凝聚性及其在实现高阶矩中的应用

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英文标题：
《The Aggregation Property and its Applications to Realised Higher Moments》
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作者：
Carol Alexander and Johannes Rauch
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We develop a general multivariate aggregation property which encompasses the distinct versions of the property that were introduced by Neuberger [2012] and Bondarenko [2014] independently. This way, we classify new types of model-free realised characteristics for which risk premia may be estimated without bias. We focus on the aggregation property for multivariate martingales and log martingales, and then define realised third and fourth moments which allow long-term higher-moment risk premia to be measured, efficiently and without bias, using high-frequency returns.
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中文摘要：
我们开发了一个通用的多元聚合属性，该属性包含纽伯格（2012）和邦达连科（2014）独立引入的属性的不同版本。通过这种方式，我们对新类型的无模型实现特征进行了分类，对于这些特征，可以无偏差地估计风险溢价。我们关注多元鞅和对数鞅的聚集性，然后定义实现的三阶矩和四阶矩，利用高频回报可以有效且无偏差地测量长期高阶矩风险溢价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> The_Aggregation_Property_and_its_Applications_to_Realised_Higher_Moments.pdf (849.11 KB)

2022-6-1 09:54:47 上传

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关键词：Multivariate Applications Quantitative Aggregation martingales

聚集特性及其在实现高动量中的应用Scarol Alexander和Johannes Rauch*2017年9月26日摘要我们开发了一个通用的多变量聚合属性，该属性包含纽伯格（2012）和邦达连科（2014）独立引入的属性的不同版本。通过这种方式，我们对新类型的模型自由实现特征进行分类，对于这些特征，可以无偏差地估计风险溢价。我们关注多元鞅和对数鞅的聚集特性，然后确定实现的三阶矩和四阶矩，这允许使用高频回报高效且无偏差地测量长期高阶矩风险溢价。关键词：聚集性、高阶矩、风险溢价*英国苏塞克斯大学商业、管理和经济学院。卡罗尔·亚历山大：c。alexander@sussex.ac.uk; 约翰内斯·劳赫：j。rauch@sussex.ac.uk.The金融聚集性是指在离散化特征测量时间间隔的情况下，实现特征的预期值的不变性。也就是说，无论用于监视实现特性的分区是什么，预期值都保持不变。例如，如果远期价格fti是某个测度下的鞅，那么直到时间T的远期价格平方变化之和的期望值（在该测度下）与采样频率无关。特别是，预期值相同，并且等于（FT）的预期值- F） –是否在间隔[0，T]内连续、每小时、每天或每周监测变化。间隔的部分甚至不需要是一个规则的部分。实现方差的标准定义——平均平方对数回报率——不满足聚合特性。

因此，差异风险溢价是有偏差的，其衡量标准是实物衡量下的实际差异与期权价格隐含的差异之间的差异。同样，传统方差掉期的理论公允价值只能近似计算，因为浮动段（变现方差）计算为每日对数回报的平均平方，而理论值假设掉期受到持续监控。因此，市场掉期利率可能远远超出无套利范围，尤其是在危机期间，即交易非意愿产品增加时。例如，在2008年金融危机期间，标准普尔500指数（标准普尔500指数）的方差掉期通常比芝加哥期权交易所波动率指数（VIX）确定的公允价值高出5%或更多——参见Ait Sahaliaet al.（2015）和Konstantinini and Skiadopoulos（2016）。方差掉期（及其交易所交易衍生品）市场很大，因为它们是分散投资组合和转移波动风险的优秀工具。因此，有关方差互换率中各种离散化和模型相关错误的文献相当多。它们于20世纪90年代被引入场外交易市场【Demeter fi等人，1999年】，其期货、期权、票据、基金和其他衍生品目前正在大多数大型交易所积极交易，需求来自于它们作为多元化者、对冲工具或纯粹为了投机的角色，如Alexander等人【2015年】所述。目前，芝加哥期权交易所（CBOE）的数据显示，VIX期货合约沙龙（VIX futures ContractsSalone）和全球证券交易所每天的名义交易额为30亿至60亿美元，即使是小投资者也可以买卖100多种与波动性期货相关的上市产品。

其中最受欢迎的是巴克莱的VXX票据，其市值约为1万亿美元。如果重新定义实现的方差，使其满足聚合属性，则在无风险的最小假设下，存在一个准确的、无模型的公允价值方差互换率。此外，无论floatingleg的监测频率如何，都适用相同的比率。对浮动段的预期是路径独立的，即使投资者对不完整市场中的跳跃风险有不同的看法，他们仍然会同意公允价值互换利率。此外，通过使用Carr和Madan【2001】的复制定理，公允价值互换率可以用标的期权表示。出于对满足聚合属性的更一般方差特征的探索，Neuberger【2012】和Bondarenko【2014】分别为该属性提供了不同的定义。我们不可能从另一个角度来写一个，但我们的论文介绍了一个包含这两个定义的一般聚合属性，每个属性都有不同的特例。对于多元鞅和对数鞅，我们描述了一类满足这一性质的新的实现报酬，包括价格变化或对数回报的更高时刻的新定义。Neuberger【2012】定义的聚合特性（APN）如下：给定标准过滤概率空间上的自适应随机过程xT和实值函数g（x），该对（g；x）满足APN效应[g（xT- xr）]=Er[g（xs- xr）]+Er[g（xT- xs）] 0≤ r≤ s≤ T、 （APN）式中，表示在时间T的过滤条件下，在某种概率度量下的期望。将塔式条件期望定律应用于（APN）屈服强度“NXi=1g（δxi）#=E[g（xT- x） ，对于任何分区{0=t<t<…<tN=t}，其中δxi=xti-xti公司-1.

也就是说，如果APN持有定价措施，则左侧的已实现特征与右侧的路径独立支付具有相同的市场价格。当x=F是单个可交易资产的远期价格时，满足（APN）的唯一函数是g（δF）=δF和g（δF）=（δF），其中δF表示F的增量。然而，Neuberger【2012】关注两种双变量情况：“算术”情况下，x=（F，v）>，其中vt是FT的条件方差；“几何”情况下，x=y、 vφ>, 其中，y=ln F表示对数远期价格，vφ表示某种“广义”方差过程（本文稍后定义）。这使他能够找到新的二阶矩，与sumof平方对数返回不同，二阶矩满足（APN）。他还找到了三分之一的时间点，并利用这一时间点从每日对数收益的观察中推断出长期收益分布的偏斜性。他最后说“[……]如果能够将分析扩展到高阶矩，那也会很好。这并不简单。”我们的广义聚集属性（AP）产生了一个完整的特征向量空间，该向量空间满足AP，包括允许测量更高的矩风险溢价的特征，而不存在因采用标准矩定义时的离散化和跳跃而产生的偏差。Bondarenko【2014】引入了一种聚合属性（APB）的替代版本，该属性基于一元过程XT和C函数h中的级别而非增量：R×R→R、 他将属性声明为：Er[h（xr，xT）]=Er[h（xr，xs）]+Er[h（xs，xT）] 0≤ r≤ s≤ T、 （APB）他证明，如果x=F是鞅（例如。

a远期价格），APB的解决方案由h（xr，xs）=a（xs）给出- a（xr）+b（xr）（xs- xr）对于某些实值函数a和b，a部分对应于普通解，因为h（xr，xs）=a（xs）- a（xr）满足任何过程x的apb。b部分取决于鞅假设，并在期望值以下消失。在单变量情况下，APB比APN更一般，因为如果等式（5）p.3430用于算术情况，命题6，p.3435用于几何情况。Kozhan等人【2013年】使用相同的实现时刻来分析股票指数中（现在无偏）方差和偏斜风险溢价之间的关系，发现它们密切相关。Bondarenko【2014】进一步研究了b=-a、 见方程式11和推论1。施耐德（Schneider）和特洛伊尼（Trojani）[2015]的等式4中也出现了这组受限函数，其背景是实际的分歧。配对（g；x）满意度（APN），然后h（xr，xs）=g（xs- xr）满意度（APB）。然而，Bondarenko【2014】将向量过程的更一般情况留给了未来的研究，这也是我们论文中的内容。下文：第一节简要总结了传统方差掉期的背景文献；第2节回顾了Neuberger【2012】和Bondarenko【2014】的结果，并定义了我们的符号；第3节介绍了我们关于一般聚集性质的理论结果，描述了相关风险溢价的无偏估计量的整个向量空间，然后考虑了这些估计量的效率；第4节选择了一些与高阶矩相对应的聚合已实现特征，重点是新的无偏和有效的已实现三阶和四阶矩，以获得对数回报，第5节得出结论。

所有证据见附录。1方差掉期的背景PSA传统的到期方差掉期将实现的方差（RV）定义为掉期期限内某些基础资产的平均每日对数收益平方（averagesquared daily log return）。公允价值掉期利率的计算是在假设定价措施是唯一的情况下进行的，并且：（a）持续监控浮动段；（b） 标的证券的远期价格遵循一个纯粹的差异化过程；（c） 与掉期到期日相同的标的普通期权在连续的罢工中进行交易。然后，从这些期权的市场价格中推导出一个唯一且精确的公允价值掉期利率，该利率在假设（a）下成为原木价格的预期二次变化（QV）。然而，在现实世界中，这些假设都不成立。Carr和Wu【2009】讨论了理想化的情况（a），其中RV成为原木返回的QV。然后，假设底层遵循一般的跳跃-分化过程，他们应用Carr和Madan[2001]的复制理论来证明E[QV]=2'R+k-2q（k）dk+ι，如Harrison和Kreps【1979年】所述，在无套利市场中，预期薪酬可采用arisk中性指标计算。在一个完整的市场中，代表投资者的风险中性指标对应于一个独特的市场隐含指标，见Breeden和Litzenberger【1978年】。定价措施下的预期，q（k）表示行使k和到期T的普通货币期权（OTM）的价格。当基础价格遵循（b）中的纯微分时，跳跃误差ι为零。关于假设（c），在实践中，积分必须使用实际交易的普通期权进行数值计算。Jiang和Tian【2005】解决了与此假设相关的问题，并推导出了所谓“截断误差”的上界。

Davis et al.（2014）还基于有限数量的交易罢工，推导出了连续监测的方差Swap利率的无模型套利界限，并声称市场利率惊人地接近下限。公允价值掉期利率的一个主要误差来源于假设（A），因为必须在离散时间内监控浮动段。该“离散监测”错误可写为ε=E[RV- QV]。然后，在Carr和Wu【2009】的一般跳跃差异设置中，实现差异的公允价值互换率可能为writtenE【RV】=2'R+k-2q（k）dk+ι+ε。关于这些定价错误有大量研究：Carr和Lee【2009】证明离散监控误差ε与收益的第三时刻有关；Jarrow等人【2013年】研究了离散监控掉期利率与其连续监控掉期利率的收敛性，得出了ε的界限，该界限随着监控频率的增加而变得更紧；Bernard等人【2014】概括了这些结果，并为ε的签署提供了条件；Hobson和Klimmek【2012】推导了ε的模型自由边界；Broadie和Jain【2008年】推导了各种随机波动率差异和跳跃模型下离散监测方差掉期的公允价值掉期利率，声称对于最现实的合同规格，ε小于违反假设（b）导致的误差；Bernard和Cui【2014】通过考虑ε的渐近展开，将其分析扩展到更广泛的过程。最后，Rompolis和Tzavalis【2017】推导了跳跃误差ι的界限，并通过模拟和实证研究证明，价格跳跃会导致系统性负偏差，这在出现大幅向下跳跃时尤为明显。然而，通过这一系列研究，Neuberger【2012】和BondarenkoWhen k≤ F期权是看跌期权，当k>F时，期权是看涨期权。

这种分离选择在方差交换文献中是标准的，例如Bakshi等人【2003年】。【2014年】提供了一类新的广义差异合同，只要基础价格遵循鞅，就可以精确复制浮动段。复制策略包括标准期权的静态投资组合和基础资产的动态交易策略。在这些合同中，差异敞口也会随着市场条件的变化而变化，例如随着基础价格水平的增加而增加。确定这些合同的关键是聚合属性。2聚合属性莱特xt∈Rnfor t公司∈ [0，T]表示标准过滤概率空间上的多元自适应过程，并考虑向量值函数u:[0，T]×Rn的导数过程ut=u（T，xt）→Rnas以及实值函数f:Rn×Rn→R、 该设置允许纽伯格（2012）和邦达连科（2014）在单一定义中统一聚集属性，如下所示：Er[f（ur，uT）]=Er[f（ur，us）]+Er[f（us，uT）] 0≤ r≤ s≤ T、 （AP）我们的聚合属性（AP）是对（f；u）上的一个联合条件。对其中一个进行强有力的结构假设，可以为另一个提供更大的灵活性。例如，如果f（ur，us）=a（us）- a（ur）表示某个函数a:Rn→R、 所有过程u都是一个解决方案；如果u是常数，那么f（u，u）=0的所有f都是解。如果（AP）适用于（f；u），则根据塔式期望定律se“NXi=1f（ui-1，ui）#=E[f（u，uT）]，（E）对于所有分区{0=t<。继Neuberger【2012】之后，（E）的解释取决于测量值：如果（AP）在物理测量值下保持不变，则pni=1f（ui-1，ui）是[0，T]的任何分区的e[f（u，uT）]的无偏估计量。

如果（AP）在定价措施下成立，那么paysPNi=1f（ui）的持续索赔的公平价格-1，ui）与支付f（u，uT）的或有索赔的价格相同。在存在或可从其他索赔中综合该或有索赔的额外假设下，可以从市场中得出公平的价格。我们的（AP）比（APB）更一般，因为我们考虑了一个多元（不一定是鞅）导数过程，而比（APN）更一般，因为我们的函数定义在分区中某个区间开始和结束时的水平上，而不是在连续区间上增加δ。事实上，通过将状态空间的大小增加一倍，就可以用（APN）来写（APB）。也就是说，设置x=（F，y）>，y=ln F，我们可以写eg（δF，δy）=hδFeδy- 1，δF eδyeδy- 1., δF，δy 6=0。然而，诱导函数g被错误定义为δF，δy→ 0，即使h是多项式或其他性能良好的函数。因此，（APN）不包括（APB）。显然（APN）是（AP）的特例，其中f（ur，us）=g（xs- xr）。Neuberger【2012年】描述了当x是双变量且第二个分量是第一个分量的传统期望时（g；x）到（APN）的解，其中过程具有隐式依赖结构。First Neuberger【2012】考虑了算术情况x=（F，v）>，其中vt=Et（英尺- 英尺）, 求出解g（δx）=（c，c）>δx+c（δF）+c（δF）+3δFδv,其中δx表示x和ci中的增量∈R、 我∈ {1, . . .