原对偶投资组合优化问题的随机矩阵方法

（27）则每项资产的最小投资风险εmini由以下极值给出：εmin=supθ≤λminε（θ）。（28）由此，可以使用公式（27）和公式（A·5）对εmin进行分析评估。注意，该方程等价于相对于p或w的每资产投资风险最小化。在下面，我们考虑（i）α范围内的每资产最小投资风险εmin≥ 1和（ii）0<α<1。（i） 首先，在α范围内≥ 1，λmin=（1-√α） 式（21）中给出，存在θ8/24J。物理。Soc。日本。eθ范围内的全文≤ λminsuch该εθ= 0. 这意味着θ*= 1 + α - (2τ - 1） rατ（τ- 1). （29）由此得出，每项资产的最小投资风险εmin=ε（θ*) 计算结果如下：εmin=ατ+τ- 1.- 2pατ（τ- 1). （30）（ii）接下来，在0<α<1的范围内，λmin=0已在等式（21）中给出。Thenlimθ→λ最小值εθ=τ -1.-α已计算。当limθ→λ最小值εθ<0，即1-τ<α<1，因为每项资产的投资风险ε（θ）在θ处最大*由式（29）给出，得出与式（30）相同的结果。另一方面，当limθ→λ最小值εθ> 0，即0<α<1-τ、 由于每项资产的投资风险ε（θ）在θ处最大*= λmin=0，每项资产的最小投资风险εmin=ε（λmin）为εmin=0。（31）根据上述参数，θ*= arg supθ≤λminε（θ）由以下等式给出：θ*=1 + α - (2τ - 1） qατ（τ-1)1 -τ<α0，否则。（32）因此，每项资产的最小投资风险εmin=ε（θ*) 为εmin=ατ+τ -1.-2.√ατ(τ-1)1 -τ<α0，否则。（33）该结果与之前使用副本分析的工作结果一致。10） 3.2具有预算和投资集中度约束的最大投资风险其次，我们将具有预算和投资集中度约束的最大投资风险视为首要问题。

与投资风险LP（~ w，k，θ）的最大化问题相对应的拉格朗日函数定义如下：LP（~ w，k，θ）=HP（~ w）+k（N- ~wT~e）+θ（Nτ- ~wT ~ w）s.t.k∈ Rθ≥ λii=1，2。。。，N、 （34）9/24J。物理。Soc。日本。全文式（34）中的约束是保证拉格朗日函数Lp（~ w，k，θ）相对于w是凹的条件。17–19）该约束可表示为θ≥λmax=max1≤我≤Nλi，其中λmaxin热力学极限N已知由λmax=（1）开始+√α） ，（35）再次使用了Marˇcentko Pastur法。20） 由于上一小节（等式（22）和（23））中已经显示了~w和k区域的最优性，因此每项资产的最大投资风险εmax导出如下：εmax=infθ≥λmaxε（θ），（36），其中ε（θ）在等式（27）中。请注意，该方程相当于相对于组合w的每个资产组合的投资风险最大化。对于任何α>0，因为存在θ*属于εθ=θ范围内的0*≥ λmax，θ*= 1 + α + (2τ - 1） rατ（τ- 1） ，因此，每项资产的最大投资风险εmax=ε（θ*) 如下所示：εmax=ατ+τ- 1+2pατ（τ- 1). （38）得出的结果也与之前工作中的发现一致。10） 3.3预算和投资风险约束下的最大投资集中接下来，我们将预算和投资风险约束下的最大投资集中视为对偶问题。使用拉格朗日乘数h，Д定义与投资集中度LD（~ w，h，Д）最大化问题对应的拉格朗日函数，如下所示：LD（~ w，h，Д）=HD（~ w）+h~wT ~ e- N+φκNε-~wTJ ~ w,s、 t.h.公司∈ R^1-1λi≥ 1.i=1，2。。。，N、 （39）式中的约束。

（39）是保证拉格朗日函数Ld（~ w，h，Д）是凹的，与~ w.17–19）相对应的一个条件。该约束可以重写为0≤ φ ≤ λmin=（1-√α） 通过使用马尔琴科-帕斯图尔定律，在N到单位的极限下（我们考虑α范围内的最大/最小投资集中度≥ 110/24J。物理。Soc。日本。完整纸张，因为ε≥ 0). 从极值条件LD（~ w，h，Д） ~w=0和LD（~ w，h，Д）h=0，~ w*= h类*（J）- ^1英寸）-1～e，（40）h*=获得SN（Д），（41），投资集中度qw（Д）可以表示为：qw（Д）=limN的函数→∞全国民主联盟（~西*, h类*, φ)= -φS（^1）- 2κε. （42）因此，最大投资浓度由以下极值得出：qw，max=inf0≤φ≤λminqw（Д）。（43）注意，该方程相当于投资集中度相对于投资组合w的最大化。对于任何α>1，因为存在*属于qw公司^1=0，范围为0≤ φ*≤ λmin，Д*=κ -pακ（κ- 1)κ - 1.-pακ（κ- 1)κ -αα-1.κ +α-1., （44）和最大投资集中度qw，max=qw（Д*) 计算如下：qw，max=√ακ +√κ - 1.α - 1.（45）这一结果也与先前工作的结果一致。11） 3.4预算和投资风险约束下的最小投资集中最后，我们将预算和投资风险约束下的最小投资集中视为对偶问题。对应于投资集中度最小问题的拉格朗日函数LD（~ w，h，Д）定义如下：LD（~ w，h，Д）=HD（~ w）+hД~wT ~ e- N+φκNε-~wTJ ~ w,s、 t.h.公司∈ R^1-1λi≤ 1.i=1，2。。。，N、 （46）如果等式（46）中的约束是保证拉格朗日函数ld（~ w，h，ν）是凹的，对应于w.17–19），则该约束可以重写为≥ λmax=（1+√α） 或Д≤ 0时使用Marˇcentko Pastur定律得到的数字为11/24J。物理。Soc。日本。全套纸张足够了。

由于~w和h的最优性已经在q中给出。（40）和（41），最小投资集中度qw，mini由以下等式给出：qw，min=sup≤0,φ≥λmaxqw（Д），（47），其中qw（Д）在等式（42）中。注意，该方程相当于投资集中度相对于投资组合w的最小化。我们可以推导出*属于qw（Д）Д=0，在Д的范围内≤ 0和ν≥ λmax如下所示：Д*=κ+pακ（κ- 1)κ - 1+pακ（κ- 1)κ -αα-1.κ +α-1., （48）如果存在*以便*≤ 当κ<αα时为0-1和Д*≥ λmaxwhenκ>αα-因此，最小投资浓度qw，min=qw（Д*) 计算如下：qw，min=√ακ -√κ - 1.α - 1.（49）该结果也与先前工作的结果一致。11） 从对偶问题的结果来看，如果我们假设最大投资浓度qw，maxin公式（45）等于τ，那么由于κ可以表示为κ=ατ+τ-1.-2.√ατ(τ-1)α-1、每项资产的投资风险ε=κε如下：ε=ατ+τ- 1.- 2pατ（τ- 1） ，（50）表示每项资产的投资风险最小εminin等式（30）。也就是说，在预算和投资集中度约束下的每资产投资风险最小化与在预算和投资风险约束下的投资集中度最大化之间存在着一元二元关系。同样，如果我们还假设最小投资集中度qw，minin公式（49）与τ一致，那么由于κ可以表示为κ=ατ+τ-1+2√ατ(τ-1)α-1、每项资产的投资风险ε=κε如下：ε=ατ+τ- 1+2pατ（τ- 1） ，（51），符合每项资产的最大投资风险εmaxin公式（38）。也就是说，在预算和投资集中度约束下的投资风险最大化与在预算和投资风险约束下的投资集中度最小化之间也存在着一元二元关系。2014年12月。物理。Soc。

日本。全文4。数值实验在上一节的分析中，我们使用了基于随机矩阵理论的渐近特征值分布，没有详细讨论是否可以评估每项资产的投资风险ε和投资集中度qwin实际投资市场规模的上下界。事实上，当资产N的数量足够大但有限（不是热力学极限N）时，理论结果（等式（33）、（38）、（45）和（49））是否有效尚未得到证实。在本节中，我们通过计算n非常大但有限的情况下数值实验中投资风险和投资集中度上下界的典型值，使用渐近特征值分布来确认理论结果的一致性。在数值实验中，根据标准正态分布和M个回报率矩阵Xm=nxmiu，资产的回报率xiu被视为独立且相同的分布√不∈ RN×p（m=1，2，…，m）作为样本集。此外，数值模拟中的资产数量N设置为N=1000，周期比率α=p/N设置为α=2（也假设M=100）。我们通过使用由每个回报率矩阵XM定义的拉格朗日函数的最速下降法来评估o pt ima l解，然后计算投资风险ε和投资集中度qmw。我们还评估了他们的样本平均值，ε=Xm=1εm，（52）qw=Xm=1qmw，（53），并将其与使用我们提出的方法得出的结果进行比较。首先，考虑了问题的结果，如图所示。1和2。图1显示了每项资产的最小投资风险εmin，图2显示了每项资产的最大投资风险εmax。

在其他图中，纵轴是每项资产的投资风险ε，横轴是投资集中度约束τ的系数。实线（红色）代表理论结果，符号威瑟罗线（黑色和灰色）代表数值实验的结果。利用这些数据，我们确认N=1000项资产（特定市场规模）的每项资产投资风险的上限和下限可以用理论结果进行评估，因为这两种情况的结果是等效的。13/24J。物理。Soc。日本。全文下一步，考虑对偶问题的结果。无花果。3和4分别显示了最大投资集中度qw，max和最小投资集中度qw，min。在这两个图中，纵轴是投资集中度ε，横轴是风险系数κ。实线（红色）代表理论结果，带误差条的符号（黑色和灰色）代表数值实验的结果。利用这些数据，我们还确认，N=1000资产（特定市场规模）的投资集中度上限和下限可以用理论结果进行评估，因为在这两种情况下，结果是一致的。5、结论和未来工作在本文中，我们重新探讨了投资组合优化问题，特别是在预算和投资集中度约束下的投资风险最小化/最大化（原始问题），以及在预算和投资风险约束下的投资集中度最大化/最小化（双重问题）。在之前的工作中，已经使用副本分析对这两个pr问题进行了分析。

然而，由于无法从数学上保证副本数从整数到实数的解析延拓的有效性，我们通常使用拉格朗日乘子法和随机矩阵法重新考虑这两个问题。具体而言，我们将每项资产的投资风险和投资集中度表示为拉格朗日乘数的函数，并对Wishart矩阵的渐近特征值分布进行Stieltjes变换，以便准确评估投资风险和投资集中度。在此评估中，可以轻松找到每个优化问题的最佳值。此外，由于EPLICA分析得到的结果与我们提出的原始问题和对偶问题的方法得出的结果一致，因此证实了该投资组合优化问题的副本分析的有效性。此外，从数值实验的结果来看，当资产数量足够大但有限时，投资风险和投资集中度的上下界可以与基于渐近特征分布的理论结果一致，这证明了随机矩阵方法和重复分析对分析投资组合优化问题的有效性。我们在本研究中表明，在资产收益率方差相同的情况下，可以使用Stieltjes变换分析获得每项资产的投资风险和投资集中度。作为该结果的扩展，we14/24J。物理。Soc。日本。在未来的工作中，如果资产收益率的方差不相同，全文可以很容易地评估原始问题和对偶问题。

另一个需要考虑的问题是，本研究中使用了两个约束，但也有必要检查随机矩阵方法是否适合在更现实的条件下获得投资组合优化问题的最优解，例如，当施加卖空规则或其他线性不等式约束时。感谢作者与H.Hojo、A.Seo、M.Aida、Y.Kainuma、S.Masuda和X.Xiao进行了详细讨论。其中一位作者（DT）也对中村和石川的富有成效的评论表示赞赏。这项工作得到了第15K20999、17K01260和17K01249号援助拨款的支持；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；和研究项目编号。坎波基金会第4号。附录A:Marˋcentko Pastur分布的Stieltjes变换在本附录中，我们使用留数定理计算公式（26）。如果我们假设修改后的收益率xiu独立且相同地分布，平均值E[xiu]=0，方差V[xiu]=1，那么Wishart矩阵的经验特征值分布ρN（λ）=NPNk=1δ（λ-λk）收敛到称为Marˇcenko Pastur分布的渐近特征值分布，当N接近以下单位时：20）ρ（λ）=[1- α]+δ（λ）+p[λ+- λ]+[λ - λ-]+2πλ. （A·1）式中，[x]+=最大值（x，0），λ±=（1±√α). 首先，我们计算α范围内的S（θ）≥ 1使用公式（A·1）。S（θ）表示θ∈ 可以使用λ=1+α重写C+√αξ +ξ如下所示：S（θ）=i4πI |ξ|=1（ξ- 1)(ξ - ξ)(ξ - ξ)(ξ - ξ)(ξ - ξ)(ξ - ξ） dξ，（A·2），其中极点ξi，i=0，1，····，4如下：ξ=0，ξ=-√α,ξ= -√α、 （A·3）15/24J。物理。Soc。日本。

全文ξ=-(1 + α - θ） +p（1+α- θ)- 4α√α,ξ=-(1 + α - θ) -p（1+α- θ)- 4α√α.极点的剩余量，Res[ξi]，i=0，1，·····，4，arres[ξ]=1，Res[ξ]=α- 1θ，Res[ξ]=-α - 1θ，（A·4）Res[ξ]=p（1+α- θ)- 4αθ，Res[ξ]=-p（1+α- θ)- 4αθ.由于满足ξξ=1和ξξ=1，ξ（ξ）和ξ（ξ）中的一个满足ξ<1，其他满足ξ>1。因此，由于|ξ|>1，因为α≥ 1，单位圆内存在的磁极组合|ξ|=1为（i）ξ，ξ，ξ，当|ξ|<1时，（ii）ξ，ξ，ξ，ξ，当|ξ|<1时。此外，|ξ|<1和|ξ|<1可以重写为λ-> θ的θ和λ+<θ∈ R、 所以S（θ）成为实值函数，由以下等式给出：S（θ）=α-1.-θ-√(1+α-θ)-4α2θλ-> θα-1.-θ+√(1+α-θ)-4α2θλ+<θ，（A·5）相反，S（θ）的实部在λ范围内发散-≤ θ ≤ λ+，因为被积函数的分母可以是0。因此，例如，由于t不存在的上限S（θ）+τθ在λ范围内-≤ θ ≤ λ+，我们无法求解公式（2 8）。也就是说，用拉格朗日函数导出的优化问题不能在λ范围内求解-≤ θ ≤ λ+. 因此，在本文中，我们只考虑λ的优化问题-> θ和λ+<θ，其中S（θ）仅取实值。此外，在0<α<1的范围内，也可以计算极点，并得到与等式（A·5）相同的结果。2014年6月16日。物理。Soc。日本。全文附录B：Stieltjes变换的复制方法在本附录中，我们从与附录a不同的方向重新检查S（θ）。最初，我们考虑配分函数Z以获得S（θ），如下所示：Z=Z∞-∞d~w（2π）Ne-~wT（J-θIN）~w.（B·1）那么，这个配分函数的对数总结如下：log Z=-日志det | J- θIN |。

（B·2）S（θ）可使用以下等式获得：S（θ）=2φ(θ)θ、 （B·3）φ（θ）=limN→∞NE[对数Z]，（B·4），其中，由于S（θ）以与秒相似的方式满足自平均特性，因此配置平均在等式（B·4）中执行。3.1. 来自Eqs。（B·3）和（B·4），可以看出，我们需要解析地a ssessφ（θ）才能导出S（θ）。因此，φ（θ）由n的E[Zn]计算∈ Z如下：φ（n，θ）=limN→∞Nlog E【Zn】=外向型，~Qw-αlog det | In+Qw |+TrQwQw-日志det | Qw- θ英寸|, （B·5）其中Qw={qwab}和▄Qw={▄qwab}是n×n对称矩阵，Inis然后是×n单位矩阵。我们还将使用符号ExtrAf（A）作为f（A）的极值，对应于A。此外，关于Qw的极值条件，~Qware如下方程：~Qw=α（In+Qw）-1，（B·6）Qw=（▄Qw- θIn）-1.（B·7）自Eqs起。（B·6）和（B·7）只包含术语QwandQw，Qwandqwo。极值条件可以写成In的标量倍数；也就是说，Qwand▄qwc可以分别表示为Qw=χwIn和▄Qw=▄χwIn。由此可知，χwandχware的公式如下：χw=α- θ - 1+cp（1+α- θ)- 4α2θ，（B·8）17/24J。物理。Soc。日本。整篇论文χw=α- 1.- θχw=α- 1 + θ - cp（1+α- θ)- 4α，（B·9），其中c=±1。那么φ（n，θ）如下：φ（n，θ）=-nαlog（1+χw）+nχwχw-nlog（￠χw- θ). （B·10）由于该结果满足φ（n，θ）=nφ（1，θ），以下结果成立：limN→∞Nlog E[锌]=limN→∞Nlog（E[Z]）n.（B·11），即E[Zn] （E[Z]）对于足够大的N。由此，E[log Z]可以用对数函数的泰勒展开式计算，log Z=-P∞n=1（1-Z） nn，如下所示：E[对数Z]=-∞Xn=1（1- E[Z]）nn=对数E[Z]。（B·12）那么φ（θ）（=φ（1，θ））由以下等式给出：φ（θ）=-αlog（1+χw）+χwχw-对数（￠χw- θ). （B·13）χwin公式（B·8）和￠χwin公式（B·9）各由两个解组成，从c=±1。