凝聚性及其在实现高阶矩中的应用

，4}是任意实系数。（c，c）项满足聚集性（APN），如果F是鞅，则出现CTEM，因为鞅具有零自相关，并且CTEM产生对应于第三个矩的特征，即EHPNI=1（δFi）+3δFiδvii=E（英尺- F）.然后他考虑几何情形x=y、 vφ>, 式中，y=ln F，vφt=Et[φ（yT- 我们感谢副主编和一位匿名推荐人在这方面的有益评论。事实上，Neuberger（2012）将状态空间的大小增加了一倍，但与yt不同，xc中包含的条件方差过程vt不能用Ft表示。表示广义方差过程，即limδy→0φ（δy）/（δy）=1。在这种情况下，他证明了（APN）的解由g（δx）=（c，c）>δx+c给出eδy- 1.+ cδvφ- 2δy+ cδvφ+2δyeδy，其中ci∈R、 我∈ {5，…，9}，且至少有一个C和C必须为零。如果F是鞅，则（c，c）项满足APN，且CTEM具有零期望。最重要的是方差：当c6=0时，广义方差过程称为“对数方差”过程，表示为vλt=Et[λ（yT- yt）]，其中λ（δy）=2eδy- 1.- δy.当c6=0时，广义方差过程称为“熵方差”过程，表示dVηt=Et[η（yT- yt）]，其中η（δy）=2δyeδy- eδy+1; 当c=c=0时，vφ可以是任何广义方差过程。在（APN）的这组几何解中，Neuberger【2012】专注于一个特定的已实现方差，即。

对数方差（LV），其中（c，c，c，c，c）=(-2，0，2，0，0），因此g（δy）=2eδy- 1.- δy= λ（δy）。他只找到一个高阶矩，对应于（c，c，c，c，c）=（6，-3.-12，0，3），由g（δx）=ρ（δx）+τ（δy）给出，其中ρ（δx）=3δvηeδy- 1.和τ（δy）=6δyeδy- 2eδy+δy+2.要找到与此选择的g相对应的长期力矩，设置δx=xT- X和TakeExpections。自始[ρ（xT- x） ]=0当F是鞅时，我们有e[g（xT- x） ]=E[τ（yT- y） 】。不幸的是，即使limδy→0τ（δy）/（δy）=1，隐含特征不会捕捉到第三个时刻，因为当yT- Yi足够大。这促使我们寻求（AP）的新三阶矩解，其中长期矩对应于正3阶矩。请注意，2δyeδy- eδy+1, i、 e.熵方差过程对应的实现方差不满足（APN）。也就是说，无法选择（c，c，c，c，c），这将产生g（δy）=η（δy）。τ（δy）是Oδy对于基于高频数据的测量非常有用。但是ρ（δx）isO（δvηδy），因此g（δx）不是一个纯立方风险敞口，因为它包括一个额外的价格方差协方差敞口。关于这一点的进一步讨论，见Neuberger【2012年】。3理论结果我们的第一个结果描述了这些对（f；u），其中f:Rn×Rn→R、 它满足两个二阶偏微分方程的（AP）解，一个用于导数过程su=（u，…，un）>w.R.t。基本过程x=（x，…，xn）>和另一个用于实值函数f w.R.t.u。为此，我们需要假设f和u是两次可微的，因此存在以下量：对于i∈ {1，…，n}让θt=（θ1t。

，θnt）>式中，θit=θi（t，xt）∈Rdenote u的时间导数，并设δit=δi（t，xt）∈RnandΓit=Γi（t，xt）∈Rn×ndenote uitw的一阶和二阶偏导数。r、 t.xt的组成部分。对于函数f，我们表示第一个偏导数的雅可比向量w.r.t。第二个输入向量的分量J=（J，…，Jn）>∈R和书写∈Rn×关于二阶偏导数的Hessian矩阵。通过这些定义，我们可以通过考虑xt的特定过程（具有特定漂移和协方差的多元差异），然后推导聚集特性（AP）保持的条件，来建立（f；u）满足（AP）的必要条件。定理1：假设x遵循一个扩散过程，动力学dxt=utdt+∑tdwt，其中∑t=∑（t，xt）∈Rn×n，ut=u（t，xt）∈Rnand重量∈RN是一个标准的多变量维纳过程∈ [0，T]。如果u w.r.t.x在时间t的一阶导数，即。t=（δ1t，…，δnt）>形成一个n×n可逆矩阵，然后对于每个（f；u），使得f（u，u）=0 u∈Rn，存在一个函数a∈ C例如：H（ur，us）- Ha（us）=nXi=1{Ji（ur，us）- Jai（us）}Cis，（PDE I）对于任何0≤ r≤ s≤ T，其中Ja=（Ja，…，Jan）>∈Rnand Ha∈Rn×nare a的雅可比矩阵和hessian矩阵，Cit=Ci（ut）∈Rn×nare对称矩阵，对于i=1，n、 此外：2（θt+tut）+tr公司∑>tM1t∑t, . . . , tr公司∑>tMnt∑t>= 0，（PDE II），其中Mit=Γit+>tCit公司t、 对于所有t∈ [0，T]。在推导了必要条件（PDE I）和（PDE II）之后，我们现在提供了对称矩阵C的（AP）解，并在两种特殊情况下推导了（f；u）的闭式表达式，即：。推论2，当所有Citare为常数时，即u中的每个过程都遵循对数鞅；推论3，当所有Citare为零时，即u只包含一个鞅。在每种情况下，过程u的定义都是无模型的。

请注意，底层流程x不需要是一个差异。该假设在定理1中提出，只是为了找到（AP）解的必要条件。一旦找到了解决方案的一般形式，我们可以通过在（AP）中进行替换来验证它是否满足我们的AP对于任何底层流程的要求。但首先我们需要以下内容：推论1：根据边界条件为u（T，xT）=ψ（xT）的多元Feynman-Kac公式，（PDE II）的解由u（T，xT）=Ethψ（xT）+'Tt给出tr公司Σ>τ>τC1ττΣτ, . . . , tr公司Σ>τ>τCnττΣτ>因此，导数过程Ui遵循鞅当且仅当Cit=0。定理2：假设Cit=QDitQ>，其中Q是正交矩阵和双对角矩阵，并且pni=1Cit=（C1t1，…，Cnt1）>。然后（PDE I）的解由f（ur，us）=a（us）给出- a（ur）+b（ur）>{m（us）- m（ur）}，其中a:Rn→R∈ C其中a（0）=0，b:Rn→注册护士∈ C、 andm（ut）=^utexp（nXi=1^uiCi（~u）d ~ui）du，是一个多元鞅。同样，a项对（AP）的满意度很低，b项的期望值为零。如果我们不实施∈ C和b∈ C可能还有满足AP的其他函数f。在u服从多元对数鞅的情况下，以下推论刻画了（PDE I）和（PDE II）的所有解。推论2：假设Cit=Ciare常量，PNI=1CII可逆。Thenm（ut）=nXi=1Ci！-1exp（nXi=1Ciuit）- 我1，andu（t，xt）=nXi=1Ci！-1lnEt“exp（nXi=1Ciψi（xT））#！1，满足边界条件uT=ψ（xT）的鞅的对数。下一个推论中的鞅情形对应于Ci的极限→ 0，i=1，推论2中的对数鞅情形。很容易验证下面的鞅条件（M）表征了当u是鞅时，对于任何C函数a和b中的任何C函数集，满足（AP）的所有对（f；u）。推论3：假设所有i∈ {1，…，n}。

那么（PDE I）的解是f（ur，us）=a（us）- a（ur）+b（ur）>（us- ur），（M），其中我们假设w.l.o.g.Ja（0）=0。此外，（PDE II）的解是u（t，xt）=Et[ψ（xt）]。注意，单变量鞅情形对应于Bondarenko【2014】方程（12）中描述的聚集性质（APB）的解。基于（f；u）的实现特性，即NXi=1f（ui-1，ui）=a（uT）- a（u）+NXi=1b（ui-1） >（ui- 用户界面-1） ，是隐含特征[f（u，uT）]的无偏估计量，由于是鞅，隐含特征[f（u，uT）]也可以是写式[a（uT）]- a（u）。请注意，ui=uti。因此，隐含特征由单独的定义。在下一节中，我们将考虑a的一些特定选择，这些选择对应于更高的力矩。虽然a必须在时间0时固定，但b可以随时间动态变化。此外，b确定估计量沿分区的条件方差，因为（NXi=1f（ui-1，ui）-Et“NXi=1f（ui-1，ui）#）=Et公司（a（uT）-Et[a（uT）]+Xti>tb（ui-1） >（ui- 用户界面-1)),对于t∈ {t，…，tN}。接下来，我们提出了b的一个最优选择，即它产生一个条件有效的估计量，即具有最小条件方差的估计量：定理3：给定一个鞅过程u和一些函数a∈ C这个过程的特定特性是什么，隐含特性[f（u，uT）]的条件有效估计量有一个一阶近似值，由b？（u） =-Ja（u）。如果该过程是一个离散过程，并且持续进行监控，则近似值是准确的。定理3给出了一阶近似值，该近似值随着实现特性的监测频率的增加而变得更加精确。近似误差对准确测量风险溢价的危害不如违反AP。

在大样本中，轻微违反（AP）可能会导致较大的累积偏差，而在频繁监测的大样本中，仅一阶近似的发现效率可能是可以接受的。4聚合已实现较高动量的示例首先，我们表明解（M）包含Neuberger[2012]发现的已实现方差和第三动量。为此，我们首先通过设置x以无限制的方式重新编写Neuberger的几何解集=y、 vλ，vη>和写入g（δx）=c、 cλ，cη>δx+ceδy- 1.+ cδvλ- 2δy+ c（δvη+2δy）eδy。接下来，我们定义对数契约和熵契约，即。Yt=Et【Yt】和Zt=Et【FTyT】。注意vλ=2（y- Y）和vη=2采埃孚- y.推论4：设u=（F，Y，Z）>并设a（u）=c+2cλ- 2cη、4c、2cηln F、Y、ZF>和b（u）=查阅-2cZF，-2cλ- 8cY，2cF>. Thenf（ur，us）=a（us）- a（ur）+b（ur）>（us- ur）=g（xs- xr），因此（APN）的解可以表示为（AP）的解。例如，设置c、 cλ，cη，c，c，c= (-2，0，0，2，0，0），使a（u）=-2 ln F和B（u）=F、 0，0>, 我们有f（ur，us）=λ（ys- yr），对应于Neuberger的对数方差（LV）。同样，设置c、 cλ，cη，c，c，c= (6, 0, -3.-12，0，3）产生a（u）=12 ln F- 6Z和b（u）=-12层-6ZF，0，F>, 然后我们有f（ur，us）=ρ（xs- xr）+τ（ys- yr），对应于纽伯格三阶矩（NTM）。在两个示例中，b（u）=b？（u） ，因此NTM和LV都大致有效。然而，在Neuberger【2012】和Kozhan等人的实证研究中。

【2013年】向量b是每月固定的，而不是按每日监测频率重新平衡，这使得估计器效率较低。在我们的符号中表达Bondarenko的广义和电价加权方差合同（第88页）是一项直接的任务，因为他的解决方案集对应于我们的单变量鞅情况。接下来，我们假设u包含一系列幂对数契约P（i）t=Et[yiT]，i≥ 单个基础F上的0。根据Carr和Madan[2001]的复制定理≥ 1这种有条件的期望可以用普通现金期权（OTM）表示为：P（i）t=yit+^R+γi（k）qt（k）dk，其中γi（k）：=i（ln k）i-2公里-2[我- 1.- ln k]和qt（k）表示一个香草OTMoption的时间-时间价格，具有罢工k和成熟度t。特别是，对于i=1，这将生成replicationportfolio Yt=Yt-\'R+k-原木合同的2qt（k）dk。那么，让我们=Y、 P（2），P（n）>并考虑规格a（u）=n(-Y）n+1-nXi=2n+1iP（一）(-Y）n+1-i、 （a）注意a（uT）=yn+1T，因为P（i）T=yiTandPn+1i=0n+1i(-1） n+1-i=0。然后，根据色度3，并使用P（0）=1以及P（1）=Y，隐含特征等于[f（u，uT）]=E[a（uT）]- a（u）=n+1Xi=0n+1iP（一）(-Y） n+1-i=E（年初至今）- Y） n+1（CM），这是对数返回分布的n+1st中心矩。对于n=1，我们有a（u）=Yand，使用定理3，b？（u） =-2Y，因此f（ur，us）=（Ys- Yr），原木合同价格的平方变化。这一特征与Neuberger几何解集中的CTEM相对应，它可以通过保持平方对数合约和从时间r到时间s缩短2年对数合约来复制。

在这里和下面，s- r=1/250，用于日常监测。请注意，Ytfrom期权价格的计算受到数值积分误差的影响，而LV可能仅通过直接观察基础价格得出。因此，对于方差风险溢价的无偏（且有效）估计，LV优于对数合同价格的平方变化。然而，在图1中，它们之间的差别很小。这里，我们将新的RV估计器与图1进行比较：我们的有效RV、Neuberger的LV以及s- r=1/250（每日监测），σ=20%（隐含波动率）。x轴对应于Ys-Yr，原木合同价格的变化。请注意，ys-yr=Ys-Yr+σ（s- r） 。已实现方差的现有定义，假设具有连续罢工的普通期权可以交易，因此可以使用Carr和Madan【2001】的复制定理合成对数合同。请注意，此图与其他模型无关，例如，它考虑了基础价格过程中的随机波动或跳跃。对于n≥ 2我们应用定理3推导对数收益分布的n+1st中心矩的一阶有效估计量，如：b？（u） =n（n+1）(-Y）n-nXi=2n+1i（n+1- i） P（一）(-Y）n-i、 ，（n+1）(-Y）！>。（b） 现在，我们利用这一点来定义一个新的实现的第三时刻，它不会解决与NTM相同的问题。更准确地说，我们寻求一个聚合三阶矩，其隐含特征正好对应于对数收益分布的第三个中心矩。

设置n=2 in（a）和（b）产生a（u）=-2Y+3P（2）Y以及b？（u）=6年- 3P（2），-3年>,因此（ur，us）=（Ys- 年）+3v（2）s- v（2）r（Ys）- Yr），（RTM），类似于Neuberger算术解集中的CTEM，但以对数合约而非远期价格为基础。可以通过持有一份立方原木合同以及6年的合同来复制薪酬- 从时间r到时间s的3P（2）rlog合同和做空3Yrsquaredlog合同。图2：RTM、Neuberger的NTM和立方日志返回（CONV）的比较，即（ys- 年），对于s- t=1/250（每日监测），σ=20%（隐含波动率）。注意vη≈ v（2）+v（3）/3，见Neuberger【2012】中的方程式14。然而，对于隐含三阶矩的合理（或确实不合理）值，NTM图没有显著变化，因此我们将v（3）=0设为隐含。同样，x轴对应于Ys- Yr=ys- 年-σ（s）- r） 。RTM产生于两个来源：原木合同价格的立方变化（即短期第三时刻）和原木合同变化与条件方差变化的乘积（即杠杆）。以Neuberger[2012]为例（第3430页，最后一段），如果F是连续采样的连续鞅，则三次项变为零，长期三阶矩的唯一剩余来源是杠杆。RTM和NTM都需要复制合成合同，因此会受到测量误差的影响。我们定义的优势在于，通过（CM），互换率正好对应于对数收益分布的第三个中心矩。在图2中，我们将两个实现的三阶矩测量值与立方对数回归（ys）进行了比较- yr），前提是可以交易具有连续罢工的普通期权，因此可以综合对数和平方对数合同。

预计RTM比NTM更接近立方日志返回（CONV）。请注意，当Ys- Yris为阳性，因为RTM中的第二个leverageterm为阳性；当Ys-Yris阴性。RTM和NTM之间的差异随着Ys的大小而增大-Yrand，对于较大的积极或消极变化，NTM远远高于传统的三阶矩。最后，我们在（a）和（b）中设置n=3，以获得a（u）=3Y的四阶矩特性- 6P（2）Y+4P（3）Y以及b？（u）=-12Y+12P（2）Y- 4P（3），6Y，-4年>, 因此（再次使用s- r=1/250用于日常监测）：f（ur，us）=（Ys- Yr）+6v（2）s（Ys- 年）+4v（3）s- v（3）r（Ys）- 年）。（RFM）直觉上，这一实现的第四时刻（RFM）来自三个方面：第一个是原木合同价格变化的第四次方（即短期第四时刻）；第二个是波动性聚集因素，第三个是杠杆率。与第三个矩一样，如果F是连续采样的连续鞅，则第一项为零。波动率聚类因子始终为正，并随着剩余到期时间的延长而减少（对于s=T，它为零）。如果杠杆因子为零时，对数价格的隐含分布是对称的，那么波动率聚类是峰度的唯一来源，如果监测是连续的。RFM可以通过持有第四份power log contracts和6年Squared log contracts并做空12年来复制- 从时间r到时间s，12P（2）rYr+4P（3）rlog合约和4yrcubed log合约。图3比较了我们实现的四阶矩特性与常规矩，即对数返回的四次方。