关于救助最优股利问题

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英文标题：
《On the Bail-Out Optimal Dividend Problem》
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作者：
Jos\\\'e-Luis P\\\'erez, Kazutoshi Yamazaki, Xiang Yu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies the optimal dividend problem with capital injection under the constraint that the cumulative dividend strategy is absolutely continuous. We consider an open problem of the general spectrally negative case and derive the optimal solution explicitly using the fluctuation identities of the refracted-reflected L\\\'evy process. The optimal strategy as well as the value function are concisely written in terms of the scale function. Numerical results are also provided to confirm the analytical conclusions.
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中文摘要：
本文研究了在累积股利策略绝对连续的约束下，有资本注入的最优股利问题。我们考虑了一般谱负情况下的一个开放问题，并利用折射-反射L拞evy过程的涨落恒等式显式地导出了最优解。最优策略和价值函数用尺度函数简洁地表示。数值结果也证实了分析结论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_the_Bail-Out_Optimal_Dividend_Problem.pdf (421.76 KB)

2022-6-1 09:19:25 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Optimization Applications mathematica

JOTA手稿编号（将由编辑插入）关于纾困最优股利问题Jos’e-Luis P’erez·Kazutoshi Yamazaki·Xiang Yuereceived:date/Accepted:date摘要本文研究了累积股利策略绝对连续约束下的注资最优股利问题。我们考虑了一个一般谱负态的开放问题，并利用反射L'evy过程的函数恒等式显式地导出了最优解。最优策略和价值函数用尺度函数简洁地表示。还提供了数字结果来证实分析结论。随机控制·尺度函数·折射反射L′evyprocess·纾困红利问题数学主题Cl assition（200 0）60G51·93E20·49J401在de Finetti最优红利问题的纾困模型中介绍，在盈余必须在一段时间内保持非负统一的约束条件下，我们希望最大化总预期股息减去资本注入成本。通常情况下，在墨西哥瓜纳华托的一个特殊的负L'evy过程（带有Jos'e-Luis P'erezCentro de Investigaci'的L'evy过程）。garmendia@cimat.mxKazutoshi山崎关西大学，Japankyamazak@kansai-u、 ac.jpXiang Yu（通讯作者）香港理工大学。yu@polyu.edu.hk2Jos'e-Luis P'erez等人（仅向下跳跃）被用来模拟保险公司的潜在盈余过程，该过程因保费增加而增加，因保险付款而减少。Avram等人[1]表明，从零开始，从零开始，也从适当选择的阈值开始，这是最佳的。我们研究了具有绝对连续约束的dividend策略的一个推广。

精确地说，累积红利过程必须对勒贝格测度是绝对连续的，其密度以给定常数为界。这一问题（没有纾困）之前已经在争议案例中被[2]和[3]考虑过，而在拉默尔·伦德伯格（R'amer Lundberg）的指数跳跃过程中被[4]考虑过。在经典背景下，在保险的背景下，可接受的策略集过于笼统，违反直觉。因此，有人试图将解决方案限制在更现实的战略上。绝对连续的条件是实现这一目标的一种方法，同时又不会失去分析的可处理性。关于既有纾困又有绝对连续性条件的版本，双重情况（光谱正L'e vy情况）最近已由[5]解决。在本文中，我们进一步考虑了潜在过程的谱负情况。这也可以被视为[6]的纾困版本，其中包含了绝对连续的约束，但没有注资。我们的最终目标是验证关于折射反射策略最优性的猜测，该策略从经典意义上反映了低于t z e ro的盈余，并在适当选择的阈值下折射过程（减小漂移）。由此产生的受控盈余过程成为了最近在【7】中研究的所谓refra c ted reflected L'evy过程。事实上，在【7】中已经开发出了折射反射L'evy过程的许多有趣的概率特性。然而，作为资本注入最优股息问题的一个重要应用，光谱负情况下的最优控制是否能满足这种类型的折射反射仍然是一个悬而未决的问题。

本文填补了这一空白，并提供了封闭形式的选择。正如相关文献中常用的那样，我们采用了尺度函数和函数恒等式，以便有效地遵循下面描述的“猜测和验证”程序。（1） 通过关注折射反射策略集，我们通过平滑公关公司选择明智的候选策略。特别是，我们选择阈值，以便在有界（或无界）变化的情况下，相应的净现值（NPV）在阈值处连续（或连续两次）不同。（2） 然后，通过验证需要计算生成器和值函数的特定斜率条件的变分不等式，确认所选策略的最优性。一般来说，在最优分红问题及其扩展中，对于光谱负的情况，最优性的验证比双重情况更具挑战性。困难通常在于所需的证明候选值函数的性质超过了障碍/阈值，即在纾困最优分红问题3上分离等待和控制区域。直观地说，这是很困难的，因为在负跳跃的情况下，盈余可以从控制区域跳到等待区域，也可以直接跳到零边界下的反射区域，在零边界下，值函数的形式会发生变化。文献证明，选择L'evy测度可能会导致最优性失败（例如，参见[6]假设L'evy密度完全单调）。

然而，在对偶模型中，通常没有必要在L'evy测度上假设任何性质（见[8,9,10,11]）。从数学上讲，在我们的问题中，主要的挑战是显示高于选定阈值的坡度条件，以便坡度的边界为1。尽管如此，我们证明了最优性适用于一般谱负L'evy情况。为此，我们使用了我们的观察结果，即候选值函数的斜率与文献[12]中折射L'evy过程破产时间的拉普拉斯变换一致，这在起始值上是单调的。通过利用比例函数的分析特性，可以有效地执行其他需要的计算，例如生成器和低于阈值的斜率。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们回顾了谱负L'evy过程，并给出了绝对连续条件下的完全最优分红控制问题的精确公式。第3节定义了折射反射策略，并使用尺度函数计算了股息减去资本注入的校正NPV。第4节提供了推测的候选阈值，第5节验证了所选策略的最优性。第6节给出了一些数值例子。最后，我们在第7.2节预备工作2.1特殊负L’evy过程中给出了我们的结论。在本文中，我们考虑r是一个光谱负L’e vy过程X∈ R、 为了方便起见，我们用px表示X从X开始的定律，并将其称为P而不是P。

Ex和E是相关的期望运算符。其拉普拉斯指数ψ（θ）：[0，∞[→ R由eψ（θ）t定义：=eeθXt堡垒，θ≥ 用L’evy-Khintchine公式ψ（θ）：=γθ+σθ+Z]-∞,0[eθz- 1.- θz1{z>-1}π（dz），θ≥ 0，其中γ∈ R、 σ≥ 0，且∏是上的度量值]- ∞, 0[称为满足要求的X的L'evy度量]-∞,0[(1 ∧ z） ∏（dz）<∞.众所周知，当且仅当σ=0andR时，X具有有界变差路径]-1,0[| z |∏（dz）是有限的。在这种情况下，X={Xt=ct- 圣彼得堡≥ 0}，其中c：=γ-R]-1,0[z∏（dz）和{St；t≥ 0}是一个无漂移的从属项。注意c必然大于0，因为我们已经排除了X具有单调路径的可能性。其拉普拉斯指数由ψ（θ）=cθ+R给出]-∞,0[eθz- 1.π（dz），对于θ≥ 0 .4 Jos'e-Luis P'errez et al.2.2绝对连续条件下的最优红利a策略是一对π：=（Lπt，Rπt；t≥ 0）从零开始的无ndec研究、右连续和自适应过程（关于X生成的过滤），其中Lπ是分配nds的累积量，Rπ是注入资本的累积量。Vπ0时-:= x、 和，Vπt：=Xt- Lπt+Rπt，t≥ 0，要求Vπt≥ 0 a.s.在t中均匀。此外，当δ>0固定时，Lπ需要相对于Lπt=Rt形式的勒贝格测量绝对连续lπsds，t≥ 0，带lπ限制为在时间内统一取[0，δ]中的值。

对于Rπ，假设R[0，∞[e]-qtdRπt<∞, a、 s.假设β>1是单位注入资本的成本，q>0是贴现系数，则在策略π下股息的净现值减去资本注入成本后的净现值变为π（x）：=ExZ∞e-qtlπtdt- βZ[0，∞[e]-qtdRπt！，x个∈ R、 相应的随机控制问题由v（x）：=supπ定义∈Avπ（x），x∈ R、 （1）其中A是满足上述约束的所有可接受策略的集合。在本文中，为了排除琐碎的情况，我们考虑了下一个消费。假设1我们假设EX=ψ′（0+）>-∞.此外，正如文献（见[6]）中通常规定的那样，下一个假设是这样进行的，即过程Y：={Yt：=Xt- δt，t≥ 0}没有单调路径。假设2对于有界变化的情况，设c>δ。3折射反射策略我们的目标是显示折射反射策略πb=（L0，b，R0，b，t≥ 0），具有适当的折射级别b≥ 也就是说，当盈余过程超过规定的阈值b时，股息将以最大利率δ支付，而当盈余过程试图向下突破零时，股息将被注资推高。产生的剩余进程u0，bt：=Xt- L0，bt+R0，bt成为[7]的标准折射反射L'evy过程。根据最优控制理论，我们认识到，股息分配策略是bang-bang型的，即股息应以最大利率δ或0支付。另一方面，纾困最优股息问题5战略的资本注入，即反映控制，符合单一控制框架。

为此，我们可以显式地将所描述的累计股息控制写为L0，bt=Rtδ1{U0，bs>b}ds，对于有界变化的情况，我们可以编写候选注资R0，bt=P0≤s≤t | U0，bs-+ △Xs | 1{U0，bs-+△Xs<0}。在这里，我们定义△ξt：=ξt- ξt-, t型≥ 0，对于任何c\'adl\'ag过程ξ。关于该过程的正式说明，我们参考文献[7]。显然，上述每一种反分数反策略πbis都适用于任何b≥ 0.我们用Vb（x）：=ExZ表示相应的预期NPV∞e-qtdL0，英国电信- βZ[0，∞[e]-qtdR0，bt！，x个∈ R、 （2）为了表示（2），我们应用了函数恒等式。按照与[12]相同的公式，我们分别称W（q）和W（q）为X andY的标度函数。这些是从R到[0]的映射，∞[在负半线上取零，而在正半线上，它们严格地增加了拉普拉斯变换定义的函数∞e-θxW（q）（x）dx=ψ（θ）- q、 θ>Φ（q），（3）Z∞e-θxW（q）（x）dx=ψY（θ）- q、 θ>Д（q）。（4） 这里ψY（θ）：=ψ（θ）- δθ, θ ≥ 0，是Y和Φ（q）的拉普拉斯指数：=sup{λ≥ 0：ψ（λ）=q}和Д（q）：=sup{λ≥ 0：ψY（λ）=q}。我们还定义了x∈ R、 W（q）（x）：=ZxW（q）（y）dy，Z（q）（x）：=1+qW（q）（x），Z（q）（x）：=ZxZ（q）（Z）dz=x+qZxZzW（q）（W）dwdz。注意，对于-∞ < x<0，我们有w（q）（x）=0，Z（q）（x）=1和Z（q）（x）=x，x≤ 0。（5）类似地，我们定义了Y的W（q）、Z（q）和Z（q）。根据[7]中的计算，我们已经知道δZxW（q）（x- y） W（q）（y）dy=W（q）（x）- W（q）（x），（6）δZxW（q）（x- y） Z（q）（y）dy=Z（q）（x）- Z（q）（x）+δW（q）（x）。（7） 6 Jos'e-Luis P'erez等人。备注3.1（i）W（q）和W（q）几乎在任何地方都是不同的。

特别地，如果X是无界变化的或L'evy测度是无原子的，则已知W（q）和W（q）是C（r{0}）；参见[13]的定理3。（ii）As x↓ 0，根据[14]中的引理3.1，我们得到了（q）（0）=0，如果X是无界变量，c-1，如果X是有界变差的，对于W（q）也有类似的结果。利用[7]中的结果，可将预计净现值（2）写为如下。引理3.1，对于q>0，b≥ 0和x∈ R、 我们有Vb（x）=- δW（q）（x- b） +βZ（q）（x）+ψ′（0）+q+ βδZxbW（q）（x- y） Z（q）（y）dy-f（b）qZ（q）（x）+qδZxbW（q）（x- y） W（q）（y）dy,式中，f（b）：=βZ（q）（b）- 1+βqR∞e-Д（q）yW（q）（y+b）dyД（q）R∞e-ν（q）yW（q）（y+b）dy.证明结果由[7]的推论4.4和5.5得出，并且z∞e-Д（q）yZ（q）（y+b）dy=Z（q）（b）Д（q）+qД（q）Z∞e-Д（q）yW（q）（y+b）dy。备注3.2如（3）所示∞e-Д（q）yW（q）（y）dy=（ΔД（q））-1对于nb=0的情况，我们有f（0）=β- 1+βqR∞e-Д（q）yW（q）（y）dyД（q）R∞e-Д（q）yW（q）（y）dy=δβ - 1+βqΔД（q）. （8） 通过这个，（6）和（7），我们得到v（x）=- δW（q）（x）+βZ（q）（x）+ψ′（0）+q+ βZ（q）（x）- Z（q）（x）+δW（q）（x）+1.- β -βqΔД（q）Z（q）（x）+qW（q）（x）-W（q）（x）qδ=δq+βψ′（0+）q+Z（q）（x）-δq-Д（q）Z（q）（x）.关于纾困最优分红问题74候选阈值的选择我们将选择候选阈值b*因此，相应的预期NPV vb*可在b处平滑*. 引理3.1和par ts的集成意味着VB（x）=- δW（q）（x- b） +βZ（q）（x）+ψ′（0）+q+ βδZ（q）（b）W（q）（x）- b） +qZxbW（q）（x）- y） W（q）（y）dy-f（b）qhZ（q）（x）+qδW（q）（b）W（q）（x）- b） +ZxbW（q）（x）- y） W（q）′（y）dyi、 通过对此进行区分，我们得到了v′b（x）=- δW（q）（x- b） +βZ（q）（x）+βδhZ（q）（b）W（q）（x- b） +qZxbW（q）（x）- y） W（q）（y）dyi-f（b）hW（q）（x）+δW（q）（b）W（q）（x）- b） +ZxbW（q）（x）- y） W（q）′（y）dyi、 （9）对于x 6=0，b是连续的。特别是对于x<b，通过（5），我们得到v′b（x）=βZ（q）（x）- W（q）（x）f（b）。

（10） 下面是v′b（b+）- v′b（b-) = δW（q）（0）g（b），（11），其中g（b）：=βZ（q）（b）- 1.- W（q）（b）f（b）=βZ（q）（b）- 1.1.-W（q）（b）Д（q）R∞e-^1（q）yW（q）（y+b）dy-βqW（q）（b）Д（q）。（12） 对于有界变化的情况，其中W（q）（0）>0（见Remark3.1（ii）），很容易看出，当且仅当g（b）=0时，vb在b处连续可微。对于无界变化的情况，通过微分（9），我们得到，对于x 6=b，Vb′（x）=- δW（q）′（x- b） +βqW（q）（x）+βδhZ（q）（b）W（q）′（x- b） +qZxbW（q）′（x）- y） W（q）（y）dyi8 Jos'e-Luis P'erez等人。-f（b）hW（q）′（x）+δW（q）（b）W（q）′（x）- b） +ZxbW（q）′（x）- y） W（q）′（y）dyi、 对于x 6=0，b，因此vb′（b+）是连续的-vb′（b-) = δW（q）′（0+）g（b）。这些观察结果以及Remark3.1中的标度函数onR{0}的平滑度总结如下。引理4.1假设存在b>0，使得g（b）=0。然后，vbiscontinuously（resp.two continuous）differentiable on]0，∞[当X为有界（或无界）变化时。备注4.1（b处的斜率）条件g（b）=0等于v′b（b-) = 1，ifb>0。实际上，通过（10）、（11）和（12），我们得到了v′b（b-) = 1+g（b），b>0，v′b（b+）=1+（1+δW（q）（0））g（b），b≥ 备注4.2（零处的连续性/光滑性）（i）通过引理3.1，我们得到b在零处是连续的≥ 0。（ii）如果b>0，（10）给出v′b（0+）=β- W（q）（0）f（b）=β=v′b（0-) 对于无界变化的情况。让我们通过B定义我们的候选阈值*:= inf{b≥ 0:g（b）≤ 0}，（13）使用inf = ∞.引理4.2我们有b*= 0当且仅当X是有界变差且β- 1 +1.- β -βqΔД（q）δc≤ 0.（14）B定义的证明*如（13）所示，我们有b*= 0当且仅当ifg（0）≤ 0，其中g（0）=β- 1 +1.- β -βqΔД（q）δW（q）（0）乘以（8）和（12）。对于无界变化的情况（其中W（q）（0）=0），g（0）=β-1>0，因此为b*> 0 .