关于救助最优股利问题

另一方面，对于有界变化的情况，byRemark 3.1（ii），b*= 0当且仅当（14）成立时。为了继续，我们可以进一步证明b*< ∞.引理4.3（i）定义h（b）：=1-W（q）（b）Д（q）R∞e-Д（q）yW（q）（y+b）dy，b≥ 0。那么，对于b≥ 0，g（b）h（b）=βZ（q）（b）- 1.- βqW（q）（b）R∞e-^1（q）yW（q）（y+b）dyR∞e-ν（q）yW（q）′（y+b）dy=βEbhe-qκb，-{κb，-<∞}我- 1，（15）关于纾困最优分红问题9，其中κb，-:= inf{t>0：Ubt<0}和Ubis是[12]的折射L'evy过程，这是随机微分方程Ubt=Xt的唯一强解- δRt{Ubs>b}ds，对于t≥ 0。（ii）我们有0≤ b*< ∞.证明（i）我们有，通过（12），thatg（b）=（βZ（q）（b）- 1） h（b）-βqД（q）W（q）（b）。（16） 另一方面，通过部件集成，h（b）-1=Д（q）R∞e-^1（q）yW（q）（y+b）dyR∞e-ν（q）yW（q）′（y+b）dy.（17）因此，由于（16）和（1 7），我们得到了（15）的第一个等式。[12]的定理5（ii）证明了（15）的第二个等式成立。（ii）对于b≥ 0，因为W（q）在[0]上严格递增，∞[，我们得到h（b）=1-W（q）（b）Д（q）R∞e-Д（q）yW（q）（y+b）dy>1-W（q）（b）Д（q）R∞e-Д（q）yW（q）（b）dy=0。利用Ub≥ Y和κb，-由Y的向下交叉时间决定，我们有收敛Eb[e-qκb，-{κb，-<∞}] → 0as b→ ∞. 这和（15）表示肢体→∞g（b）/h（b）=-因此，根据h的正性，对于足够大的b，g（b）必须为负。因此，0≤ b*< ∞.

5运营预测的验证在本节中，我们为选择b*在（13）中定义，使得随机控制问题（1）的价值函数可以实现d。使用选定的屏障b*, 通过引理3.1，我们的值函数变成了SVB*（x） =- δW（q）（x- b*) + βZ（q）（x）+ψ′（0）+q+ βδZxb*W（q）（x）- y） Z（q）（y）dy-f（b）*)qZ（q）（x）+qδZxb*W（q）（x）- y） W（q）（y）dy.（18） 这里，对于案例b*> 0，因为g（b*) = 0，通过（12）和（15），我们导出thatf（b*) =βZ（q）（b*) - 1W（q）（b）*)= βqR∞e-^1（q）yW（q）（y+b）*)dyR公司∞e-Д（q）yW（q）′（y+b）*)dy.（19）对于案例b*= 0，vb*= vis已在Remark3.2中给出。我们的目标是证明本文的主要结果。10 Jos'e-Luis P'erez等人。定理5.1策略πb*是最优的，随机控制问题（1）的值函数由v=vb给出*.设L为与过程X相关的最小g生成器，当X为有界（或无界）变化时，适用于C（或C）函数F，即对于X∈ R、 LF（x）：=γF′（x）+σF′（x）+Z(-∞,0)F（x+z）- F（x）- F′（x）z1{-1<z<0}∏（dz）。进一步，设Ly为Yt的值：=Xt- δt。我们有LYF（x）=LF（x）- δF′（x）。为了证明最优性，需要验证变分不等式。省略了下一个引理的顶，因为它本质上与[5]的Le mma 4.2中的光谱正情况相同。在这里，我们稍微放宽了零光滑度的假设，这可以通过应用[15]的Theo rem 4.71中的Meyer It^o公式来实现。对于其他随机控制问题和具有谱单侧L'evy过程的验证引理，我们参考了[1,6,16,17]。引理5.1（验证引理）假设^π∈ A使得v^π在]0上是充分光滑的，∞[，在R上连续，对于无界变差的情况，在0处连续可微。

此外，我们假设SUP0≤r≤δ（L）- q） v^π（x）- rv′^π（x）+r≤ 0，x>0，v′^π（x）≤ β、 x>0，（20）infx≥0v^π（x）>-m、 对于某些m>0。那么，对于所有x，v^π（x）=v（x）≥ 0，因此，^π是最佳策略。我们将首先计算发电机部件。引理5.2固定b≥ 如果b>0，我们有（L- q） vb（x）=0表示0<x<b.（ii）我们有（LY- q） vb（x）+δ=（L- q） vb（x）+δ（1- v′b（x））=对于x>b为0。证明（i）对于0<x<b，定理2.1在[8]中得出（L- q） vb（x）=β（L- q）Z（q）（x）+ψ′（0）+q-f（b）q（L）- q） Z（q）（x）=0。（ii）另一方面，对于x>b，【8】中的定理2.1意味着（LY- q） W（q）（x）- b） =q-1（LY- q） （Z（q）（x）- （b）- 1） =1，（LY- q）Z（q）（x）+ψ′（0）+q= -δx个Z（q）（x）+ψ′（0）+q= -δZ（q）（x），（LY- q） Z（q）（x）=-δZ（q）′（x）=-δqW（q）（x）。此外，我们得到- q）RxbW（q）（x）- y） l（y）dy= l（x）由[18]中Le mma 4.5证明中的论证得出，对于l=Z（q），W（q）。应用（18）中的这些，我们得到了（2）中的主张。关于阈值b的最优红利问题11引理5.3*由（13）定义，我们有β≥ v′b*（十）≥ 1 forx<b*, 和0≤ v′b*（十）≤ 1代表x≥ b*.证明步骤（i）：假设b*> 通过（9）和（19），我们得到了v′b*（x） =- δW（q）（x- b*) + βZ（q）（x）+βδhZ（q）（b*)W（q）（x）- b*) + qZxb*W（q）（x）- y） W（q）（y）dyi-βZ（q）（b*) - 1W（q）（b）*)“W（q）（x）+δW（q）（b）*)W（q）（x）- b*)+Zxb公司*W（q）（x）- y） W（q）′（y）dy#=βZ（q）（x）+βδqZxb*W（q）（x）- y） W（q）（y）dy- βqR∞e-^1（q）yW（q）（y+b）*)dyR公司∞e-Д（q）yW（q）′（y+b）*)dy公司W（q）（x）+δZxb*W（q）（x）- y） W（q）′（y）dy=βExhe-qκb*,-{κb*,-<∞}i、 （21）其中第二个等式由（19）的第二个等式成立，最后一个等式由[12]中的定理5（ii）成立。由于（21），我们推断为0≤ v′b*（十）≤ β=v′b*(0-) 和v′b*（x） 对于x>0，不增加。此andv′b*（b）*) = 1根据备注4.1完成证明。步骤（ii）：支持e b*= 0（那么，X必然是有界变差的4.2）。

通过备注3.2，我们得到，对于x 6=0，v′（x）=βZ（q）（x）-qД（q）W（q）（x）,v′（x+）=βqW（q）（x）1.-ν（q）W（q）′（x+）W（q）（x）.已知x 7→ W（q）′（x+）/W（q）（x）在[19]的x asin（8.18）和引理8.2中单调递减，并收敛于ν（q）。因此，v′（x+）<0，这意味着vis是凹的。另一方面，我们通过Remark4.1得到v′（0+）=1+（1+δW（q）（0））g（0）。如g（0）≤ 0（见引理4.2），我们有v′（0+）≤ 1、v′（x）为：≤ 1代表所有x。最后，我们有v′（x）x↑∞---→ 0，因为Z（q）（x）- qW（q）（x）/Д（q）在[19]定理8.1（ii）的极限内消失。因此，我们有v′（x）≥ 0注5.1 vb的单调性*根据引理5.3和假设1，我们有infx≥0vb*（十）≥ vb*(0) > -∞.12 Jos'e-Luis P'erez et al.证明（定理5.1）我们将证明vb*满足引理5.1中给出的所有条件。首先，通过引理4.1和备注4.2，vb所需的连续性/光滑性*持有。剩下来验证变分不等式（20）。引理5.3导致SUP0≤r≤δr1.- v′b*（十）=δ1.- v′b*（十）≤ δ、 如果x>b*,0，如果0<x≤ b*.这和引理5.2表示（20）中的第一项相等。第二项由引理5.3确定。最后，第三项保留在备注5.1中。备注5.2不管X的负跳跃，我们的结论有趣地表明，我们推测的阈值策略仍然是最优策略。然而，作为项ψ′（0+）=EX=γ+R]-∞,-1] 在值函数中出现z∏（dz），负跳跃明显对最优解有直接影响。跳跃的另一个重要影响可以在Bounded变化情况下看到，其中最佳阈值可以是b*= 0，这意味着始终支付股息是等时性的。

这一结果并不符合经典布朗运动模型。6数值例子我们用一系列数值实验来总结这篇文章，这些实验是由光谱负L'evy过程建模的基础过程，其相位类型跳跃的形式为Xt- X=ct+σBt-PNtn=1Zn，fo或0≤ t<∞. 这里，B=（Bt；t≥ 0）是标准布朗运动，N=（Nt；t≥ 0）是一个到达率为κ的泊松过程，Z=（Zn；n=1，2，…）是一个相位型随机变量的i.i.d.序列，用形状参数2和尺度参数1近似威布尔分布（相位型分布的参数见[16]，近似精度见[20]）。过程B、N和Z相互独立。我们参考文献[14]和[2 0]了解相应比例函数的形式。我们考虑σ=0.2和c=2的情况1（无界变化），以及σ=0和c=4的情况2（有界变化）。对于其他参数，除非另有说明，否则设置κ=2、q=0.05、β=1.5和δ=1。回想一下，最佳阈值b*由（13）给出。在图1中，我们绘制了函数b 7→ g（b）/h（b）（回想一下，h是一致正的）对于情况1和2的β的变化值。对于情况g（0）≤ 0（因此g（0）/h（0）≤ 0），我们有b*= 0 . 否则，g/h单调递减，b*变成g（和g/h）消失的值。如引理4.2所述，对于情况1（无界变化），b*> 0表示β>1的任何值，而在情况2（边界变化情况），b*= 如果β足够大，则为0，损失为1。为了证实所选阈值策略πb的合理性*, 如图2所示（对于β=1.5），我们绘制了值函数vb*连同vbfor b 6=b*. 对于纾困最优分红问题131，我们有b*> 0; 而对于案例2，我们有b*= 0 .

如图所示，vb*在图3中，我们给出了最优解对参数β和δ的灵敏度，重点是案例1。在左面板上，我们绘制vb*对于从1.01到3的β范围。该图表明，值函数在x的β中均匀减小，最佳阈值b*增加a sβ增加。在右侧面板上，我们显示vb*对于δvar，从0.01到3，以及在没有[1]中的绝对连续假设的情况下的结果。观察到值函数越来越收敛于[1]中的值函数。b的收敛性*也证实了[1]中的最佳势垒。7结论在累积分红策略绝对连续的约束下，我们通过注资解决了分红问题。特别是，我们证明了该解决方案是一种折射反射策略，它从零开始反射表面，并在适当的阈值下减小漂移。值得注意的是，本文的方法和结果可以潜在地应用于由一维单边L'evy过程驱动的其他相关随机控制问题。在【21】中所述的库存/现金管理控制问题中，在适当的绝对连续假设下，追求收益反应策略的最优性是很有意义的。利用[7]中的结果，预计将以本文中所述的有效方式进行平滑和验证。0 1 2 3 4 5 6b-1-0.50.51.50 1 2 3 4 5 6b-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8案例1案例2 IG。1： b 7的绘图→ g（b）/h（b）表示情况1（左），情况2（右）表示β=1.01、1.05、1.1、1.5、2和3，对应于从下到上的曲线。

圆圈表示b处的点*.14 Jos\'e-Luis P\'erez et al.0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x-2-10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x18.618.718.818.919.119.219.319.419.5案例1案例2IG。2： （左）x 7的绘图→ vb*（x） （实线）表示情况1，vb（虚线）表示b=b*/3，2b*/3和4b*/3，对应于从下到上的虚线。（右）x 7的绘图→vb*（x） （实线）表示情况2，vb（虚线）表示b=1/4、1/2、3/4和1，对应于从上到下的虚线曲线。圆圈和向下指向的三个角度表示b处的点*和b。0 1 2 3 4 5 6x-6-4-20 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x-4-3-2-1灵敏度w.r.t.β灵敏度w.r.t.δ图3：（左）x 7曲线图→ vb*（x） f或β=1.01，1。02, . . ., 1.09, 1. 1,1.2, . . ., 2.9和3，对应于从上到下的曲线。（右）x 7的绘图→ vb*（x） （虚线）x 7→ vb*（x） 对于δ=0.01，0.02。，0. 09, 0.1, 0.2, . . ., 2.9和3，对应于从下到上的曲线，以及[1]中的值函数（实心）。圆圈表示b处的点*平方表示[1]中最佳势垒处的点。确认J.L.P'erez由CONACYT支持，项目编号241195。K、 山崎的部分资金由MEXT KAKENHI第17K05377号拨款支持。十、 Yu获得香港早期职业计划的资助，资助号为25302116。参考文献1。Avram，F.、Palmowski，Z.和Pistorius，M.R.：关于体负L'evy过程的最优红利问题。安。应用程序。概率。17, 156-180, (2007).关于纾困最优分红问题152。Asmussen，S.，和Taksar，M.：最优股息支付的受控差异模型。保险公司。数学经济。20(1), 1-15, (1997).3、Boguslavaskaya，E.：《金融数学中的优化问题：差异模型的显式解决方案》。，阿姆斯特丹大学博士论文（2006年）。4、H.U.Gerber和E.S.Shiu。

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