卖空条件下资产价格收敛的无套利规则

Girsanov的理论认为：Xt=mPt+ZTZ-dhX，Zi（FX，QX）sSOME无套利规则，用于汇合资产价格，其中mPis an（FX，P）-本地定价。因此，过程X是一个特殊的半鞅FX。我们研究了更大过滤G中的情况，并指出它足以证明MPI是一个特殊的（G，P）-半鞅。过程mPis是a（G，P）-半鞅（X为1）。此外，sups≤t | mPs |是（FX，P）-局部可积（mPis a（FX，P）-局部鞅，因此我们使用定理34p。因此它也是（G，P）-局部可积的（FX停止时间是Gstopping时间）。这又意味着mPis a（G，P）-s特殊半鞅（Theorem33 P.130 in[20]）证明了结果。定理3.4。假设（X，Y）满足（NFLVR-S）。如果E[文本]<∞, 那么这里存在的jx和wx都是P（G）和a（G，P）-l局部市场MX，MX=0，因此对于任何≤ T:Xt=X+JXt+ZtwXudhMXiu+MXt。（2） 如果X是FX可预测的，则进程JXis为null。一般来说，过程jxsaties JX=0，是递减的，而dJXis相对于dhMXi是单数的。证据鉴于提案3.3，存在一个（G，P）-局部鞅mx和一个细分，G-可预测过程VX，例如：Xt=X+VXt+MXt。我们可以编写VXt=RtwXudhMXiu+JXt，其中dJXis是相对于dhMXi奇异的有符号度量（即，dvx相对于dhMXi的Lebesgue分解；参见p pendix a中的命题a.3）。为了证明JXis是一个递减过程，我们使用了Girsanov定理和附录a中的定理a.1。更精确地说，让P是X的等价G-超鞅测度。根据Girsanov定理，X的分解由以下公式给出：X=X+（JX+DX）+MX，其中MX是（G，P）-鞅和：（i）dDX<< dh MXi。

因此，ddx和dJXare或hogonal。（ii）过程JX+~dx正在减少。上述两点表明，jx和dx都在减小（定理A.1（b）），亨塞陈述。让我们假设X是FX可预测的，因此是连续的（因为X也是（FX，QX）局部鞅）。然后，[X]=hMXi，并且过程X具有与hMXi相同的恒常区间。因此，JX≡ JX，即始终为空。8 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEAN BLANCWe强调了定理3.4中的e，（NFLVR-S）和e[YT]<∞ 对Y进行分解（带有明显的符号）：Yt=Y+JYt+ZtwYudhMYiu+MYt。（3） 我们考虑以下两个价格趋同的例子。示例3.5。设带Bbe为两个独立的P-布朗运动，分别具有各自的自然过滤Fan和F；假设θ是一个Fstopping时间，θ是一个Fstopping时间（因此，它们是可预测的），两者都被认为具有绝对连续的分布函数，表示为Cand C，并且满足C（T）<1，C（T）<1。计划在固定到期日T支付以下款项：ξ=11{θ>T}+11{θ≤T}。我们考虑以下距离增量信息集：Gt：=Ft∨ σ（t∧ θ） ，Gt：=英尺∨ σ（t∧ θ).我们假设相应的价格为Xt=P（ξ| Gt）和Yt=P（ξ| Gt）。我们有以下Gmartingales，t≤ T：P（θ>T | Gt）=11{θ>T}P（θ>T）P（θ>T）=11{θ>T}1- C（T）1- C（t）（见[8]中的位置1），和：P（θ≤ T | Gt）=P（θ≤ T | Ft），（因为θ独立于θ），即最后一个过程是布朗鞅。我们推断，索赔ξ的修正价格分解如下：Xt=X-Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s} +Zt∧θ(1 - C（T））d（1- C（s））-1+MXt，其中MX=P（θ≤ T | F·）- P（θ≤ T）。类似的论点导致以下价格：Yt=Y+Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s}-Zt公司∧θ(1 - C（T））d（1- C（s））-1+MYt，MY=P（θ>T | F·）- P（θ>T）。可以检查：FX=G，FY=G，而内部过滤是G=F∨ F（即（B，B）的自然过滤）。

因此，mx和myg也是G鞅。根据上面的讨论，它们是布朗鞅。因此，hMXi和hMYi是一些关于Lebesgue测度收敛资产价格9a绝对连续的无套利规则。我们推断X在（2）中分解，Y在（3）中分解，其过程为jx：=-Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s}JY公司：=Zt1- C（T）1- C（s）d11{θ≤s}G-可预测。由于e ji是一个递增过程，我们通过定理3.4得出结论，即价格过程Y不尊重（NFLVR-S）内幕人士。实际上，θ是一个预定的存储时间，内幕人士可以在θ时购买资产Y-然后在时间θ转售，从而获得一个货币单位的套利利润。示例3.6。让我们考虑独立于布朗运动的正随机变量D的布朗运动B的击中时间：TD=inf{t≥ 0 | Bt≥ D} 。在Ft给出的过滤F中：=σ（TD∧s、 s≤ t） 我们得到，对于相应的F-强度过程，TDis a total ly incessib leF stopping time：c（t）={TD>t}P（TD>t）Z∞fx（t）dFD（x），其中FD（x）i是D的分布函数，fx（t）是命中时间Tx的密度函数。我们表示Ht：=11{TD≤t}-Rtc ds是一个F-mar组织。让我们假设价格过程X由正的局部marti ngale X=XE给出(-H） ，ithat is，it saties:Xt=X-ZtXs公司-国土安全部。我们可以注意到FX=F。为简单起见，我们不引入第二种资产，而是将重点放在Gt=FX给出的较大过滤G中X的动力学上∨ σ（Bs，s≤ t） 。我们将∧G表示为TD的G-补偿器，因此过程：HGt：=11{TD≤t}- ∧Gtisa mar tingale。

可以（使用[8]和事实）显示σ（Bs，s≤ t） 对于布朗运动的runningsupremum生成的测度，∧gS绝对连续：∧Gt=Zt∧TDdP（TD>s | FBs）P（TD>s | FBs）=-Zt公司∧TDdFD（Ss）1- FD（Ss）=- ln FD（St∧TD），10 DELIA COCULESCU和MONIQUE Jeanblancu，其中Fb是布朗过滤，S是B的运行上确界。X的G分解使用H=HG写入-Rc（s）ds+λG:Xt=X+ZtXsc ds-ZtXsd∧Gs-ZtXs公司-dHGs。利用定理3.4，我们确定MXt=-RtXs-dHGs。我们已经在上面证明了dhMXiis相对于dS是绝对连续的。因此，JXt=Rtc（s）ds，因为Lebesguemeasure与ds正交。由于JXis增加，从定理3.4我们得出结论，存在套利机会，即（NFLVR-S）失败。在这里，一个目标策略很容易被G知情的投资者实施：当布朗运动严格低于其运行最大值时，在TDT之前的任何时候购买资产，并在其再次达到最大值之前的任何时候出售资产。在这些时间间隔内，价格过程X正急剧增加；所述套利策略的表现与资产X的持有期成严格的正比例。4。关于超鞅测度存在性的结果在本节中，我们研究了两个价格过程X和Y的特定G-超鞅测度的存在性，我们将其称为（X，Y）的基本超鞅测度。

该对象将发挥重要作用，因为当无法构造此su PERMATINGALE度量时，系统套利机会就会出现。可以方便地将一个特定的G-超马丁系数（G-Supermartingalmeasure）作为X的基础概率度量，对于模拟度，我们仍然称其为P，因此在过滤概率空间中(Ohm, G、 G，P），这两个资产有以下表示：X=X+JX+MX，（4）Y=Y+VY+MY，（5）MX和MYbeing（G，P）-局部平方可积的局部鞅，MX=MY=0，因此过程vyi是一个有限变量，G-可预测过程。过程JXis被认为是递减的，测量dJXis与hmxi正交。请注意，（4）中的分解与（2）中的分解不同。在前面的章节中，pw是一种任意概率度量（相当于qx和QY）。在这一节中，P是X的一个特殊等价的超鞅测度，使得X精确地分解为asin（4）。假设存在这样一个X的超鞅测度，这是构建这对夫妇（X，Y）的基金基本超鞅测度的第一步。我们将鞅MYas：MY=M+M组合成一些无套利规则，以使资产价格11与M收敛∈ S（MX）和M∈ S（MX）⊥因此，我们可以为某些进程h编写Mas:Mt=ZthudMXu，（6）∈ 假设具有正确的连续采样路径。我们需要以下额外的d成分：o在（5）中所述的Y的可预测、有限变化部分分解为：VY=A- a、 （7）式中，a和a是在相同集合上不增加的递增过程（即dA和dA是正交测度），a=a=0此外，过程A总是可以（且唯一）写成两个其他递增过程的和：A=A+A，其中dA<< h+dhMXi和dA⊥h+dhMXi。

因此，存在≥ 0这样的结果=Ztauh+udhMXiu（从Ais增加的事实来看，acomes的非负性）和▄aso▄a=▄a{h>0}=ah{h>0}≥ 0 andAt=Zt▄audhMiu=Zt▄au（hu）dhMXiu。我们现在陈述这一节的主要结果：定理4.1。假设aM<1几乎可以肯定。我们考虑以下条件：（C1）dA<< dh Mi。我们表示Daw相对于dhMi的密度。（C2）~aM<1。（C3）E【D】*T] =1，其中：D*t： =Et-Z·ASDMEt公司-Z·ASDM, t型∈ [0，T]。（8） 为了保持与定理3.4中分解结果的兼容性，假设dA与dhMYi是可解连续的。该物业将仅用于在Le mma 4.5.12 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANCIf（C1）-（C3）中构建一个套利港，价格过程（X，Y）满足（NFLVR-S）。此外，概率测度P*定义为：dP*数据处理Gt：=D*t、 t型∈ [0，T]。（9） 是（X，Y）的一个超马丁测度，我们称之为（X，Y）的基本超马丁测度。相反，如果价格过程（X，Y）为fy（NFLVR-S），则（C1）和（C2）为真，因此过程D*是一种绝对积极的本地马丁酒。在证明定理之前，让我们给出一些简单的例子来说明所涉及的许多过程，特别是过程VY的不同分解。请注意，我们不认为下面的X和Y是会聚的g价格；第5节提供了价格趋同的例子。示例4.2。假设带上的th有两个独立的布朗运动，且xt=X+Bt∧θ随θ：=inf{t∈ [0，T]，Xt=0}，T fixedyt=Y+ZtFsds+zthsds+ztgsds，T∈ [0，T]，对于H和G一些可预测的过程，为了简单，我们假设有界ed。

让我们确定本节前面介绍的关键流程。我们有ht=ht和：hMit=Rt∧θ（Hs）ds；h Mit=Rt（Hs）{θ≤s} +（Gs）ds。此外，过程At=Rt（Fs）+ds分解A=A+Awith:At=Zt∧θ{Hs>0}（Fs）+ds=Zt▄asdhMis，其中▄at={Ht>0}（Ft）+（Ht）at=Zt{Hs≤0}∪{θ≤s} （Fs）+ds。密度过程的存在不能保证。定理4.1中的绝对连续性条件（C1）变为：过程G在集合上为非空：{（t，ω）|θ（ω）>t，Ht（ω）≤ 0，Ft（ω）>0}∪ {（t，ω）|θ（ω）≤ t、 Ht（ω）=0，Ft（ω）>0}。在这种情况下，我们有At=RtasdhMiswithAt=11{θ>t}{Ht≤0}（Ft）+（Gt）+11{θ≤t} （Ft）+（Ht）+（Gt）和以下过程D*:= E-Zθ∧·{Hs>0}（Fs）+HsdBsE-Z·{hs≤0}f（Bs）+dBs.收敛资产价格的一些无套利规则是基本超鞅测度密度的候选者。然后，该定理指出存在一个超鞅测度i f（其他条件已满足）E[D*T] =1。示例4.3。另一个简单的例子是M≡ 在这种情况下，Theorem简单地说A不应该在dhX，yi<0的集合上增加，否则（NFLVRS）不成立。另见第5.1小节。示例4.4。如果过程hX，Y i严格增加，则A≡ 0且仅条件（C3）：EET公司-R·ASDM= 1需要检查。然而，如果这一点没有得到满足，我们一般不能得出缺少（NFLVR-S）的结论，因为（C3）不是一个必要条件。证据（定理4.1的证明）<=“条件（C1）确保过程a的存在，因此：At=ZtaudhMiuandais是非负的，由于a的递增性质。条件（C3）假设过程D是鞅，而条件（C2）确保它是严格正的（实际上，如果半鞅H满足H>-1，则随机指数过程E（H）是严格正的。

如果我们采用Ht：=-Rt▄asdMs，我们明白了H=-aM已假定▄AWA的相应条件成立）。我们确定：dP*数据处理GT：=D*这确实是一个等价的概率度量。很容易检查它是否是一个超级马丁格尔测度：事实上，在P*,dXt=dJXt- athtdhMXit+dm*t=dJXt- at（ht）+dhMXit+dm*t此处为m*是P*-鞅。流程JX和-R当（h）+sdhmx在减小时，X是P下的上鞅*. Als o：dYt=dVYt+dMYt=dAt+dAt-dat+dM*t型-§at（ht）dhMXit-atdhMit=dM*t型-日期，其中M*是P*-鞅。\"=>“我们假设存在一个等价的超鞅测度，我们指出它。在不丧失一般性的情况下，密度过程有depdp表示Gt=E(-五十） t，（10）14 DELIA COCULESCU和MONIQUE Jeanblanche，其中L可分解为：Lt=ZtludMu+ZtludMu+Ut。对于与M和M正交的局部鞅，我们使用符号{dA 6=0}来支持测度dA（ω）。过程X和Y是ep上鞅；因此，我们需要同时有：（i）（hMX，Lit，t∈ [0，T]）是一个递增过程；（二）Rt{dA6=0}dhMY，刘- At，t∈ [0，T]是一个递减过程。条件（i）如下所示。当且仅当JX时，进程X是aeP supermartingale- hMX，Li是一个递减过程。但是，JXis d ecreasing和dJXis与dhMXi正交，因此条件（i）似乎是必要的，并且足以使X成为aeP supermartingale。此外，关于上述条件（ii）的一些澄清。当且仅当VY时，进程Y是AEPSuperMartingable- 嗯，Li是一个递减的过程。但是VY- hMY，LI减小当且仅当两个过程（在-Rt{dA6=0}dhMY，Liu，t∈ [0，T]）和(-在-Rt{da6=0}dhMY，Liu，t∈ [0，T]）正在减少。然而，最后一个条件i不会在这里被利用。从上面的条件（i）中，我们得到过程hl是积极的（即非消极的）。

特别是在集合{h<0}上l只有负值或空值。现在让我们分析条件（ii）。为简单起见，我们表示：lt： =lt{dA6=0}和▄l电话：=lt{dA6=0}。根据上述观察，关于l, 流程▄l满意度：▄l{h<0}≤ 0，（11）我们记得，过程A分解asRt▄audhMiu+At，其中▄asatizing▄A=▄A{h>0}，因此：Zt{dA6=0}dhMY，刘- 在==Zt（yenlu- au）11{hu>0}dhMiu+Zt▄l乌德米厄-在-Zt▄lu{hu≤0}dhMiu.上述过程应不断增加。因为这两个过程-R·▄lu{hu≤0}dhMiu=-R·▄lu{hu<0}dhMiuare递增（见（11）），并且它们在集合{ht>0}上不递增（即，它们保持不变），因此p过程：Z·{hu≤0}~l乌德米厄- C（12）收敛资产价格15的一些无套利规则需要增加，其中Ct：=At-Rt▄lu{hu≤0}dhMiuis正在增加。根据附录A中的定理A.1，C相对于HMI是绝对连续的。因为C i是两个递增过程的su m，那么每个项对于dhMi都应该是绝对连续的，即：Ztlu{hu≤0}dhMiu=Zt▄lu{hu≤0}eudhMiu（13）对于某些非负过程（et），andAt=Zt▄audhmiuf对于非负过程▄a=▄a{h≤0}. 因此，理论中的条件（C1）必须保持不变。特别地，局部鞅D*存在。还有待证明（C2）也成立，这是一个触发局部鞅D严格正态性的性质*. 下面我们证明了（C2）是局部鞅E严格正性的结果(-五十） 在（10）中。首先，我们注意到，（12）中的过程正在减少：（在-~l春节-~lt） 11{ht≤0}≤ 0，因此：0≤ 在≤ (~ltet+℃lt） 11{ht≤0}≤~lt{ht≤0}.

（14） 为了得到上面的最后一个不等式，我们使用▄le11{h≤0}≤ 0（e是一个积极的过程）。事实上：11{h<0}l≤ 0如（11）和集合{h=0}中所示，我们有11{h=0}dhMXi=0，因此，使用等式（13）过程11{h=0}▄le=0。作为流程E(-五十） 在（10）中是严格正的，从MandM的正交性来看，我们必须有：-lM>-1和-lM>-特别地，弹性不等式在集合{a>0}上成立∩ {h≤ 0}（注意，在这个集合上l> 0，从（1）到（4））。然后，（14）中的不等式确保-aM>-1索引，（14）表示-a≥ -~l{h≤0}，因此，如果M> 0，一个有-aM≥-~l{h≤0}M≥ -11{小时≤0}≥ -1、如果M<0，一个有-aM≥ 0 > -1、因此，t heorem hol ds中的条件（C2）也是如此。定理4.1强调条件（C1）是（NFLV R-s）成立的必要条件。在本节的剩余部分，我们揭示了（C1）失效时的系统套利组合。为此，我们确定条件失效的集合（即套利集合）：A：={（ω，t）∈ Ohm ×[0，T（ω）]| dAt（ω）>0，dhMit（ω）=0}；换句话说，在度量中，dAis对于dhMi不是绝对连续的。条件（C1）可以重写为：P（ω：t、 （ω，t）∈ A） =0.16 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANCWe介绍了A：DA：=inf{t≥ 0 |（t，ω）∈ A} ，使用通常的约定：inf = ∞.随机时间是可预测的G停止时间。这可以证明如下。过程A和hMi是G可预测的，因此集合A是G可预测的。此外，A和hMi在[[DA]]处是正确连续的 A、 我们使用命题2.40，p。