幼稚和未承诺成熟的一般停止行为

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英文标题：
《General Stopping Behaviors of Naive and Non-Committed Sophisticated
  Agents, with Application to Probability Distortion》
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作者：
Yu-Jui Huang, Adrien Nguyen-Huu, Xun Yu Zhou
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the problem of stopping a diffusion process with a payoff functional that renders the problem time-inconsistent. We study stopping decisions of naive agents who reoptimize continuously in time, as well as equilibrium strategies of sophisticated agents who anticipate but lack control over their future selves\' behaviors. When the state process is one dimensional and the payoff functional satisfies some regularity conditions, we prove that any equilibrium can be obtained as a fixed point of an operator. This operator represents strategic reasoning that takes the future selves\' behaviors into account. We then apply the general results to the case when the agents distort probability and the diffusion process is a geometric Brownian motion. The problem is inherently time-inconsistent as the level of distortion of a same event changes over time. We show how the strategic reasoning may turn a naive agent into a sophisticated one. Moreover, we derive stopping strategies of the two types of agent for various parameter specifications of the problem, illustrating rich behaviors beyond the extreme ones such as \"never-stopping\" or \"never-starting\".
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中文摘要：
我们考虑了一个带有支付函数的扩散过程的停止问题，该函数使得问题时间不一致。我们研究了不断重新优化的天真代理的停止决策，以及预测但无法控制未来自我行为的复杂代理的均衡策略。当状态过程为一维且支付泛函满足一定的正则性条件时，我们证明了任何平衡点都可以作为算子的不动点得到。该操作符表示考虑未来自我行为的战略推理。然后，我们将一般结果应用于代理扭曲概率和扩散过程为几何布朗运动的情况。问题本质上是时间不一致的，因为同一事件的失真程度随时间而变化。我们展示了策略推理如何将一个天真的代理转变为一个复杂的代理。此外，我们还针对问题的各种参数规格推导了这两类代理的停止策略，说明了“从不停止”或“从不启动”等极端行为之外的丰富行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> General_Stopping_Behaviors_of_Naive_and_Non-Committed_Sophisticated_Agents,_with.pdf (440.31 KB)

2022-6-1 08:07:18 上传

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关键词：Quantitative Mathematical Illustrating Probability QUANTITATIV

天真和非承诺复杂代理的一般停止行为及其在概率失真中的应用*+Yu Jui HuangAdrien Nguyen Huu§Xun Yu ZhouP2019年3月12日摘要我们认为，使用导致问题时间不一致的支付函数来停止分歧过程的问题。我们研究了在时间上不断优化的天真代理的停止决策，以及对未来自己的行为缺乏控制的成熟代理的平衡策略。当状态过程为一维且支付函数满足某些正则性条件时，我们证明了任何平衡都可以作为算子的固定点获得。该操作符表示考虑未来自我行为的战略推理。然后，我们将一般结果应用于代理扭曲概率，且扩散过程为几何布朗运动的情况。问题本质上是时间不一致的，因为同一事件的失真程度随时间而变化。我们展示了战略推理如何将一个天真的代理人变成一个复杂的代理人。此外，我们针对问题的各种参数规格推导了这两类代理的停止策略，说明了“永不停止”或“永不开始”等极端行为之外的丰富行为。JEL:G11，I12MSC（2010）：60G40，91B06关键词：最优停止，概率扭曲，时间不一致，天真和复杂的代理，平衡停止法则1简介最优停止是确定停止随机过程的最佳（随机）时间，以最大化过程停止状态产生的给定收益。此类竞价问题的应用非常广泛，包括股票交易（例如，出售股票的最佳时间）、期权*Y、 -J。

黄非常感谢国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）的资助。A、 Nguyen Huu得到了能源与繁荣主席、风险基金会和Labex Entreprendre的支持。周X.Y.感谢哥伦比亚大学和牛津大学Nie金融大数据实验室提供的创业资助。作者要感谢两位匿名推荐人，他们的仔细阅读和深思熟虑的建议大大提高了本文的质量科罗拉多大学应用数学系，科罗拉多州博尔德，邮编80309，美国，尤瑞。huang@colorado.edu§CEE-M，蒙彼利埃大学，CNRS，INRA，蒙彼利埃农业大学，蒙彼利埃，法国，阿德里安。阮-huu@umontpellier.frP美国纽约哥伦比亚大学工业工程与运营研究系，邮编：10027，xz2574@columbia.edupricing（例如，美式期权）和实物期权（例如，投资项目的最佳时机）。解决最优停止问题的两种主要经典方法是动态规划和鞅理论，它们都基于时间一致性的假设，即今天规划的任何最优停止规则明天仍然是最优的。时间一致性（也称为动态一致性）的假设植根于这样一个前提，即个人的偏好随着时间的推移是一致的，不会随着时间的推移或环境的演变而改变。然而，这一前提太脆弱，难以经受现实的考验。阿甘布勒最初可能计划在赚了1000美元后离开赌场，但在达到这个目标后，他决定继续赌博。

这是因为赌徒在赢了1000美元后，其风险偏好发生了变化；由于这次胜利，他变得更加冒险。事实上，大量的实证和实验研究都表明，时间不一致是规律，而不是例外。在缺乏时间一致性的情况下，此时得出的任何“最优”计划在下一时刻通常都不是最优的；因此，不存在像时间一致性模型那样适用于整个规划范围的“动态最优策略”概念。经济学家从Strotz（1955-1956）开始，描述了三种类型的个体在面对时间不一致的情况时的反应或行为。类型1，即天真的代理人，根据他当前的偏好选择似乎是最佳的，而不知道他的偏好会随着时间的推移而变化。类型2是预提交代理，它在初始时间只优化一次，然后在将来坚持最终的计划。第三类，精明的代理人，意识到他的“未来自我”将推翻他当前的计划（由于缺乏承诺），并选择当前最好的行动，以未来的不服从作为约束。由此产生的策略被称为（子博弈完美）均衡，代理人的任何干预都没有偏离的动机。在我们看来，时间不一致的模型在很大程度上是描述性的，而时间一致的模型主要是规定性的。

前者的目的是描述不同类型代理人的行为，而不是建议最佳行动方案。本文的第一个目标是研究一般时间不一致问题的1型（naive）和3型（复杂）代理的停止策略。naive停止定律是指在任何给定的时间和状态下，它与特定时间和状态下的最优停止定律相一致。另一方面，在连续时间环境中对均衡策略的定义更为微妙。从Ekeland和Lazrak（2006）开始，随后是Ekeland和Lazrak（2010）、Yong（2012）、Hu et al.（2012）、Bj¨ork et al.（2017）和Hu et al.（2017），控制问题的平衡被定义为一个控制过程，在控制的某些尖峰变化上满足Firstorder不等式条件。Ebert等人（2017年）通过将停车问题转化为控制问题，将此定义应用于停车问题。然而，在子博弈完美均衡的原始定义中，严格地建立一阶条件和零通条件之间的等价性仍然是一个问题。在本文中，我们遵循Huang和Nguyen Huu（2018）的公式定义了一个均衡停止定律（尽管其中考虑了一个具有非指数折扣因子的特殊停止问题，该贴现因子具有减少不耐烦的特性）。这个公式的思想是，对于任何给定的停止定律，成熟的代理通过选择未来自己的行为，通过一定程度的战略推理来改进它。

然后，代理人进行了与经典论文Strotz（1955-56）、Kydland和Prescott（1977）中关于时间不一致性的详细讨论，以及Thaler（1981）、Loewenstein和Thaler（1989）中关于经验和实验证据的额外水平的类似的再研究。如果问题是时间一致的，那么这三类代理的策略是一致的。针对特定类别的问题，研究了预先承诺的策略（即类型2的策略），例如Xu和Zhou（2013）中涉及概率失真的策略。请参阅下面的讨论。直到他无法进一步改善，这是一种平衡。从数学上讲，平衡点是一个算子的固定点，代表了这种战略思维的一个层次。这尤其与子博弈完美均衡最初定义中的零阶条件相吻合。这种固定点的普遍存在在很大程度上是一个悬而未决的问题。本文的第一个贡献是证明，假设状态遵循一维扩散过程，并且支付函数满足一些（非常温和的）可测量和Fatou类型的条件，任何均衡策略都可以通过在初始停止定律上重复应用上述算子，然后取极限来获得。本文的第二个目标是将一般结果应用于概率扭曲的问题。实验证据支持概率扭曲（或加权）现象；尤其是人们对极为有利和极为不利事件发生的可能性很小感到不满。

等级相关效用等行为理论（RDU；Quiggin（1982）；Schmeidler（1989）和累积前景理论（CPT；Tversky和Kahneman（1992））将概率扭曲作为一个关键组成部分，并将其视为风险偏好的一部分。另一方面，与同一未来事件相关的概率失真水平会随着时间的推移而变化，因为该事件的条件概率是动态演化的，且失真是非线性的。因此，存在（非平凡的）概率失真时，时间不一致性是固有的。我们研究了一个几何布朗运动的停止问题和一个涉及概率扭曲的RDU型Payoff泛函，Xu和Zhou（2013）对其预先承诺的停止策略进行了深入的研究，在概念上和技术上对本文都很有用。除了描述naive和复杂分子的停止行为外，我们对三种试剂之间的联系和潜在转换特别感兴趣：naive试剂在每个状态和时间都会解决一个预先承诺的问题，有趣的是，如果他进行多个层次（有时只有一个层次）的战略推理，他可能会变成一个老练的人。在这方面，平衡策略的定点表征与一阶表征相比具有显著的优势，因为前者描述了将初始天真策略转变为成熟策略的“推理过程”。本文通过以效用最大化和实物期权估价为动机的实例，明确论证了这一变化。我们的定点表征的一个相关优势是，可以通过定点迭代轻松生成一大类平衡。

这与文献中的一阶特征形成对比，在文献中，发现多重平衡通常是一个挑战。Ebert和Strack（2015）表明，在导致“小偏态偏好”的假设下，CPT后的天真剂永远不会停止，“直到痛苦的结局”。这些假设从本质上确保了小概率的概率扭曲，大概率的收益大于损失；因此，在任何财富水平上，代理人总是倾向于一个小的右偏风险，而不是立即止损所产生的不确定性回报。Bert和Strack（2017）提出了这一结果的对立面：假设Small上存在任意强的概率扭曲，RDU和CPT之间的主要区别在于前者的结果效用函数是凹的，而后者是S形的。这种差异在经济解释中更为根本。在CPT中，财富有一个参考点，效用函数（CPT中称为价值函数）的输入是财富相对于参考点的偏差。S型价值函数捕捉到了人们的共同心理偏见，即人们对收益（当上述偏差为正时）厌恶风险，而对损失（当偏差为负时）寻求风险。这两种理论都以概率失真为特征，这是时间不一致的原因。因此，本文将同时对这两种理论进行一些讨论。由于时间不一致，动态规划原理或鞅方法不适用于推导预先承诺的策略。

Xu和Zhou（2013）开发了一种新方法，将所谓的分位数/分布公式与Skorokhod的嵌入理论相结合来解决该问题。大损失的可能性，并且只考虑两种阈值类型的策略，一个老练的人会立即停止，或者，相当于，“永远不会开始”。这是因为，当进程非常接近上限阈值时，双阈值策略下的停止状态会严重左偏，这对于具有典型逆S形畸变函数的CPT代理没有吸引力。知道接近上限的未来自我不会实施这一策略，在平衡状态下，每个当前自我都不会启动它。这两篇论文的作者承认，在CPT下，“永不停止”和“永不开始”的行为都是“极端的”，代表着“不切实际的预测”。在本文中，我们通过研究Ebert and Strack（2015）和Ebert and Strack（2017）的假设不成立的案例来补充他们的结果，并表明naiveand复杂代理的行为远比单纯的极端代理丰富。事实上，根据几何布朗运动和支付函数的参数，这两种类型的代理可能需要开始和结束，依赖于（一）阈值类型的停止策略。这表明，如果我们允许畸变函数呈现各种形状，同时考虑到代理偏好和他监控的过程特征之间的交织关系，RDU模型可能会提供更真实的预测。论文的其余部分组织如下。

在第2节中，我们提出了一个一般的时间不一致停止问题，定义了简单而复杂的平衡停止定律，并引入了代表复杂代理的战略推理的算子。第3节描述了当状态过程为一维时的一组平衡停止律。第4节，我们将一般结果应用于概率失真问题。我们证明了在这种情况下，时间不一致性是如何产生的，然后在时间不一致的情况下推导出复杂的均衡策略。具体而言，第4.3小节提供了一个详细的案例研究，说明如何在特定的模型规范下找到一大类平衡，并可能对其进行比较/排序；第4.2小节包含了一系列实际示例，其中支付函数是电力公司或欧洲期权支付函数，并获得了简单和复杂的策略。最后，附录收集了技术证据。2 Naive和Balanced Stopping Laws本节介绍一般最优停车问题的时间不一致性以及我们处理该问题的方法。考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持强马尔可夫过程X:R+×Ohm 7.→ X初始值X=X∈ 十、 其中X是X的状态空间，是Rd的一个连通子集。我们将不断使用符号xxx来强调过程对初始值X的依赖性。我们用B（X）表示X的Borelσ-代数。设F={Ft}t≥0是X生成的自然过滤的P-增强，T是所有F-停止时间的集合，可能在正概率范围内。注意，T包括非马尔可夫停止时间。在任何给定状态x∈ 十、 决策者（代理）需要决定何时停止processX。