幼稚和未承诺成熟的一般停止行为

x是ker（τ）的边界点：根据引理a.1，对于所有t>0，P[Xxt>x]=P[Xxt<x]=1。这意味着L*τ（x）=inf{t>0:Xxt∈ k（τ）}<1/n（对于所有n∈ N a.s.，因此L*τ（x）=0a。s、 因此J（x；L*τ（x））=u（x），即x∈ Iτ。3.x是ker（τ）的一个孤立点，即：。， ε>0，使得（x- ε、 x+ε）∩ ker（τ）={x}：Txx=0a。s、 （引理A.1），L*τ（x）=0 a.s。这给出了J（x；L*τ（x））=u（x），即x∈ Iτ。因此，ker（τ） Iτ。这与（2.10）一起表明，ker（Θτ）=Sτ∪ （Iτ∩ ker（τ））=Sτ∪ ker（τ）。通过对每个n>1重复上述相同参数，我们得到（3.3）。As{ker（Θnτ）}n∈Nis是Borel集的一个非减量序列，如果x∈序号∈Nker（Θnτ），则存在n>0，使得所有n的Θnτ（x）=0≥ N如果x/∈序号∈Nker（Θnτ），则Θnτ（x）=1对于所有n∈ N、 这已经意味着（2.15）中的限值已经很好地确定，而ker（τ*) =序号∈Nker（Θnτ）。B引理4.1的证明为了证明引理4.1，我们需要以下技术结果。引理B.1。假设β>0。对于任何0≤ a<x<b，表示τab：=inf{t≥ 0:Xxt/∈ （a，b）}∈ T（i） 如果a=0且b=∞, 那么J（x；τab）=0；（ii）如果a>0且b=∞, 那么J（x；τab）=u（a）；（iii）如果≥ 0和b<∞, thenJ（x；τab）=u（a）+wx个- ab公司- 一（u（b）- u（a））。（B.1）证据。首先要注意的是，这个引理的一部分是在Xu和Zhou（2013）中推导出来的，而P[τab=∞] > 0未在此处处理。这包括“a=0和b=∞” 和“a=0和B<∞”. 为了完整性和读者的方便，我们提供了0的所有可能情况的证明≤ a<b≤ ∞.回想一下，τab=Txa∧ Txb，TXA和Txb定义如（4.6）所示，当β>0时，u不减少，u（0）=0。（i） 观察τab=∞ a、 s.乘以（4.5），J（x；τab）=R∞w（P[u（0）>y）]dy=0。（ii）由于（4.5），u（Xxτab）=u（a）a.s。因此J（x；τab）=R∞w（P[u（a）>y]）dy=u（a）。（iii）我们首先处理“a>0和b<∞”.

Xxτabis F（y）=p的CDF*[a，b）（y）+[b，∞)（y） 对于y∈ [0，1]，其中p*:= P【Xxτab=a】=b-xb公司-根据可选采样定理。请注意，使用可选采样定理来查找p*需要P[Txa<∞] = 1或P[Txb<∞] = 1、由于a>0和（4.5），前者在这里是正确的。根据分布公式（（3.1）inXu和Zhou（2013）），J（x；τab）=Zaw（1）u′（y）dy+Zbaw1.-b- xb公司- 一u′（y）dy+Z∞bw（0）u′（y）dy，生成所需结果，即w（0）=0，w（1）=1。对于“a=0和b<∞”, 由于Xx未达到a=0 a.s.和（4.5），Xxτab=b1{Txb<∞}a、 这与u（0）=0一起，给出u（Xxτab）=u（b）1{Txb<∞}a、 s.以下是j（x；τab）=Z∞wP[u（b）1{Txb<∞}> y]dy=Zu（b）wP[u（b）1{Txb<∞}> y]dy=Zu（b）w（P[Txb<∞])dy=w（P[Txb<∞])u（b）=wxb公司u（b），其中最后一个等式来自（4.6）。因此，公式（B.1）仍然适用于a=0。现在，我们准备证明引理4.1。引理4.1的证明。修复a D∈ B（R+）。对于任何x>0，定义（x）：=sup{a<x:a∈ D} ，b（x）：=inf{b>x:b∈ D} 。（B.2）如果a（x）=x或B（x）=x，则TxD=0 a.s.，因此J（x；TxD）=u（x）。如果a（x）<x<b（x），则txd=inf{t≥ 0:Xxt/∈ （a（x），b（x））}。然后我们从引理B.1推导出thatJ（x；TxD）=u（x），如果a（x）=x或b（x）=x，u（a（x））+wx个-a（x）b（x）-a（x）（u（b（x））- u（a（x）），如果a（x）<x<b（x）<∞,u（a（x）），如果0<a（x）<x<b（x）=∞,如果0=a（x）<x<b（x）=∞.（B.3）现在，请注意，对于DQ：={q∈ 问：a≤ q≤ b对于一些a，b∈ D} ，a（x）=sup{q<x:q∈ DQ}=supq∈DQq1（q，∞)（x） ，b（x）=inf{q>x:q∈ DQ}=infq∈DQq1（0，q）（x）。因此x 7→ a（x）和b 7→ b（x）都是Borel可测量的。然后我们得出表（B.3）x 7→ J（x；TxD）是Borel可测量的，即满足假设2.1（i）。固定序列{Dn}n∈Nin B（R+）使Dn Dn+1适用于所有n∈ N、 对于任何x>0，考虑（b.2）中的a（x）和b（x），D：=Sn∈NDn。

此外，我们定义（x）：=sup{a<x:a∈ Dn}，bn（x）：=inf{b>x:b∈ Dn}，对于所有n∈ N、 作为Dn Dn+1适用于所有n∈ N、 我们有一个（x）↑ a（x）和bn（x）↓ b（x）为n→ ∞. 对于每个n∈ N、 根据上述（B.3）的相同参数，J（x；TxDn）=u（x），如果an（x）=x或bn（x）=x，u（an（x））+wx个-an（x）bn（x）-an（x）（u（bn（x））- u（an（x）），如果an（x）<x<bn（x）<∞,u（an（x）），如果0<an（x）<x<bn（x）=∞,0，如果0=an（x）<x<bn（x）=∞.从上面的公式和（B.3）中，我们可以从u和w的连续性和收敛性an（x）推导出↑ a（x）和bn（x）↓ b（x）thatlimn→∞J（x；TxDn）=J（x；TxD）。（B.4）事实上，唯一的非平凡情况是“a（x）=B（x）=x，而对于所有n∈ N“。在这种情况下，limn→∞J（x；TxDn）=limn→∞u（an（x））+wx个- an（x）bn（x）- an（x）（u（bn（x））- u（an（x）））= u（x）+limn→∞wx个- an（x）bn（x）- an（x）（u（bn（x））- u（an（x）））= u（x）=J（x；TxD），其中第三个等式来自a（x）=b（x）=x，w是有界函数。然后（B.4）特别意味着假设2.1（ii）满足。C证明了命题4.2的第4.2小节。由于（4.14），对于每个x>0，^τ（x）=0当且仅当G*x（·）≡ x、 （i）带y*< ∞, 我们从w′（0+）=∞ 对于任何λ≥ 0，术语（u′）-1.lλw′（1-y）Xu和Zhou（2013）的（5.6）增加至y*作为y↑ 1.那么，对于任何x>0，Xu和Zhou（2013）的（5.7）表示G*x（·）≡ 仅当a*= x个≥ y*. 这已经表明，对于所有x<y，^τ（x）=1*. 现在，对于x≥ y*, 观察a=x时，Xu和Zhou（2013）的（5.6）中的约束变成了sxq+Zqx∨ （u′）-1.lλw′（1- y）dy=xq+Zqxdy=x。也就是说，约束满足任何λ≥ 类似地，a=x和任何λ≥ 0，Xu和Zhou（2013）的（5.6）中的objectivefunction的值为（1- w（1- q） u（x）+Zqu（x）w′（1）- y） dy=u（x）=supy>0u（y）。徐和周（2013年）的数据已经达到最大值（5.6）。

实际上，其中的最大化可以简化为asmaxa，λ≥0(1 - w（1- q） ）u（a）+Zqu一∨ （u′）-1.lλw′（1- y）w′（1）- y） dy公司= 马克萨≥y*(1 - w（1- q） ）u（a）+Zqu（a）w′（1）- y） dy公司= 马克萨≥y*u（a）=supy>0u（y）。因此，我们得出以下结论：*= x和任意λ≥ 0构成Xu和Zhou（2013）的（5.6）的解，得出G*x（·）≡ x、 因此，对于所有x，^τ（x）=0≥ y*. 因此，我们得到^τ（x）=1（0，y*)（x） 对于所有x>0。最后，对于任何x≥ y*, L*^τ（x）=0，因此J（x；L*^τ（x））=u（x），这意味着Θτ（x）=^τ（x）=0。对于任何x<y*, L*^τ（x）是xxx到值y的第一次击中时间*. 因此，J（x；L*^τ（x））=R∞w（P[u（y*) > y] ）dy=u（y）*) ≥ u（x）。因此，Θτ（x）=1=^τ（x）。因此，^τ*（x） =Θ^τ（x）=所有x>0时的^τ（x）。（ii）如果λ*= 0，然后（u′）-1.lλ*w′（1）-y）= （u′）-1.l(0) = ∞ 在徐和周（2013）的（5.6）中，为ally∈ （q，1），因为未达到supy>0u（y）。这意味着Xu和Zhou（2013）在（5.6）中的约束无法得到满足，这是一个矛盾。假设λ*> 0。因为w′（0+）=∞,λ*w′（1）-y）→ 0as y↑ 1、u的凹度和supy>0u（y）未达到的事实意味着（u′）-1.lλ*w′（1）-y）→ ∞ 作为y↑ 1，表示G*x（·）6≡ x、 因此，对于所有x>0，^τ（x）=1。ByProposition 4.1，^τ*（x） =0表示所有x>0。命题4.3的证明。在Xu和Zhou（2013）中*xin第6节（对于S形u）比定理5.2（对于凹u）更复杂，我们注意到在条件G下*x（·）≡ 它们实际上是重合的。因此，可以使用命题4.2证明中的相同论点来确定期望的结果。D第4.3小节第4.4条命题的证明。由于u是凸的，（2.1）相当于（4.10），由supλ给出∈（0,1）f（λ），其中f（λ）：=（ηλ+（1- η)λ)xλ- K+. 对于x>K，f′（λ）=ηx- (1 - η） K级- 2ηKλ。

定义λ：=η（x+K）- K2ηK。如果x>η+1ηK，f′（λ）>（η+1）K- (1 - η） K级- 对于所有λ，2ηK=0∈ （0，1），这意味着λ*= 1是最大化者。如果K<x≤η+1ηK，然后λ*=λ ≤ 1是最大值。对于x≤ K、 观察thatf（λ）=(-ηKλ -λ+ (1 - η） 如果0<λ，则x+ηK'λ≤xK，0，ifxK<λ≤ 1.（D.1）如果η≤ 1/2，然后是|λ≤x个-K4ηK≤ 0。这与（D.1）一起意味着supλ∈（0,1]f（λ）无最大化子。如果η>1/2，那么对于x>1-ηηK，可以检查∈ （0，xK），这意味着λ*=(R)λ是最大值（再次感谢（D.1））；对于x≤1.-ηηK，我们有'λ≤ 0和thussupλ∈（0,1）f（λ）不允许最大化子。总结这些情况，得出^τx公式。Thena¨305; ve停止定律直接遵循^τx公式。命题4.5的证明。对于b≤ K、 J（x；L）*τ（x））=所有x>0的u（x），因此Iτ=R+。这意味着对于所有x>0的x，τ（x）=1（0，b）（x）=τ（x），即τ∈ E（R+）。在剩下的证明中，我们假设x的b>K≥ b、 L*τ（x）=0，因此J（x；L*τ（x））=u（x），这意味着[b，∞)  Iτ。对于0<x≤ K、 J（x；L）*τ（x））>0=u（x），因此（0，K] Cτ。对于K<x<b，引理b.1-（iii）给出了j（x；L*τ（x））- u（x）=ηxb+（1- η） xb公司（b）- K）- （十）- K） =η（b- K） b类x个-b+Kbη（b- K）x+Kbη（b- K）=η（b- K） b（x- （b）x个- b′, 式中，b′：=Kbη（b- K） >Kη。（D.2）对于b>η+1ηK，观察b′<η+1ηK.（D.3）实际上，b′/（η+1ηK）=b（η+1）（b-k） <1当且仅当0<η（b-K）-K、 这相当于b>η+1ηK。因为（D.3）特别意味着b′<b，我们从（D.2）推导出J（x；L*τ（x））- u（x）>0叉<x<b′，J（x；L*τ（x））- 对于b′<x<b和J（x；L），u（x）<0*τ（b′）- u（b′）=0。因此，我们预测Sτ=（b′，b），Cτ=（0，b′），Iτ={b′}∪ [b，∞), 这意味着对于所有x>0的x，τ：=Θτ（x）=1（0，b′）（x）。通过上述（D.2）的相同论证，我们得到了[b′，∞)  Iτ，（0，K] Cτ，当K<x<b′，J（x；L*τ（x））- u（x）=η（b′- K） （b′）（x- b′）x个- b′\', b′时：=Kb′η（b′）- K） 。As（D.3）yieldsKη（b′）-K） >1，我们有b′>b′。

因此J（x；L*τ（x））- 对于所有k<x<b′，u（x）>0。因此，我们得出结论，Cτ=（0，b′）和Iτ=[b′，∞), 这表明对于所有x>0的x，Θτ（x）=1（0，b′）（x）=τ（x）。也就是说，Θτ=τ∈ E（R+）和τ*（x） =limn→∞对于所有x>0的x，Θnτ（x）=Θτ（x）=1（0，b′）（x）。最后，对于b∈ （K，η+1ηK），我们有b′≥η+1ηK，采用下面相同的参数（D.3）。带B′≥ b、 我们从（D.2）中推断出Cτ=（0，b）和Iτ=[b，∞). 因此，对于所有x>0，Θτ（x）=1（0，b）（x）=τ（x），即τ∈ E（R+）。命题4.6的证明。对于任何x<η+1ηK、 我们从引理B.1（iii）推导出∈[0，η+1ηK]J（x；Tx[b，∞)) = supb公司∈[x，η+1ηK]ηxb+（1- η） xb公司（b）- K） =supb∈[x，η+1ηK]xg（1/b）+（1- η） x，其中g（y）：=-ηKxy+[η（x+K）- K] y.二次函数g（y）在R上的^y=η（x+K）处达到唯一的全局最大值-K2ηKx。如果x≤1.-ηηK、 那么^y≤ 0。这意味着b 7→ g（1/b）在[x，η+1ηK]上严格增加，在b处达到最大值*=η+1ηK.如果x>1.-ηηK、 然后^y>0。可以检查x<η+1ηK当且仅当1/y>η+1ηK、 这再次表明b 7→ g（1/b）在[x，η+1ηK]上严格增加，在b处达到最大值*=η+1ηK.对于任何x≥η+1ηK、 我们只有J（x；Tx[b，∞)) = 所有b的u（x）∈0，η+1ηK.命题4.7的证明。固定0<x<b*. 通过命题4.6（见上文）的证明，我们得到j（x，L^τ（x））=wxb公司*Kη。给定0≤ b<b*, 设τb：=1（0，b）∈ E′（R+）。如果b≤ x、 那么Lτb（x）=0。因此，（4.22）的左侧变为∞w（P[（x+c- K） +>y]）dy=（x+c- K） +。求解（4.22），然后yieldsc=K- x+wxb公司*Kη。（D.4）注意c>0。如果x≤ K、 定义c>0。如果x>K，我们再次从Lτb（x）=0推导出- K=Z∞wP[u（XxLτb（x））>y]dy=J（x，Lτb（x））<J（x，L^τ（x））=wxb公司*Kη，其中不等式来自命题4.6。这表明c>0。它仍然需要处理b>x的情况。

首先，我们观察到Wxb公司*Kη- wxb公司b类=ηxb公司*+ (1 - η） xb公司*Kη-ηxb公司+ (1 - η） xb公司b=ηxb公司*Kη-xb公司b+ (1 - η)xb公司*Kη+x= ηx（1+η）b*-b-η(1 - η） x1+η<0，（D.5），其中第三个等式从b开始*=η+1ηK，不等式是由于x>0，η∈ （0，1）和0<b<b*. 现在，因为b>x意味着Lτb（x）=Txb和u（XxTxb+c）=u（c）1{Txb=∞}+ u（b+c）1{Txb<∞}, 引理B.1证明的最后一个等式中的参数（见附录B）给出了∞wP[u（XxLτb（x）+c）>y]dy=Zu（c）w（1）dy+Zu（b+c）u（c）w（P[Txb<∞]) dy=u（c）+wxb公司（u（b+c）- u（b））=（c- K） ++wxb公司（（b+c- K）+- （c）- K） +）。（D.6）我们声称c<K。事实上，如果c≥ K、 借助（D.6）求解（4.22），得出c=K+wxb公司*Kη- wxb公司b、 根据（D.5），这意味着c<K，这是一个矛盾。知道c<K，（D.6）yieldsR∞wP[u（XxLτb（x）+c）>y]dy=wxb公司（b+c- K） +。求解（4.22），从而得出C=K- b+Kηw（x/b*)w（x/b）。（D.7）注意，c<K可以很容易地验证：通过（D.5），[w（x/b*) K/η]/[w（x/b）b]<1，这意味着c=K- b1.- [带（x/b*) K/η]/[w（x/b）b]< K、 此外，c为正：如果b≤ K、 然后定义c>0；如果b>K，则w（x/b）（b- K） =J（x，Lτb（x））<J（x，L^τ（x））=w（x/b*) K/η，其中第一个等式来自引理B.1（iii），不等式来自命题4.6。这表明c>0。将（D.4）和（D.7）相结合，然后得出所需的结果。给定x≥ b*, 因为τ7→ J（x；Lτ（x））是E′（R+）（命题4.6）上的常数函数，对于所有0<b<b，c（x，b）=0*.命题4.8的证明。命题4.6的证明表明b 7→ J（x；Tx[b，∞)) 对于任何x>0的情况，在非减量n[0，η+1ηK]中。这直接意味着第一个断言。因此，只有当b取最大可能值η+1ηK时，1（0，b）才能在E′（R+）中是帕累托最优的。

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