幼稚和未承诺成熟的一般停止行为

那么，对于任何τ∈ T（X），τ*（2.15）中的定义属于E（X）。因此，E（X）={τ*∈ T（X）：τ*= 画→∞Θnτ，对于某些τ∈ T（X）}=[τ∈T（X）{limn→∞Θnτ}。（3.4）证明。根据命题3.1，τ*∈ T（X）定义良好，ker（τ*) =序号∈Nker（Θnτ）。As ker（τ*) Iτ*（再次根据命题3.1），Θτ*（x） =τ*（x） 对于所有x∈ ker（τ*). 对于x/∈ ker（τ*), 我们有/∈ 对于所有n，ker（Θnτ），即Θnτ（x）=1∈ N、 鉴于（2.10），这给出了J（x；L*Θn-1τ（x））≥这是由a和b上的适当条件保证的。具体地说，a（·）>0和| b（·）|/a（·）的局部可积性意味着弱解X在定律中的存在和唯一性。另一方面，当er X达到X的有界ariesof X时，完全由Feller的爆炸测试表征。我们参考第5.5节。B、 5.5。Karatzas和Shreve（1991）的C进行了详细的阐述。所有n的u（x）∈ N、 根据（2.12），这可以写成J（x；Txker（ΘN-1τ)) ≥ 所有n的u（x）∈ N、 由于提案3.1，{ker（ΘN-1τ）}n∈Nis是Borel集和ker（τ）的一个非减量序列*) =序号∈Nker（Θn-1τ). 然后根据假设2.1（ii）得出thatJ（x；Txker（τ*)) ≥ lim信息→∞J（x；Txker（n-1τ)) ≥ u（x）。这意味着x∈ Cτ*∪ Iτ*. 如果x∈ Iτ*, 然后Θτ*（x） =τ*（x） ；如果x∈ Cτ*, 然后Θτ*（x） =1=τ*（x） ，澳大利亚证券交易所/∈ ker（τ*). 因此，我们得出结论，Θτ*（x） =τ*（x） 对于所有x∈ 十、 即τ*∈ E（X）。对于（3.4）中的第一个等式” 这种关系是上述结果的直接结果。请注意“” 关系也是正确的，因为对于每个τ*∈ E（X），可以简单地取τ∈ 右侧的T（X）为τ*它本身（3.4）中的最后一组只是第二组的重新表述。该定理表明，在其假设下，通过定点迭代可以找到每个平衡点。此外，它还规定了一种判断给定停止定律是否非平衡的方法。

任何可以通过迭代严格改进的初始策略（即博弈论推理）都不是均衡策略。另一方面，即使代理的初始策略碰巧已经是一个平衡，他也可能没有意识到这一点。只有在应用了迭代并发现自己得到了相同的策略后，他才会这样做。任何给定的停止定律τ都将产生平衡τ*根据（3.4）；所以总的来说，我们不可能有一个唯一的平衡。在本文中，我们对平衡^τ特别感兴趣*∈ 由naive停止定律^τ生成的E（X）∈ 由{τX}X诱导的T（X）∈Xin（2.7）；即^τ*（x） =limn→∞Θn^τ（x）x∈ 十、 （3.5）选择这种均衡的经济意义在于，它明确说明了如果一个（非理性）天真的代理人被教育进行有效的战略推理，他可能会变成一个（完全理性的）复杂的代理人。4概率扭曲问题的应用在本节中，我们将前几节中建立的一般设置和结果应用于目标函数涉及概率扭曲（加权）且基础过程是几何布朗运动的情况。设S={St}t≥0是几何布朗运动，满足dst=uStdt+σStdBt，S=S>0，对于t≥ 0，（4.1），其中u∈ R和σ>0是常数和{Bt}t≥0是标准布朗运动。请注意，进程S采用R+：=（0，∞) 几乎可以肯定。在本文的大多数讨论中，Sis被解释为资产的价格过程，尽管它可以代表其他过程，如项目的价值过程，也可以进行类似的讨论。考虑一个非减量连续函数U:R+7→ U（0）=0的R+和严格递增的连续函数w：[0，1]7→ [0，1]，其中w（0）=0，w（1）=1。

这里，U是代理人的效用函数或资产的支付函数，w是概率扭曲函数。代理人的目标是，对于任何给定的初始状态s，最大化其“扭曲”的预期支付F最大化I（s；τ）：=Z∞通过选择适当的停止时间τ，w（P[U（Ssτ）>y）]dy，（4.2）∈ T因此，代理人打算在概率扭曲的情况下，通过在适当的时刻停止价格过程，使其预期效用（或报酬）最大化。这个公式是由几个金融应用程序驱动的，例如清算金融头寸、实物期权和赌场赌博。注意，当w（p）=p时，我们检索标准期望值。在本节的整个分析中，我们考虑参数β：=1- 2u/σ. （4.3）β的价值与资产S的“良好”程度是相互关联的。Shiryaev、Xu和Zhou（2008）将|σ作为资产的“优度指数”，包含在（4.3）中。该指数越大，相对于其波动性，资产的预期回报率越高。在本节的其余部分，我们将重点讨论β>0的情况，其中（4.2）真正出现了时间不一致性。4.1β>0的情况：我们认为时间不一致，如Xu和Zhou（2013）第2.2节所述，过程Xt：=Sβt，t≥ 也就是说，X是{βσBt}t的Dol'eans Dade指数≥0:dXxt=βσXxtdBt，Xx=x>0，（4.4），其中x=sβ>0。作为一个无漂移的几何布朗运动，Xxis是一个P-鞅和limt→∞Xxt=0 a.s.（4.5），这得益于重对数定律。正如我们随后将看到的那样，这一事实在决定复杂代理的行为方面起着重要作用——从长远来看，底层流程的价值会减少。此外，对于任何b>x，P[Txb<∞] =xb<1，其中Txb：=inf{t>0：Xxt=b}。

（4.6）注意，（4.6）从标准布朗运动的击中时间概率到线性二元；例如，见Karatzas和Shreve（1991）。设u由u（x）定义：=u（x1/β），x∈ (0, ∞). （4.7）当β>0时，变换后的函数u在u（0）=u（0）=0的情况下是不减损的。u的形状可以是凸形、凹形或S形（即先凸后凹），取决于u的形状和系数β。同样，我们定义j（x；τ）：=I（x1/β；τ）≡Z∞对于x>0，τ，w（P[u（Xxτ）>y]）dy∈ T（4.8）在文献中，扭曲的预期支付公式为I（s；τ）=R∞U（y）d[1- w（1- F（y））]，其中F是Ssτ的分布函数。该表达式与（4.2）等价于Fubini定理。的确，R∞U（y）d[1-w（1- F（y））]=R∞RU（y）dxd[1- w（1- F（y））]=R∞R∞U-1（x）d[1- w（1- F（y））]dx=R∞w1.- F（U-1（x））dx=R∞w（P[U（Ssτ）>x]）dx，其中U-1是U的左（或右）逆≤ 0，在e上，可以从Xu和Zhou（2013）推断出问题（4.2）是时间一致的。实际上，当β=0时，Xu和Zhou（2013），第255页，证明了^τs：=inf{t≥ 0：Sst≥ x个*} = inf{t≥ 0：Bt≥ σ-1日志（x*/s） }是（预提交的）最佳停止时间（4.2），其中x*:= inf公司x>0：U（x）=supy>0U（y）. 状态进程Ssis的停止阈值始终为x*, 与当前状态无关。那么就没有时间不一致了。Wh enβ<0，Xu和Zhou（2013）中的定理2.1表明≡ ∞, 暗示“永不停止”，是（预先承诺的）最佳停止时间。

同样，此处不存在时间不一致性，即^τs≡ ∞ 不依赖于当前状态s。这里，我们允许τ∈ T取值+∞ 正概率：在集合{τ=∞}, 考虑到（4.5），我们建议取Xτ=0。在目标函数（4.8）下，Xu和Zhou（2013）描述了问题（2.1）预先承诺的最佳停止时间，指出问题可能是时间不一致的，因为β>0。下一个示例明确演示了这一次的不一致性。示例4.1。取u（x）=xη和η≥ 1，并考虑Prelec（1998）提出的概率加权函数：w（x）=exp(-γ(- 对数x）α）对于某些α，γ>0。（4.9）由于u是凸的，Xu和Zhou（2013）的定理4.5表明，问题（2.1），J（x；τ）如（4.8）所示，可以简化为优化问题SUPλ∈（0,1）w（λ）uxλ. （4.10）为了解决我们案例中的这个问题，对于每个x>0，设置f（λ）：=w（λ）uxλ. 通过直接计算，f′（λ）=w（λ）λxλη[αγ(- 对数λ）α-1.- η].观察f′（λ）=0有唯一的解λ*= e-ηαγ1/(α-1） 关于（0，1）。此外，f′（λ*) = -αγ(α - 1)ηαγα-2α-1w（λ*)(λ*)xλ*η.假设α>1，在这种情况下，w为S形（即，先凸后凹）。Thenf′（λ*) < 0; 此外，对于λ<λ，f′（λ）>0*, 对于λ>λ，f′（λ）<0*. 这意味着λ*是（4.10）的唯一最大值。通过Xu和Zhou（2013）中推论4.6的讨论，我们得出结论：^τx：=inf{t≥ 0:Xxt≥ x/λ*} = inf（t≥ 0:Xxt≥ eηαγ1/(α-1） x）∈ 当当前状态为x时，T（4.11）是预先承诺的最佳停止时间（2.1）。移动停止阈值会导致时间不一致：对于任何T>0，τx6=T+τXxton{τx>T}，除非Xxt≡ x；因此，（2.5）通常被违反。更具体地说，随着X随时间的推移而变化，代理会不断更新（2.1）中的初始值X，使其当前状态y：=Xt，从而更改原始阈值X/λ*至y/λ*在时间t。

虽然是状态x下（2.1）的最优解，但^τx不会实现，因为未来的自我会忽略它。这里一个重要的观察结果是，时间的不一致导致天真的代理人完全推迟停止。As 1/λ*> 1，对于所有x>0，我们有^τx>0，因此，naive代理永远不会在任何给定时刻停止，因此永远不会停止。备注4.1。示例4.1让人想起Ebert和Strack（2015），其中显示，在CPTsetting下，天真的代理人可能会在所谓的“小偏差偏好”条件下，不确定地推迟其停止决策（因此违反最初预先承诺的最佳停止时间），这取决于其中的假设1和2。实际上，在示例4.1中，我们有ζ：=supx>0u′l（x） /u′r（x）=1，w′（0+）=∞,其中u′l和u′rd分别记下u的左导数和右导数。这表明，Ebert和Strack（2015）中的假设1和2都得到了满足：前者要求ζ<∞, 而当w′（0+）>ζ时，latteris full（latteris fill）（见其中的（3））。在存在时间不一致性的情况下，通过应用一般结果定理3.1，研究一个复杂的代理缺乏承诺的情况是很有意义的。具体而言，在当前概率失真的背景下，如何应用定理3.1中的定点迭代来找到平衡停止定律。从技术上讲，为了应用定理3.1，我们需要首先检查其假设的有效性。引理4.1。假设β>0。目标函数（4.8）满足假设2.1。引理4.1的证明被归入附录B定理4.1。假设β>0，目标函数由（4.8）给出。对于任何τ∈ T（R+），τ*（2.15）中定义的be长于E（R+），因此（3.4）保持X=R+。尤其是^τ*定义（3.5）属于E（R+）。证据

由于X是一个零漂移的几何布朗运动，所以（3.2）中的过程Z是常数1，因此是鞅。由于目标函数（4.8）满足假设2.1（byLemma 4.1），因此结果现在是定理3.1的直接结果。定理4.1中的定点迭代具有有趣的含义。下一个结果表明，当一个天真的代理人只应用一次定点迭代时，行为就会发生剧烈的变化：一个永远不会停止的天真代理人（“直到痛苦的结局”Ebert and Strack（2015））将自己转变为一个会立即停止的老练的代理人。提案4.1。设β>0，假设u（x）>0x>0。那么对于τ∈ T（R+）由τ（x）=1给出x>0，τ*（x） =limn→∞Θnτ（x）=Θτ（x）=0x>0。证据首先，β>0意味着u是不递减的，u（0）=0。通过定义τ，L*τ（x）=∞x>0。这与（4.5）一起意味着J（x；L*τ） =R∞w（P[u（0）>y）]dy=0<u（x）x>0。由此得出Sτ=R+，其中Θτ（x）=0x>0。示例4.1（续）。我们已经证明，当α>1时，naive代理会延迟停止，即当所有x>0时，^τ（x）=1。根据命题4.1，相应的平衡停止律^τ*= 画→∞Θn^τ=Θ^τ是备注2.6中描述的平凡平衡，即立即停止。天真的人，曾经像个老于世故的人一样思考，决定立即停止。命题4.1证明背后的经济理由如下。在任何时候，假设所有未来的自我都将执行天真、永不停歇的策略。考虑到这一点，问题是现在该怎么办。只有两种选择。如果他要遵循最初的策略，即现在继续，那么根据（4.5），基本过程（未停止）的价值几乎肯定会减少到零，因此支付为零。

如果他现在停止，那么他可以得到一些正的回报，因为当x>0时，假设u（x）>0。这个简单的比较将促使他立即停止。定理4.1的使用将在接下来的两小节中进一步演示。在第4.2小节中，我们研究了基于效用最大化和实物期权估价的实例。我们特别感兴趣的是找到平衡停止定律*∈ 如（3.5）所述，由纳夫停止定律产生的E（R+）。通过这种平衡的构建，我们将能够看到一个天真的代理人和一个老练的代理人之间有趣的联系，特别是前者如何通过引发战略推理将自己变成后者。在第4.3小节中，我们展示了如何使用定理4.1中的定点迭代，在特定选择变换函数u和畸变函数w的情况下，找到一大类平衡停止定律。我们还将讨论如何可能比较这些平衡。4.2示例：效用最大化和实物期权估价在本小节中，我们将研究几个由效用最大化和实物期权估价驱动的示例。在所有示例中，我们将取函数U为U（x）=xγ，对于某些0<γ<1的情况，为标准等弹性效用函数，或U（x）=（x- K） +对于某些K>0的情况，这是实物期权的公共支付函数。我们的重点是比较（2.7）中的naive停止定律与相应的平衡停止定律*在（3.5）中。我们首先假设w是倒S形（即[0，1]上的凹面- q] 和[1]上的凸- q、 1]对于某些q∈ （0，1）），这表明代理夸大了“非常好”和“非常坏”场景的概率。这种类型的w已被广泛研究，因为它与人类决策的经验数据一致。

关于逆S形w的文献，包括Tversky和Kahneman（1992）、Lattimore等人（1992）、Camerer和Ho（1994）、Wu和Gonzalez（1996）、Birnbaum和McIntosh（1996）以及Prelec（1998）等，提出了w的三个主要模型：1）单参数模型w（x）=xγ（xγ+（1- x） γ）1/γ带γ*≤ γ<1，（4.12），其中γ*≈ 0.279是γ的最小值，使得w不减；2） 双参数模型lw（x）=αxγαxγ+（1- x） γ，α>0，0<γ<1；（4.13）和3）双参数模型（4.9），0<α<1，γ>0。为了便于后续示例中的讨论，让我们给出thenaive law^τ的等效表达式。假设最佳停止时间{τx}x∈R+存在。对于每个x>0，让F^τxbe为Xx^τx的累积分布函数，G^τx：=F-1^τxb是Xx^τx的分位数函数。然后，naive停止定律∈ （2.7）中的T（R+）可以用Fτxor Gτx：ττ（x）：=（0，如果τx=0,1，否则=（0，如果Fτx（·）=1[x，∞)（·），1，如果另有规定=（0，如果G^τx（·）≡ x、 1，如果另有规定。（4.14）一个有趣的结果是，为了确定naive停止定律^τ，无需详细说明什么是^τ轴：鉴于（4.14），一旦分位数函数G^τ轴已知，就可以很好地定义^τ。如Xu和Zhou（2013）所示，G^τxis是SUPG的最优解∈QxZu（G（y））w′（1）- y） dy，（4.15），其中Qx：={G:[0，1）7→ 对于某些τ，R+| G是Xxτ的分位数函数∈ T}；此外，（4.15）可以通过某些数学程序求解。Xu和Zhou（2013）提出的这种方法用于解决预先承诺的最优停止，被称为“分位数公式”，可用于下一个结果。他和周（2016）将倒S形w与决策中的hop e（对“非常好”情景的希望）和恐惧（对“非常坏”情景的恐惧）的情绪联系起来。提案4.2。假设u为凹形，w为倒S形，w′（0+）=∞.

假设最优分位数G*xof（4.15），如Xu和Zhou（2013）的定理5.2所述，存在于所有x>0的情况下。（i） 如果supy>0u（y），则^τ（x）=^τ*（x） =1（0，y*)（x） 对于所有x>0，其中y*:= inf{y>0:u（y）=supz>0u（z）}<∞.（ii）如果未达到supy>0u（y），则^τ（x）=1 f或所有x>0，^τ*（x） =0表示所有x>0。命题4.2的证明归入附录C备注4.2。文献中提出并得到经验证据支持的w的所有三种主要形式，（4.12），（4.13）和（4.9），0<α<1和γ>0，与w′（0+）呈倒S形=∞. 因此，命题4.2的结果具有重要的实际意义。命题4.2-（ii）与Ebert and Strack（2015）和Ebert and Strack（2017）的结果一致：天真的代理从不停止，而成熟的代理会立即停止。Ebert和Strack（2015）以及Ebert和Strack（2017）都假设u严格增加，这比supy>0u（y）的条件更为强烈。另一方面，命题4.2-（i）表明，如果存在一个使支付函数u本身最大化的状态，那么即使是否决权也无法永远持有资产：只要达到这种状态，他就应该停止。此外，由于这种门槛型策略可以得到所有人的支持，因此它也是一种复杂的策略。注意，这一结论还表明，Ebert和Strack（2015）以及Ebert和Strack（2017）中报告的两种药剂各自的极端停止行为关键取决于支付函数u严格增加的假设。当supy>0u（y）时，这违反了假设，那么两个代理将采用相同的阈值类型的策略。上述结果可以推广到u为S形的情况。提案4.3。假设u为S形（即。