原对偶投资组合优化问题的随机矩阵方法

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英文标题：
《Random matrix approach for primal-dual portfolio optimization problems》
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作者：
Daichi Tada, Hisashi Yamamoto and Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we revisit the portfolio optimization problems of the minimization/maximization of investment risk under constraints of budget and investment concentration (primal problem) and the maximization/minimization of investment concentration under constraints of budget and investment risk (dual problem) for the case that the variances of the return rates of the assets are identical. We analyze both optimization problems by using the Lagrange multiplier method and the random matrix approach. Thereafter, we compare the results obtained from our proposed approach with the results obtained in previous work. Moreover, we use numerical experiments to validate the results obtained from the replica approach and the random matrix approach as methods for analyzing both the primal and dual portfolio optimization problems.
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中文摘要：
在本文中，我们重新研究了在资产收益率方差相同的情况下，在预算和投资集中度约束下投资风险最小化/最大化（原始问题）和在预算和投资风险约束下投资集中度最大/最小（对偶问题）的投资组合优化问题。我们使用拉格朗日乘子法和随机矩阵法分析这两个优化问题。之后，我们将我们提出的方法得到的结果与之前工作中得到的结果进行比较。此外，我们使用数值实验验证了复制法和随机矩阵法的结果，作为分析原始和对偶投资组合优化问题的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Random_matrix_approach_for_primal-dual_portfolio_optimization_problems.pdf (259.61 KB)

2022-6-1 08:34:10 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization Applications maximization

日本物理学会杂志全文原始-对偶组合优化问题的随机矩阵法Tada+、Hisashi Yamamoto+和Takashi Shinzato*+东京都立大学系统设计研究生院，日野，东京191-0065，日本*本论文中，日本东京町田市Tamagawa大学工程学院管理科学系194-8610（2017年9月14日接收；2017年1月1日接受），在资产收益率方差相同的情况下，我们重新研究了在预算和投资集中度约束下投资风险最小化/最大化（原始问题）和在预算和投资风险约束下投资集中度最大/最小（对偶问题）的投资组合优化问题。利用拉格朗日乘子法和随机矩阵法分析了both优化问题。然后，我们将我们提出的方法所得的结果与之前工作中得到的结果进行比较。此外，我们还通过数值实验验证了复制法和随机矩阵法在分析原始和对偶投资组合优化问题时得到的结果。关键词：均值-方差模型、原始和对偶问题、投资风险、投资集中度、随机矩阵法、Stieltjes变换、副本分析1。简介当投资者投资于证券市场上交易的金融工具时，由于资产回报率不确定，他们必须实施适当的风险管理策略。

因此，马科维茨制定了投资组合优化问题，以对基于多元化投资的风险管理进行全面分析。1） 在他的开创性工作之后，运筹学中报告了许多数学模型和分析方法。2，3）最近，投资组合优化问题的最优投资组合的性质得到了积极的探索*通讯作者，shinzato@eng.tamagawa.ac.jp1/24J。物理。Soc。日本。全文使用涉及经济物理学和统计力学信息学的跨学科研究领域开发的分析方法。例如，Laloux等人基于1991-1996年间1309天的每日标准化收益率，研究了标准普尔500指数中406项资产的经验相关矩阵的统计结构，并提出了一种通过比较经验相关矩阵的特征值分布与随机矩阵的特征值分布，从经验相关矩阵中删减噪声的技术。（4，5）Plerou等人分析了特征值间距分布，以研究经验相关矩阵是否具有随机矩阵理论预测的普遍统计特性。为此，他们使用了美国上市公司1994-1995年2年期间的股价数据。6）Pafka等人通过比较根据实际数据计算的经验相关回报矩阵的特征值分布与Marˇcenko-Pastur分布，定量评估了资产之间的相关性。7） Ciliberti等人。

将副本分析方法应用于平均绝对偏差模型和预期短缺模型，并分析了数据周期数相对于资产数较大时发生的相变。8） Shinzato利用大偏差原理证明了最小投资风险及其投资集中度满足自平均性质，他将使用replicaanalysis得出的每项资产的最小投资风险与使用OperationsResearch得出的每项资产的最小预期投资风险进行了比较，并得出结论，能够将预期投资风险降至最低的投资组合并不一定会将投资风险降至最低。9） 此外，Shinzato还利用复制分析方法分析了预算和投资集中度约束下的投资风险最小化问题以及对偶问题，以阐明它们的原始对偶结构。10，11）Varga Haszonits等人通过复制分析，在预算和预期回报的约束下，检验了样本方差定义的风险函数的最小化，并分析了复制对称解的稳定性。12） Shinzato使用复制分析检验了能够最小化卖空投资风险的最优投资组合，并揭示了该投资系统的阶段转换。13） Kondor等人还通过复制分析，分析了在资产回报率差异不一致的情况下，在预算和卖空约束下的投资风险最小化，并证实这种无序系统涉及阶段转换。14） 尽管Ciliberti等人、Kondor等人和Shinzato等人都使用副本anal2/24J研究了投资组合优化问题最优解的性质。物理。Soc。日本。

众所周知，在副本分析中使用的几种方法的有效性，例如副本数的分析延拓，在理论上没有得到保证。15、16）因此，我们需要用另一种数学上有保证的方法（如随机矩阵法）来验证从m个副本分析中获得的结果。此外，如上所述，随机矩阵理论在投资组合优化问题中的应用主要基于收益率相关矩阵的评估，而其在最优投资组合的投资风险和投资集中度方面的应用尚未得到充分的检验。在本文中，我们使用随机矩阵方法重新评估了预算和投资集中度约束下的每资产最小/最大投资风险，以及预算和投资风险约束下的最大/最小投资集中度。此外，我们还考虑了当资产数量足够大但有限（而非热力学极限）时，它是否可以用于评估每项资产的最小/最大投资风险和由渐近特征值分布得出的投资集中度。本文的组织结构如下：在下一节中，我们提出了预算和投资集中度约束下的投资风险最小化/最大化（原始问题）和对应问题，以及预算和投资风险约束下的投资集中度最大化/最小化（对偶问题）。以秒为单位。三、 我们用拉格朗日乘子法和随机矩阵法分析了这两个问题。以秒为单位。四、 对投资组合优化问题进行了数值实验，验证了复制法和随机矩阵法的有效性。最后，以秒为单位。

五、 我们致力于我们的结论和未来的工作。2、模型设置本研究将基于均值-方差模型的最优多元化投资视为在不受卖空监管的稳定投资市场中，N项资产超过10项的首要问题和对偶问题。资产i（=1，2，···，N）的头寸表示为wi，N资产的组合表示为w=（w，w，…，wN）T∈ RN，其中符号T表示转置运算符。请注意，由于卖空没有限制，所以可以使用任何实数。此外，“xiu”显示了资产i在周期u（=1，2，···，p）的回报率，其中回报率与平均值E[“xiu”）和方差3/24J独立且相同分布。物理。Soc。日本。全文SV[(R)xiu]=1。在此，原始问题的目标函数HP（~ w）定义如下：HP（~ w）=2NpXu=1NXi=1'xiuwi-NXi=1E[(R)xiu]wi！，（1） 其中，pni=1'xiuwii是投资组合在u期间的回报率，pni=1E['xiu]wii是其预期。此后，我们将在等式（1）投资风险中调用HP（~ w）。投资风险可以改写如下：HP（~w）=~wTJ~w，（2）其中J={Jij}∈ RN×是方差协方差矩阵（或Wishart矩阵），其中分量i，j由Jij=NPpu=1xiuxju给出，根据修改后的回报率xiu=(R)xiu- E[(R)xiu]。在原始问题中，端口lio~w受以下约束：NXi=1wi=N，（3）NXi=1wi=Nττ≥ 1，（4）式（3）为预算约束，式（4）为投资集中约束。式（4）中的τ是一个常数，表示风险管理策略的投资集中。投资集中度qw=NPNi=1wii是评估投资组合分散度w的一个指数，它以与赫芬达尔-赫希曼指数相同的方式显示多元化投资的实现。11） 此外，Eq。

（3） 不同于运筹学中使用的预算约束Pni=1wi=1，重新调整比例，使Wii（1）在资产数量接近单位时处于限制范围内，并且可以使用公式（3）对投资集中度qw=NPNi=1wi进行统计解释。11） 此外，可行投资组合的子集，即满足等式的投资组合。（3） （4）WP定义如下：WP=~w∈ 注册护士~wT~e=N，~wT~w=Nτ, （5） 式中~e=（1，1，····，1）T∈ RN是一个向量。对于原始问题，我们考虑了每项资产的最小投资风险εmin和每项资产的最大投资风险εmax：εmin=limN→∞最小~宽∈可湿性粉剂NHP（~ w）, （6） 4月24日。物理。Soc。日本。全文εmax=limN→∞最大~w∈可湿性粉剂NHP（~ w）. （7） 注意，在之前的工作中，原始问题和对偶问题已经通过replica分析进行了评估，通过数值实验验证了副本分析得出的结果的有效性。11） 然而，副本分析的分析方法的有效性并没有得到数学上的保证。因此，根据重复性分析的结果，预计进行投资行动可能会遇到一些阻力。因此，我们使用数学上保证的随机矩阵方法重新评估原始问题和对偶问题。在之前的工作中，使用副本分析，每项资产的最小投资风险εmin推导如下：εmin=ατ+τ -1.-2.√ατ(τ-1)1 -τ≤ α0，否则，（8）其中周期比α=p/N~ 使用O（1）。10） 此外，每项资产的最大投资风险εmax如下：εmax=ατ+τ- 1+2pατ（τ- 1)α > 0. （9） 同样，我们设置了与此原始问题对应的对偶问题。在这种情况下，目标函数HD（~ w）定义如下：HD（~ w）=NXi=1wi。（10） 该函数对应于等式（4）中的投资集中度，这是原始问题的约束条件之一。

对偶问题的约束是等式（3）中的预算约束和投资风险约束，定义如下：~ wTJ ~ w=Nκε。（11） 该方程使用投资组合优化问题中每项资产的最小投资风险，仅施加预算约束，ε=α-1.9）该约束意味着资产的投资风险为κ(≥ 1） 乘以对N项资产预算施加的最小投资风险，即Nε。我们称κ为风险系数。然后，满足式（3）和式（11）的可行投资组合子集定义如下：WD=~w∈ 注册护士~wT~e=N，~wTJ~w=Nκε. （12） 对于对偶问题，我们考虑了最大投资集中度qw，maxand5/24J。物理。Soc。日本。全文最低投资集中度qw，min:qw，max=limN→∞最大~w∈西部数据NHD（~ w）, （13） qw，最小值=limN→∞最小~宽∈西部数据NHD（~ w）. （14） 在之前的工作中，11）使用副本分析，最大投资集中度qw，max也被分析为qw，max=√ακ +√κ -1.α - 1α>1，（15），最小投资集中度qw，min评估为qw，min=√ακ -√κ -1.α - 1α > 1. （16） 在先前工作的复制分析中，11）例如，在主要问题的情况下，使用以下等式评估每项资产的最小投资风险εmin：εmin=limβ→∞-βlimN→∞NE[对数Z], （17） 其中，分配函数Z是使用反向温度β的Bolt-zmann分布确定的，asZ=Z~w∈WPd~我们-βHp（~ w），（18）和符号E[·]表示对修改后回报率xiu的预期，称为配置平均值。在计算公式（17）右侧包含的E[对数Z]的过程中，一个称为复制技巧的恒等式，E[对数Z]=limn→0常使用nlog E[锌]，（19）。在副本分析中，首先假设等式（19）中的副本数n为整数，并且可以实现Zn的配置平均值（即计算值[Zn]）。

然后，我们假设副本数为实数，并且可以执行E[Zn]的解析连续性。然而，对于投资组合优化问题，对于副本数从整数到实数的解析延拓的有效性尚未得到数学上的保证，跨学科研究领域的许多问题也是如此。15） 因此，我们在目前的工作中，使用拉格朗日乘数法和随机矩阵方法，作为副本分析的替代方法，从数学上重新检查原始问题和对偶问题。6月24日。物理。Soc。日本。全文3。拉格朗日乘子法和随机矩阵法在这一部分，我们通过拉格朗日乘子法和随机矩阵法来考虑原始问题和对偶问题。17–19）3.1预算和投资集中度约束下的最小投资风险首先，我们研究预算和投资集中度约束下的最小投资风险作为首要问题。使用拉格朗日乘数k，θ定义与投资风险最小化问题LP（~ w，k，θ）对应的拉格朗日函数，如下所示：LP（~ w，k，θ）=HP（~ w）+k（N- ~wT~e）+θ（Nτ- ~wT ~ w），s.t.k∈ Rθ≤ λii=1，2。。。，N、 （20）式中，λire表示Wishart矩阵J的特征值，式（20）中的约束是保证拉格朗日函数LP（~ w，k，θ）相对于w.17–19是凸的条件。该约束可重写为θ≤ λmin=min1≤我≤Nλi，其中λmin在N接近时的极限已知：λmin=(1 -√α)α ≥ 10 0<α<1，（21）其中，J的渐近谱（Marˋcentko Pastur定律）在极限中使用为Ngoes，保持α=p/N~ O（1）。20） 请注意，拉格朗日乘数法也可以在θ=0时仅施加预算约束的情况下处理投资风险（详情见附录）。

从极值方程LP（~ w，k，θ） ~w=0和LP（~ w，k，θ）k=0，~ w*= k*（J）- θIN）-1～e，（22）k*=得到SN（θ），（23），其中INin公式（22）是N×N单位矩阵，J- 由于等式（20），θi是一个正则矩阵，SN（θ）定义如下：SN（θ）=~ eT（J- θIN）-1～eN。（24）当N接近完整时，让我们利用极限中SN（θ）的性质，以便分析拉格朗日函数的最优lθ。奇异值分解7/24J。物理。Soc。日本。返回率矩阵X=nxiu的完整纸张√不∈ RN×pis表示为X=udvt，使用N×Northogonal矩阵U、p×p正交矩阵V和对角矩阵D=diag{di}∈RN×p，其中di=±√λi是奇异值。然后将Wishart矩阵J重写为J=XXT=UDDTUT。由此，SN（θ）可以重写如下：SN（θ）=NNXk=1ukλk- θ=Z∞-∞λ - θNNXk=1ukδ（λ- λk）dλ，（25），其中~ u定义为~ u=UT ~ e=（u，u，…，uN）T∈ r使用狄拉克δ函数δ（x）。由于~u满足~uT~u=~eT~e=N，已知在N趋于完整的极限下，Uk根据标准正态分布渐近、独立且相同地分布。21，22）此外，SN（θ）在热力学极限N内具有自平均特性，因此SN（θ）收敛到S（θ）=limN→∞E【SN（θ）】，由以下等式给出：S（θ）=Z∞-∞ρ(λ)λ - θdλ，（26），其中ρ（λ）（=limN→∞NPNk=1δ（λ-λk）是Wishart矩阵J的渐近特征值分布，即Marˋcenko Pastur定律。20） 公式（26）中定义的积分S（θ）通常被称为马尔岑科-帕斯图尔定律的Stieltjes变换。23、24）关于公式（26）的评估详情，请参见附录A和附录B。基于上述论点，每项资产的投资风险ε（θ）可以表示为热力学极限N中θ的函数，如下所示：ε（θ）=limN→∞NLP（~ w）*, k*, θ)=S（θ）+τθ.