凝聚性及其在实现高阶矩中的应用

通过（CM），前者被构造为：精确地对应于捕获对数收益的第四个中心矩的隐含矩；满足AP，从而成为任何监测频率下实现的四阶矩的无偏估计器；在高频监测下成为这些无偏估计器中最有效的。我们认为，它比传统的图3具有更好的特性：RFM与对数回归四次方（CONV）的比较，即（ys- 年），fors- r=1/250（每日监测），σ=20%（隐含波动率）。对于隐含三阶矩的合理（或确实不合理）值，RFM图没有显著变化，因此为简单起见，weset v（3）=0。同样，x轴对应于Ys- Yr=ys- 年-σ（s）- r） 。ment不满足AP，因此不允许从短期观测推断长期四阶矩的值。我们从图中注意到，我们的四阶矩定义与传统定义之间可能存在巨大差异，并且这种差异随着| Ys的增加而增加- 年|。5结论一般性质包括两个聚集性质，Neuberger【2012】和Bondarenko【2014】分别作为不同的例子介绍了这两个聚集性质，前者对应于一个特定的二元函数，后者是我们一般性质的一元鞅情形。我们的初始结果并不局限于鞅或evento-log鞅，但在这些情况下，我们能够定义新的聚合特征，这些特征正好对应于更高的对数回报矩。要估计风险溢价，需要考虑交易期权中隐含的风险中性特征与物理测量中实现的特征之间的差异，物理测量通常来自高频历史数据。

但是，如果RealizedCharacteristic不满足聚合属性，风险溢价估值器将有偏差，就像标准方差风险溢价估值器一样。此外，aggregationproperty允许我们推导出与监测频率无关的实现特征的无偏估计量。除非估计器满足聚合特性，否则无法从短期观察中推断出长期溢价的准确值。虽然无偏特性与监测频率无关，但也需要考虑效率。否则，即使估计器无偏，在返回时观察到的单个历史时间序列也可能偶然产生一个与预期相差甚远的已实现矩估计。因此，在高阶矩无偏估计量的向量空间中，我们得出了最有效的估计量，即条件方差最小的估计量，其中所选估计量的效率随监测频率的增加而增加。我们希望这为进一步的研究制定议程。例如，基于我们的三阶和四阶矩特征，对高阶矩风险溢价的决定因素进行实证检验，可能会得出与之前研究不同的结论。特别是，Kozhan等人【2013年】扩展了Carr和Wu【2009年】、Eglo off等人【2010年】和其他人关于方差风险溢价决定因素的工作，只是得出结论，第三时刻风险溢价与方差风险溢价高度相关。然而，与纽伯格（Neuberger）[2012]发现的聚合第三时刻不同，我们的特征可能与隐含分布的第n个中心时刻完全对应，确实产生了分散的风险溢价。这一发现对于寻求新的可交易风险形式的金融从业者来说非常重要。参考文献。Ait Sahalia，M。

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（5） 在（2）中插入（3）、（4）和（5），并注意到随机积分w.r.t.dw在期望下消失，因为w是鞅，yieldsEr^Tsn^J>tλt+tr∑>t>t^Htt∑todt公司= 0。（6）现在我们将（4）重新写入两项，第一项αt包含独立于∑t∑>的参数，第二项（跟踪）包含其余参数。例如，utdepends为了表示法的简洁性，我们省略了^J和^H对r和s的依赖性，因为我们稍后将看到，它只是对t的依赖性，这与我们的证明有关。当XT是对数鞅时，∑t∑>t上，但当XT是鞅时，它为零。（3）中漂移项的这种新分解的原因是，我们希望在远离中选择参数，以便于推导（f；u）满足（AP）的必要条件。因此，写入λt=αt+tr公司∑>tB1t∑t, . . . , tr公司∑>tBnt∑t>, （7） 其中αt=α（t，xt）∈r我们可以假设w.l.o.g.位=Bi（t，xt）∈Rn×Naressymmetric矩阵，对于i∈ {1，…，n}。接下来，我们证明了非平凡解的出现i ffα=0。也就是说，产生非平凡解的唯一非零漂移λt必须依赖于∑t∑>t，例如，当uis是对数鞅时。要查看此信息，请在（6）中插入（7），以获取^Tsn^J>tαt+tr∑>tn^J1tB1t++^JntBnt+>t^Ht至∑todt公司= 0，（8）其中^J=^J，^Jn>. 现在考虑光谱分解^J1tB1t++^JntBnt+>t^Htt=WtVtW>t，（9），其中Vt∈Rn×nis特征值和Wt列的对角矩阵∈Rn×nContain对应的特征向量，这些特征向量通过定义是正交的，因此W>tWt=I（矩阵恒等式）。现在，我们在差异中设定了特定的漂移和特定的波动性。对于波动率，我们假设∑t=σexpξWtVtW>t= σWtexpξVtW> t，（10）对于某些实ξ和σ≥ 0

对于漂移，我们假设αt=α^Jt，（11），这是因为它们只出现在跟踪操作符中，如果比特不对称，我们总是可以找到另一个对称矩阵，其跟踪与∑>tBit∑t相同∈R、 将（9）、（10）和（11）插入（8）中，使用ingleibnitz规则对w.R.t.和ξ进行微分，并应用迹算子的循环性质得到αErh^J>t^Jti=0和σErtr公司Vtexp{ξVt}= 注意，^J>t^Jtis中的每个术语≥ 因此，αErh^J>t^Jti=0=> α=0或^Jt=0，或两者兼而有之；类似地，tr（Vtexp{ξVt}）中的每个项是≥ 因此，σ=0或Vt=0，或两者兼而有之。设置σ=0对应于确定性过程，且^Jt=0产生平凡解f（ur，us）=a（us）- a（ur），因为f（u，u）=0表示所有u∈注册护士。因此，我们假设α=0，σ>0，这意味着αt=0，Vt=0，对于所有t。首先，我们表明条件Vt=0意味着（PDE I）。要看到这一点，请在（9）中插入Vt=0以产生：^J1tB1t++^JntBnt+>t^Htt=0。（12） 重新排列（12），设置Cit=->t型-1比特-1t，定义为对称，产生^Ht=-^J1tC1t- . . . -^JntCnt。扩展^H和^J yieldsH（ur，ut）-nXi=1Ji（ur，ut）Cit=H（us，ut）-nXi=1Ji（us，ut）Cit。换句话说，右侧（和左侧）的表达式仅取决于ut，而不取决于urorus。因此，必须有一些函数a∈ C其满意度（ur、ut）-nXi=1Ji（ur，ut）Cit=Ha（ut）-nXi=1Jai（ut）Cit.然后（PDE I）遵循设置t=s:H（ur，us）- Ha（us）=nXi=1{Ji（ur，us）- Jai（美国）}Cis。注意，XT可以表示为utif的函数这是可逆的，上述方程的l.h.s.仅通过ut取决于t，因此Cit=Ci（ut）。最后，设置αt=0in（7），替换位=->tCit公司t、 将其与（4）相等，得到（PDE II）。推论1的证明：定义=u（s，xs）+^sttr公司Σ>τ>τC1ττΣτ, . . . , tr公司Σ>τ>τCnττΣτ>dτ，因此yt=u（t，xt）。

根据它的引理，dys=dus+tr公司∑>s>SC1系列s∑s, . . . , tr公司∑>s>SCNs∑s>ds。用αs=0代替dususing（3）和（7）， s、 收益率dys=s∑sdws，即ysis amartingale。Henceyt=Et【yT】=Etψ（xT）+^Tttr公司Σ>τ>τC1ττΣτ, . . . , tr公司Σ>τ>τCnττΣτ>dτ= u（t，xt），其中我们替换了边界条件u（t，xt）=ψ（xt）。定理2的证明需要以下引理：设Ci=QDiQ>和pni=1Ci=（C1，…，Cn1）。然后alsonXi=1Ciki=（Ck，…，Cnk）=C> k，C> nk公司>,对于所有k=（k，…，kn）>∈ 注册护士。也就是说，三阶张量（C，…，Cn）是对称的。引理的证明：设Q=（Q，…，qn）>和Di=diag（Dqi）。很明显，D是存在的，如果C是线性独立的，它是唯一的。结合PNI=1Ci=（C1，…，Cn1）yieldsnXi=1Q诊断（Dqi）Q>=Q诊断（Dq）Q>1，Q诊断（Dqn）Q>.自诊断（Dqi）Q>1=诊断Q>Dqi我们有D=nXi=1诊断（Dqi）诊断Q>-1=诊断（D1）。因此D必须是对角线。ThennXi=1Ciki=nXi=1Q diag（Dqi）Q>iki=Q diagDQ>k（诊断{q}1，…，诊断{qn}1）=Q诊断（Dq）Q>k，Q诊断（Dqn）Q>k= （Ck，…，Cnk），我们使用该诊断DQ>kdiag（qi）=diag（Dqi）diagQ> k级. 最后，由于是对称的，我们有（Ck，…，Cnk）=C> k，C> nk公司>.定理2的证明：首先注意所有i和t的对称citConvert=QDitQ>。见Horn和Johnson【1985年】，第52页。然后我们得到了m w.r.t.u分量的一阶和二阶偏导数：Jm（ut）=exp（nXi=1^uitCi（u）dui）=nYi=1exp^uitCi（u）dui,Hmi（ut）=CitJm（ut）=Jm（ut）Cit.现在考虑u1s，uns公司>{J（乌尔，美国）- Ja（美国）}>Jm（美国）-1.=H（ur、us）- Ha（美国）- {J（乌尔，美国）- Ja（美国）}>（C1s。

，Cns）Jm（美国）-1=H（ur，us）- Ha（美国）-nXi=1{Ji（ur，us）- Jai（美国）}Cis！Jm（美国）-1=0，我们在第二行应用引理，在第三行应用（PDE I），因此{J（ur，us）- Ja（美国）}>Jm（美国）-1=b（ur）>，对于一些不同的b:Rn→Rn（注意b（u）=J（u，u）- Ja（u））。集成收益SF（ur，us）=a（us）- a（ur）+b（ur）>{m（us）- m（ur）}，这里我们使用了f（u，u）=0。我们可以假设w.l.o.g.a（0）=0。此外，适用于m yieldsdm（ut）=Jm（ut）dut+Jm（ut）（tr{C1td huit}，…，tr{Cntd huit}）>=Jm（ut）t∑tdwt，因此m是一个多元鞅。推论2的证明：注意m（ut）=^utexp（nXi=1Ciui）du=nXi=1Ciki！-1exp（nXi=1Ciuit）- 我k、 （13）对于某些k s.t.Pni=1Cikiis可逆。首先，我们假设w.l.o.g.k=1，thereforem（uT）=nXi=1Ci！-1exp（nXi=1Ciψi（xT））- 我现在m是鞅，我们有m（ut）=Et[m（ut）]，即m（ut）=nXi=1Ciki！-1Et“exp（nXi=1Ciψi（xT））- I#1。（14） 其次，由于引理的作用，我们可以将u写成m的函数，而不是相反，使用（13）的等价表达式，即ut=nXi=1Ci！-1lnI+nXi=1限制！1，（15）其中1的选择也是任意的。最后，在（15）中插入（14），并再次使用引理yieldsu（t，xt）=nXi=1Ci！-1lnEt“exp（nXi=1Ciψi（xT））#！1，满足边界条件uT=ψ（xT）的鞅的对数。推论3的证明：我们可以导出（M）作为Ci的极限→ 或者，直接从定理1中的（PDE I）得到。对于前面的推导，考虑解f（ur，us）=a（us）的一阶泰勒展开式- a（ur）+b（ur）>nXi=1Ci！-1nXi=1Ci（uis- uir）1+OnXi=1Ci!,其中，Pni=1在b项中表示出来（应用引理后），更高阶的值表示为Ci→ 0，i=1，n、 对于后一种推导，请注意，将OREM 1中的所有CI设置为0会产生H（ur，us）=Ha（us）。

然后是乌苏尔^uturdu>sH（乌尔，美国）dut=^usur^uturdu>sHa（美国）dut和积分收益率^usur[J（ur，ut）- J（ur，ur）]>dut=^usur[Ja（ut）- Ja（ur）]>dut。再次积分上述值，并使用f（u，u）=0得到解f（ur，us）=a（us）- a（ur）+b（ur）>（us- ur），其中b（u）=J（u，u）- Ja（u），so b:Rn→RN必须是可区分的。最后，对于i=1，…，设置cit=0，推论1中的n产生ut=Et[ψ（xT）]。定理3的证明：对于t∈ {t，…，tN}我们对最小化表达式很感兴趣（NXi=1f（ui-1，ui）-Et“NXi=1f（ui-1，ui）#）=Et公司（a（uT）-Et[a（uT）]+Xti>tb（ui-1） >（ui- 用户界面-1))=Et公司a（uT）-Et[a（uT）]+2Xti>TETA（uT）b（ui-1） >（ui- 用户界面-1） i+Xti>tEtnb（用户界面-1） >（ui- 用户界面-1） o=Et公司a（uT）-Et[a（uT）]+2Xti>TETB（ui-1） >Eti-1[a（uT）（ui- 用户界面-1） ]i+Xti>TETB（ui-1） >Eti-1h（ui- 用户界面-1） （用户界面- 用户界面-1） >ib（ui-1） i=Eta（uT）-Et[a（uT）]+Xti>tEth2b（ui-1） >ωi-1+b（ui-1)>Ohm我-1b（ui-1） i，带ωi-1=Eti-1[a（uT）（ui- 用户界面-1） ]和Ohm我-1=Eti-1h（ui- 用户界面-1） （用户界面- 用户界面-1） >i.对b（ut）的分量求导数，并将结果设为零，则得到b（ut）=-Ohm-1tωt.二阶导数w.r.t.b对应于Ohm 只要ψ的分量线性独立，则为正有限。因此，我们找到了一个最小值。假设u遵循动力学dut=t∑tdwtand，对于一些r<s，考虑ωr=Er[（Et[a（uT）]-Er[美国（uT）]）（美国- ur）]，以及Ohmr=Erh（美国- ur）（美国- ur）>i.然后，作为r→ s（连续监测），我们有Ohmt=d huitandωt=d huitJa（ut）（使用thatdEt[a（ut）]=Ja（ut）>dut），因此b（u）=-Ohm-1ω = -Ja（u）。或者，也可以从一阶泰勒展开中获得相同的结果。

要看到这一点，考虑f（u，u+δu）={Ja（u）+b（u）}>δu+O|δu|, 注意，对于b（u）=-Ja（u）。推论4的证明：在（M）yieldsf（ur，us）中插入u、a和b的规格=c+2cλ- 2cη（ln Fs- ln Fr）+4cYs公司- 年+ 2cηZsFs公司-ZrFr公司+cFr-2cZrFr（Fs）- Fr）+-2cλ- 8cYr公司（Ys）- Yr）+2cFr（Zs- Zr）=c（ys- yr）+2cλ（ys- 年- Ys+Yr）+2cηZsFs公司-ZrFr公司- 年+年+总工程师-年（eys）- eyr）+4cYs公司- 2年（Ys- 年）- 年+2cFrZs公司- 锆-ZrFr（Fs- Fr）= c（ys- yr）+cλvλs- vλr+ cη（vηs- vηr）+ceys公司-年- 1.+c（2年- 2年）+c2ZsFs-2ZrFreys公司-yr=g（xs- xr）。