6]和[13]的第一章）。这通常是市场所走路径的复杂函数，不允许进行方便的简化。在[8]中，Fernholz引入了一种投资组合结构，并证明了当市场投资组合被作为数字时，价值过程的路径分解公式。

被称为功能生成投资组合，它们现在是随机投资组合理论的关键工具，如[6，10]所述。一个特别重要的结论是，它们允许我们在大型股票市场上制定简单的结构条件，在这种条件下，有可能跑赢市场投资组合。有关市场投资组合的此类相对套利以及所需的结构条件的示例，我们请读者参考文献[8、9、11、2、22、15、7、12]及其参考文献。在【12】之后，我们说Fernholz的投资组合是乘法生成的——这个术语将在第3节中明确。虽然上述论文在股票价格为It^o过程的连续时间内工作，但在一系列论文[17、18、19]中，我们在离散时间和模型独立的框架下工作，并发现日期之间存在着一种优雅的联系：2017年9月27日。关键词和短语。随机投资组合理论，功能生成投资组合，最优运输，信息几何，散度。2 TING-KAM LEONARD Wong利用对数成本函数多重生成投资组合和最优运输。有关最佳运输的一般介绍，请参见【23，24】。此外，在[19]中，我们表明，这些投资组合的最佳再平衡可以用指数凹函数和二次收敛的新信息几何来解释（见定义3.2）。从数学上讲，这项工作【19】揭示了之前未被探索的最佳运输和信息几何之间的联系，以及除了经典的瓦塞尔斯坦成本之外的已确定的重要例子。关于指数族累积量生成函数给出的成本函数的这种联系的扩展，请参见[16]。信息几何起源于运用微分几何思想进行统计推理的研究。

经过几十年的紧张发展，它现在在统计学、信息论和机器学习中有着众多的应用。有关这一美丽地区的介绍，请参见【1】。在我们的上下文中，主要思想是，交易策略由指数凹函数给出，在代表股票市场状态的单位单纯形上诱导几何结构。然后可以使用几何概念（如差异（定义见下文第3.8节）和角度）对投资组合的财务损益进行量化。另一方面，Karatzas和Ruf在[12]中引入了一类新的附加生成投资组合。对于这些投资组合，也可以推导出类似于Fernholz公式的ApithWise分解。最近，论文[21]中观察到，额外生成的投资组合也对应于非最优运输问题。这里的代价函数是欧几里德内积，它等价于经典的二次代价c（x，y）=x- y |。与【19】类似，我们将在本文中看到，这些投资组合与Amari和Nagaoka在【14】中引入的众所周知的Bregman散度几何结构有关。我们强调，只有在离散时间内，这些几何思想才会变得明显。这是因为在连续时间内，除二次变差（本质上是黎曼度量）外，所有高阶效应都会消失。一些自然的问题如下：多重生成和相加生成的投资组合之间的关系是什么？是否有其他形式的功能组合生成与最佳运输和信息几何有关？在本文中，我们回答了这些问题。我们考虑功能组合构建的一般框架（见定义3.9），并描述其所有可能的形式。

很明显，功能性投资组合生成，即使是在我们的扩展形式中，也会对可行的交易策略施加强大的条件。我们发现，除了乘法和加法生成之外，还存在一个新的组合结构家族，可以通过两个参数α>0和c进行参数化≥ 我们证明了这类中的每个交易策略η都是一个乘法生成的投资组合和市场投资组合的长短组合。此外，我们在定理5.9中证明了当以市场投资组合为基准且Vη（·）>-C： αlogC+Vη（t）C+Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0D[u（s+1）|u（s）]。这里，ν是生成函数，它是α指数凹的（即ανisconcave），D[·|·]≥ 0是单位单纯形上的散度（在信息几何意义上）n（这里n是股票的数量），我们称之为L（α）-散度和u（t）∈ nis时间t的市场权重。在此框架中，最优运输3代产生的乘性投资组合对应于（α，C）=（1，0），当α=C时，加性投资组合是有限的↓ 0.我们参数化的一个优点是，我们可以通过改变α和C来生成具有相同生成函数的不同投资组合。此外，当α=1时，L（α）-散度是通常的L-散度，当α=1时，L（α）-散度趋于Bregman散度↓ 在我们的上下文中，这是L-散度和Bregman散度之间的正则相互作用。通过改变参数，我们可以在两个已知的投资组合结构之间进行插值。我们希望这项工作进一步明确了最佳运输和信息几何在功能组合生成中的作用。1.1. 论文大纲。

论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了离散时间市场模型，并介绍了表示交易策略和相关价值过程的各种方法。在第3节中，我们回顾了乘法和加法生成的投资组合的定义，并比较了投资组合价值过程的相应分解公式。这些结果激发了我们功能性投资组合生成的一般框架。第4节解释了与最佳传输和信息几何结构的连接。第5节证明了我们关于函数投资组合生成和路径分解的主要结果。最后，我们用一个实证例子来说明新的投资组合结构。2、市场模型我们在一个离散时间、独立于模型的框架中工作，这在我们之前的论文中使用【17，18】。读者可参考这些文件了解更多详情。让n≥ 2、市场上的股票数量是固定的。我们模型的数据是一个序列{X（t）=（X（t），…，Xn（t））}∞t=0，值为（0，∞)n、 我们将Xi（t）视为股票i在t时的市值。t时的市场权重向量定义为（2.1）u（t）=（u（t），un（t））=X（t）X（t）+···+Xn（t），Xn（t）X（t）+···+Xn（t）.向量u（t）取开放单位单纯形（2.2）中的值n={p=（p，…，pn）∈ （0，1）n:p+···+pn=1}。我们表示为n关闭年注册号。在这个市场上，我们考虑各种自我融资的交易策略。让我们根据每个时间点持有的股份数量来表达一种策略。此外，我们使用市场投资组合作为基准。这意味着股票i的（相对）价值只是市场权重ui（t）。我们假设交易是无摩擦的（更多细节参见[17，18]）。定义2.1（交易策略）。

自我融资交易策略是一个序列η={η（t）}∞t=0，值以Rn为单位，使得自筹恒等式（2.3）nXi=1ηi（t）ui（t+1）≡nXi=1ηi（t+1）ui（t+1）4 TING-KAM LEONARD WONGholds代表所有时间t。η的（相对）值过程由（2.4）Vη（t）=Vη（0）+t定义-1Xs=0（η（t）·（u（t+1）- u（t）），其中Vη（0）=η（0）·u（0），a·b是欧氏内积。在上述定义中，请注意，投资组合的初始值由Vη（0）=η（0）·u（0）隐式确定。选择时间t的投资组合η（t）作为时间t之前价格{u（s）}ts=0的函数，以及可以通过过滤{F（t）}建模的其他当前可用信息∞t=0。然而，我们并不认为{u（t）}∞t=0，作为一个随机过程。这只是一条自然选择的固定路径，其组成部分会一个接一个地向投资者展示。在本文中，我们只研究交易策略相对于市场投资组合的价值，因此为简单起见，我们可以省略“相对”一词。请注意，由于我们在投资组合中同时允许多头和空头头寸，因此Vη（t）的值可能为负值。如果所有t的投资组合值Vη（t）都严格为正，我们可以通过（2.5）π（t）=（π（t），…）定义相应的投资组合过程，πn（t））=η（t）u（t）Vη（t），ηn（t）un（t）Vη（t）.π（t）的分量表示每只股票的流动资本投资百分比；clearlyPni=1πi（t）≡ 我们称π（t）为时间t的投资组合权重向量。在这种情况下，值Vη（t）可以用（2.6）Vη（t）=Vη（0）t的形式乘法表示-1Ys=0π（t）·u（t+1）u（t）,其中，u（t+1）u（t）是成分比率的向量。将其与additiverepresentation（2.4）进行比较。

直觉上，（2.5）和（2.6）给出的价值过程定义限制了与此结构兼容的功能性投资组合生成形式。在结束本节之前，我们回顾一下[12，命题2.3]中的一个观察结果。给定序列{η（t）}∞t=0如果从（2.3）的意义上讲可能不是自我融资，我们可以通过设置（2.7）ηi（t）=ηi（t）来制定自我融资交易策略- Qη（t）- C、 式中（2.8）Qη（t）：=Иη（t）·u（t）- ~η(0) · u(0) -t型-1Xs=0？η（s）·（u（s+1）- u（s））是“自我融资缺陷”，C∈ R是一个常数，控制投资组合的初始值Vη（0）=η（0）·u（0）。“修正”策略η满足（2.9）η（t）·（u（t+1）- u（t））=Иη（t）·（u（t+1）- u（t）），因此，值得注意的是，回报率不受影响。在【12】中，作者在连续时间内推导了这些量。上述定义是对当前环境的直接适应。关于最优运输5CCN产生的投资组合nΦ（p）图1。乘法生成投资组合的几何解释。3、乘法和加法生成的portfoliosIn本节我们回顾了功能生成的两种已知形式的定义和主要结果。为了便于说明，我们假设生成函数在适当的意义上是光滑的和凹的。3.1. 乘法生成的投资组合。我们遵循[18]的处理方法，扩展了Fernholz的原始构造。定义3.1（乘法生成的投资组合）。让^1： → R是一个光滑函数，使得Φ：=eД是凹的。（我们称其为指数凹函数）。给定生成函数Д，我们定义了一个映射π：n→ n、 称为投资组合图，由（3.1）πi（p）=pi（1+Dei-pД（p）），i=1，n、 式中（e。

，en）是标准的欧几里德基和Dei-pis沿矢量ei的方向导数- p、 由Д生成的投资组合过程由（3.2）π（t）给出=η（t）u（t）Vη（t），ηn（t）un（t）Vη（t）= π（u（t））。以下是一种几何方法（这是一种新方法，但紧随knownresults而来）来解释公式（3.1），它看起来可能有点奇怪。考虑凹面函数Φ=eД的图形。给定p∈ n、 设p处Φ的切线超平面由q 7给出→Pni=1 IQI（见图1）。然后，可以验证投资组合向量π（p）由（3.3）πi（p）=CIPIP+····+cnpn，i=1，n、 特别是，重量比πi（p）Pi与ci成正比。这种结构被称为乘法结构，因为我们根据生成函数的导数指定了权重比。权重比可视为组合权重相对于市场权重的非标准化Radon-Nikodym导数。我们之所以需要凹函数，是因为这些是唯一能够以独立于模型的方式捕获波动性的组合映射。关于6 TING-KAM LEONARD Wongt的精确陈述，请参见【18，定理1】和下文第4节。为了说明分解公式，我们还需要在[18]中引入L-散度的概念。定义3.2（L-散度）。如定义3.1所示。Д的L-散度是函数DL，Д[·|·]：n×n→ [0, ∞) 定义为（3.4）DL，Д[q | p]=对数（1+^1（p）·（q）- p） （）- （q）- Д（p）），p，q∈ n、 在哪里^1是通常的欧几里德梯度。这里L代表“对数”。在[18]中，我们证明了L-散度是非负的，并且当eν是严格凹的时，L-散度是严格正的。注意，因为函数Д是凹函数的对数，在（3.4）中，我们可以包括改进标准线性近似的算术校正。

这与下文定义3.6中回顾的经典布雷格曼分歧形成对比。每一个乘法生成的投资组合都允许如下所示的路径分解。定理3.3（乘法分解）。[8，18]设η为指数凹函数Д乘法生成的交易策略，如定义3.1所示。然后η的值过程由（3.5）log Vη（t）给出- 对数Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0DL，Д[u（t+1）|u（t）]。第3.3节将在我们引入额外生成的投资组合后讨论（3.5）的财务含义。这里让我们举一个例子（更多例子见[6，第3章]）。对于固定元素π∈ n、 设ν（p）=nXi=1πilog pibe信息论中的交叉熵（见[5]），或等于几何平均数Φ（p）=pπ·pπnn与权重π的对数。那么由Д生成的投资组合图π（·）就是常数图π（p）≡ π、 p∈ n、 我们称之为常数加权投资组合。相应的L-散度由（3.6）DL给出，Д[q | p]=logπ·qp- π·logqp，p，q∈ n、 这里logqphas组件logqipi。在融资中，这一数量被称为超额增长率[6，17]和多元化回报率[3，25]。文献[26]研究了L-发散的一般比较性质。例如，这里证明了如果ν（p）=Pni=1nlog Pi，对应于等权投资组合和D，L[·|·]≥ Dх，L[·|·]对于一些，然后≡ И直到一个加法常数。换言之，等权portfoliois的L-散度是最大的，并且不能全局改进。3.2. 额外生成的投资组合。现在，我们将[12]和[21]的工作改编为我们的离散时间设置，并推导出类似于（3.5）的分解公式。额外生成的投资组合的主要思想如下。