原对偶投资组合优化问题的随机矩阵方法

然而，每个解的相关解由等式（B·5）中的极值算子选择。因此，φ（θ）如下所示：φ（θ）=max（φ-(θ), φ+(θ))=φ-(θ) λ-> θφ+（θ）λ+<θ，（B·14），其中φ-（θ） 指在c=-1和φ+（θ）表示在c=+1的情况下，用χwandχwin计算的φ（θ）。因此，从eqs。（B·3）和（B·13），S（θ）由以下等式给出：S（θ）=χw=α-1.-θ-√(1+α-θ)-4α2θλ-> θα-1.-θ+√(1+α-θ)-4α2θλ+<θ，（B·15），其中χw=△χw-θ用于推导该方程。这一结果与公式（A·5）一致，该公式是使用留数定理推导的。18/24J。物理。Soc。日本。全文附录C：预算约束下的最小投资风险和投资集中度在本文的主体部分，我们证明了可以使用Stieltjes变换S（θ）来评估每项资产的投资风险ε和投资集中度qwc。在本附录中，我们使用S（θ）推导出了在仅考虑预算约束的情况下，投资组合优化问题的每资产最小投资风险εmin及其投资集中度，并确认它们是否与之前的工作结果一致。9） 由于只施加预算约束，该最小化问题的Lagr-angian函数与等式（20）中θ=0的函数相同。我们没有考虑α>1范围内的最小化问题（当α<1时，最优解不能唯一确定）。因此，每项资产的最小投资风险εmini由等式给出。（28）如下：εmin=limθ→02S（θ）。（C·1）其投资集中度由式中的θ代入0得到。（22）和（23）如下：qw=limθ→0S′（θ）（S（θ））。（C·2）对于该计算，limθ→0S（θ）和limθ→用λ范围内的S（θ）得到0S′（θ）-> θ如下：limθ→0S（θ）=α- 1，（C·3）limθ→0S′（θ）=α（α- 1).

（C·4）因此，每项资产的最小投资风险εmin及其投资集中度qware a s如下：εmin=α- 1，（C·5）qw=αα- 1.（C·6）我们可以确认这些结果与之前的研究结果一致。9） 此外，如果我们能够评估与该优化问题对应的斯蒂尔杰斯变换S（θ），则在资产回报率变量不相同的情况下，有可能获得每项资产的最小投资风险εmin和投资集中度qwf。2014年9月19日。物理。Soc。日本。全文附录D：具有预算和不平等投资集中约束的最小投资风险在本附录中，我们评估具有预算约束和不平等投资集中约束的每项资产的最小投资风险，这是原始问题等式（4）中等式约束的延伸，如下所示：NXi=1wi≥ Nττ≥ 1，（D·1）NXi=1wi≤ Nττ≥ 1.（D·2）如果我们假设施加等式（D·1）中的约束而不是等式（4），则每项资产的最小投资风险εmini评估如下：εmin=supθ≤0ε（θ），（D·3），其中使用Karush-Kuhn-Tucker条件。17–19)θ*= arg supθ≤θ范围内的0ε（θ）≤ 0如下所示：θ*=1 + α - (2τ - 1） qατ（τ-1)τ-1τ< α <ττ-10否则。（D·4）因此，等式（D·4）对应的每项资产的最小投资风险如下：εmin=0 α ≤τ-1τατ+τ -1.-2.√ατ(τ -1)τ-1τ< α <ττ-1α-1α ≥ττ-1.（D·5）相反，如果我们应用等式（D·2）中的约束而不是等式（4），则每项资产的最小投资风险εmini由以下等式给出：εmin=sup0≤θ≤ λminε（θ），（D·6）20/24J。物理。Soc。日本。也使用了Karush Kuhn-Tucker条件的全文。17–19)θ*= 参数sup0≤θ≤ λminε（θ）在0范围内≤ θ ≤ λmini如下所示：θ*=1 + α - (2τ - 1） qατ（τ-1)α >ττ-10否则。（D·7）因此，与等式。

（D·7）如下：εmin=0 0 < α < 1α-11≤ α ≤ττ-1ατ+τ -1.-2.√ατ(τ -1)α >ττ-1.（D·8）这一结果也与以前的工作一致。10） 21/24J。物理。Soc。日本。全文0.40.50.60.70.80.91.01.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0我们提出的方法的每资产投资风险集中度结果数值实验结果（^I）（？）图1。根据资产的最小投资风险0.02.04.06.08.010.012.014.016.018.01.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0我们提出的方法的每个资产投资集中度的投资风险数值实验结果（^I）（？）图2。每项资产的最大投资风险22/24J。物理。Soc。日本。全文0.02.04.06.08.010.012.014.016.01.0 1.5 2.0 2.5 3.0我们提出的方法的投资集中风险系数数值实验结果（-'O）（"A）图3。最大投资集中度0.911.11.21.31.41.51.61.71.81.921 1.5 2.5我们提出的方法的投资集中度风险系数数值实验结果（"A）（-'O）图4。最小投资集中23/24J。物理。Soc。日本。全文参考1）H.Markowitz，J.Fin。7, 77 (1952).2） Konno和Yamazaki兄弟。Sci。37, 519 (1991).3） R.T.Rockafellar和S.Uryasev，J.of Risk 2，21（2000）。4） L.Laloux、P.Cizeau、J.P.Bouchaud和M.Potters，Phys。修订版。利特。83(7), 1467(1999).5） L.Laloux、P.Cizeau、M.Potters和J.P.Bouchaud、Int.J.Theor。应用程序。《财政》第3（3）条、第391（2000）条。6） V.Plerou，P.Go pikrishnan，B.Rosenow，L.A.N.Amaral和H.E.Stanley，Phys。修订版。利特。83(7), 1471 (1999).7） S.Pafka和I.Kondor，Physica A.319487（2003）。8） S.Ciliberti和M.Mezard，欧元。物理。J、 B.57175（2007年）。9） T.Shinzato，PLoS One 10 e0133846（2015）。10） T.Shinzato，J.Stat.Mech。023301 (2017).11） T.Shinzato，《物理学》杂志A.12）I.Varga Haszonits，F.Caccioli和I.Kondor，J.Stat.Mech。

123404 (2016).13） T.Shinzato，技术代表IEICE 110（461），23（2011）。14） I.Kondor、G.Papp和F.Caccioli，https://arxiv.org/abs/1612.07067 (2016).15） T.Tanaka，国际米兰。Inf.Sci。13, 17 (2007 ).16） T.Shinzato，https://arxiv.org/abs/1606 .07277, (2016).17） S.Boyd和L.Vandenberghe，《凸优化》，剑桥大学出版社（2012年）。18） J.Nocedal和S.J.Wright，《数值优化》，Springer（2006年2月）。19） R.T.Rockafellar，《凸分析》，普林斯顿大学出版社（1996年）。20） V.A.Marcenko和L.A.Pastur，《苏联斯博尼克数学》1457（1967）。21）G.Akemann、J.Baik和P.D.Francesco，《牛津随机矩阵理论手册》，牛津大学出版社（2015）。22）A.M.Tulino和S.Verdu，《随机矩阵理论和无线通信》，现出版（2004年）。23）Z.Bai，Ann。概率。21, 625 (1993).24）Z.Bai，Ann。概率。21, 649 (1993).24/24