卖空条件下资产价格收敛的无套利规则

354英寸[19]。A：EA：=inf{t>DA |（t，ω）的退出时间/∈ A}也是一个可预测的停止时间（它也可以写成集合{（ω，t）的début）∈Ohm ×[[DA∧ T、 T]]| dAt（ω）=0或dhMit（ω）>0}）。为了构建我们的套利投资组合，我们使用交易策略π=（πC，πX，πY），其中πXt≥ 0表示时间t时投资组合中资产X的数量，πYt≥ 0资产Y和πCt的数量∈ R是在时间t投资于无风险资产（现金）以制定自我融资策略的金额（见定义2.2）。我们记得，timet的投资组合价值∈ [0，T]写入：VπT：=πCt+πXtXt+πYtYt。（15） 此外，我们的套利投资组合将满足以下条件：（a）在时间DA开始，无成本：VπDA=0。（b） 在某个G停止时间S≤ T对开本有正值：VπS≥ p（Vπs>0）>0时，为0 a.s。在我们的例子中，S是小于或等于EA的任何停止时间。（c） 基本交易策略π在定义2.2的意义上是可接受的（之前的p点已经暗示了一些可接受条件）。这样的投资组合实际上如下：π=（0，0，0）（即无初始投资），然后是与πXt相关的自我融资策略=-ht{t∈[[DA，EA[[}（16）πYt=11{t∈[[DA，EA[}。（17）下面的引理表明，投资组合的价值正在增加，尤其是它是从下面开始的，这确保了基础交易策略是可接受的，即，（c）是满足的。它还证明了条件（b）holds（即投资组合是套利），只要我们违反了（C1），即：P（ω：t、 （ω，t）∈ A） >0。引理4.5。如（16）-（17）中所示，具有π的自融资投资组合Vπ的价值是一个不断增加的过程，对于（ω，t）而言，其价值是不断增加的∈ A、 证明。

在集合A之外，投资组合的价值是恒定的，因此我们只需要研究集合A内价格过程X和Y的行为。一些汇聚资产价格的无套利规则17投资组合是自我融资的，我们有：dVπT=-htdXt+dYt=-htdJXt- htdMXt+dVYt+htdMXt+dMt= -htdJXt+dAt+dMt。最后一个等式出现的原因是，在a中，我们的dA>0，因此dA=dA=0，dVY=dA。我们回顾了以下属性：dAis绝对连续于dhMYi（dAis绝对连续于dhMYi的结果，参见脚注第9页）；在A中，我们有与dhMi正交的dAis。因此，就dhMi而言，insi de A，dAis是绝对连续的，因此也就hMXi而言。另一方面，dJXis与dhMXi正交。在一个过程中，JXisconstant，即：dJX≡ 从这一点出发，我们推断lio值的动力可以重写：dVπt=dAt+dMtfor（ω，t）∈ A、 现在我们注意到在A中有dhMi≡ 0，根据A的定义，wh ich意味着A内部不稳定。这意味着Vπ：dVπt=dAtfor（ω，t）的动力学∈ Athat is，Vπ对于（ω，t）严格递增∈ A.汇合价格的一些示例保留了第4.5.1节的符号。鞅不为空。在这种情况下，我们可以推导出以下二次协变量规则：引理5.1。我们假设X和Y满足上一节M的假设≡ 如果（NFLVR-S）保持不变，则进程：Zt{dhX，Y i≤0}dYsis是（G，P）-超模，也就是说：Zt{dhX，Y i≤0}分析一个递减的过程。证据结果如下，是定理4.1的一个应用。

18 DELIA COCULESCU和MONIQUE Jeanblancu作为一个例子，让我们假设T是常数，mx是具有确定性二次变化的连续鞅，f是确定性函数，f（T）=Rtf（s）dhMXis。然后，以下是聚合价格：Xt=X+MXtYt=Y+ZtMXsf（s）dhMXis+ZthsdMXs。HT=1+F（T）- F（t）考虑F（t）=1- ert对于某些r>0（且简单地f（t）<0），则过程Ht=1+ert- 如果T足够大，则在形式为[0，S]且S<T的区间内，erTis为负值。根据引理5.1，如果鞅mx在区间[0，S]内有负偏移，则存在套利机会。现在让我们考虑“生存索赔”的情况：ξ=11{τ>T}，即，如果某个事件τ在某个固定到期日T之前没有发生，则支付一个货币单位。假设对于所有Investors，τ是一个可访问的停止时间；它允许一个常数（FX，QX）强度λX，resp。一个常数（FY，QY）强度λY。在这种情况下，X（resp.Y）在托氏区间[0，τ]上增加∧ T）且在τifτ处有向下的ju mp≤ T更精确地说：Xt=QX（τ>T | FXt）=11{τ>T}e-λX（T-t） Yt=QY（τ>t | FYt）=11{τ>t}e-λY（T-t） 。（NFLVR-S）使用此模型（例如，m=arg maxi的Qmis supermartingale度量∈{X，Y}λi）。这与引理5.1一致：[X，Y]t=XτYτ{τ≤t}≥ 0，因此为hX，Y i≥ 0.现在，考虑上述示例的另一种选择，其中在过滤FX中，停止时间τ是可预测的，但在具有恒定强度的FY中，它是完全不可访问的，即Y在随机区间上增加[0，τ∧ T）且在τifτ处有向下跳跃≤ 上述助教。在过滤G中，停止时间τ是可预测的（因为它在 G） 因此，价格过程Y似乎是G-可预测且变化有限的，尤其是hX，Y i≡ 0

然后，这里有套利机会：在过滤过程中，没有改变衡量标准，使其成为超级艺术品。一个明显的套利策略是在τ之前买入Y并卖出。5.2. 两个市场风险态度相似的投资者。让我们假设P是价格X和Y在其自身过滤中的阿马丁格尔测度（但在过滤中没有t），即：Xt=E[ξ| FXt]和Yt=E[ξ| FYt]。我们用一个可违约资产的例子来说明：ξ=11{τ>T}E（B）T，到期日固定。我们假设B是布朗运动，而τ，发行人的默认时间是一个指数分布的随机变量，参数λ与布朗运动B无关。一些无套利的资产定价规则19我们假设以下信息集分别适用于两个市场和内部人士，用于∈ [0，T]：FXt=σ（BT）∨ σ(τ ∧ s、 s≤ t） FYt=σ（Bs，s≤ t）∨ σ（τ）Gt=σ（Bs，s≤ t）∨ σ（BT）∨ σ(τ).We d enoteNt=11{τ≤t}- λ（t∧ τ） ，这是一个FX鞅。此外，我们注意到，FYBrownian运动B是较大过滤G中的一个sem-imartingale，命名为bt=-Zt公司∧技术性贸易壁垒- 但是- udu+βtwithβ为（G，P）布朗运动。简单计算表明：Xt=11{τ>t}e-λ（T-t） ET（B）=ET（B）e-λT-ZtXs公司-dNs，这是一个FX鞅。然而，在过滤G中，过程X是可预测的且变化有限。由于它不是递减的，我们通过定理3.4得出结论，X不存在notful fil（NFLVR-S）。另一方面，Y由以下FY鞅给出：Yt=11{τ>T}E（B）T=11{τ>T}+ztyudbuwe在较大的过滤G中，以下分解适用于Y：Yt=11{τ>T}-ZtYuBT公司- 但是- udu+ZtYudβu，其中积分Kt：=RtYuBT-但是-udu定义明确。自【14】起，该条件为同等侵权行为√T-sds<∞ 和，sin ce E（Yt）≤ e上的1有eRT | Ys|√T-十二烷基硫酸钠< ∞.

这种类型的模型以不令人满意（NFLV R）著称。为客户提供卖空培训并不妨碍免费午餐。基本超鞅测度的候选密度过程为：D*t=EtZ·（BT）- Bu）+T- udβu,事实是（BT-Bu）+T-UI不是squ是可积的，这会阻止它成为有效的度量变化。例如，参见第4.2.1.20节DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANC5.3。两个市场的风险态度不同。我们直接在过滤G中工作，过滤G由两个相互依赖的P-布朗运动离子B和β生成。我们表示e W：=ρB+p1- ρβ对于某些ρ∈ [-1, 1]. 这两种资产的价格应如下所示：Xt=X+BtYt=EQY[Xt | Gt]，其中dqydpGt：=E-Z·WYudBut、 满足WYT=ρWYtdt+dWt。我们认为T=inf{T≥ 0，Xt=0}∧“Twith”T非随机（因此价格过程为正）。在上述假设下，过程WY、BYt=Bt+RtWYudu和β是QYBrownian运动s。可以很容易地计算出Y具有以下（G，P）d组合：Yt=X+Zt（1- ρ（T- u） ）WYudu+Zt（1- ρ（T- u） ）dBu-p1级- ρZt（T- u） 这里β是a（G，P）-布朗运动，独立于B。我们有t≤ T:Mt=Zthudbu，ht=1- ρ（T- t） Mt=-p1级- ρZt（T- u） dβuAt=ZtWYuhu公司+dhMiu。对于简单性，我们假设T=2。根据定理4.1，我们可以得出如下结论：（NFLVR-S）保持：（1）如果ρ≤ 0，则h>0，条件（C1）和（C2）通常满足▄a≡ 条件（C3）也成立。（2） 如果ρ>0，则{（ω，t）| ht≤ 0}=[0，最大值（0，2- 1 /ρ)]. 对于ρ∈ （1/2，1），当WYt<0时，该区间不为空y且dAt>0，并且在每个有界区间上的Yoccur a.s.的这些负偏移。Hewhever，t在这种情况下也没有套利机会：所有条件都已满足，以构造基本超鞅测度P*.5.4. 具有消失噪声的滤波模型。

另一类适用于趋同价格框架的例子是过滤模型，其中观测过程中的noi在固定时间T内消失。一些用于汇聚资产价格的无套利规则让我们考虑一个非常简单的过滤模型。如前一示例中所示，X是从X开始的布朗运动。假设t<t时，信息流fy由X的噪声观测产生，由ot=Ztf（Xs）ds+Wt建模，W是独立于X的布朗运动。此外，在t时，可以完全观测到ξ=XT=yt的值。更精确地说：FYt=σ（Os，s≤ t） ，对于t<TFYT=σ（Os，s≤ T）∨ σ(ξ).通常，我们表示Gt=σ（Xs，s≤ t）∨ FYt。现在，我们设置：Yt：=E[ξ| FYt]。我们用Nt=Ot表示-Rt\\f（Xs）ds创新过程，其中u sual[f（X）是过程f（X）的y个可选投影。对于某些FY可预测过程ψ，以及对于t<t:Yt=E[Xt | FYt]=X+ZtψudNu，我们得到。过程ψ由：ψt=\\f（Xt）Xt给出-cXt\\f（Xt）（参见[3]中的第3.35节）。在过滤G中，替换Nt=Wt+Rt（f（Xs）-\\f（Xs））ds我们得到以下表示：Yt=X+Ztψu（f（Xu）-\\f（Xu））du+11{t≥T}（ξ）- 年初至今-)+ZtψudWu=X+VYt+Mt。这里我们有一个M的例子≡ 我们可以使用定理3.4来推断Y的动力学与（NFLVR-S）不相容：我们可以写evyt=JYt+Ztψu（f（Xu）-\\f（Xu））du式中，JYt=11{t≥T}（ξ）- 年初至今-) 不是递减过程。附录A.一些措施和增加过程的回顾为了方便读者，我们在这里收集了本文中使用的一些基本结果。定理A.1。设u和u为两种（可能签署的）度量值。（a）表示u和u都是积极度量值。然后，（u- u）仅当u与分辨率为u绝对连续时才是正测量。22 DELIA COCULESCU和MONIQUE JEANBLANC（b）假设u⊥u，而且（u+u）是一个积极的衡量标准。

那么，u和u都是阳性测量结果。（a） 支持（u- u）是σ-代数F上的一个度量。那么，对于所有a∈ F、 （u- u）（A）≥ 0.具体而言，如果A的u（A）=0，则：（u- u）（A）=u（A）- u（A）=-u（A）≥ 0，这意味着u（A）=0（因为我们也有u（A）≥ 0表示u为正度量）。换句话说：u<< u.（b） 对于所有A∈ F、 （u+u）（A）≥ 0; 正交性条件imp为u（A）∈{（u+u）（A），0}和u（A）∈ {（u+u）（A），0}因此两者都是正度量。一个递增过程可以看作是R+，dAt（ω）上的一个随机测度，其分布函数是ao（ω）。同样，有限变化过程可以被视为有符号随机度量，因为它可以被写为两个递增过程的差。提案A.2（【13】第30页）。设A、B为有限的变化过程（分别为递增过程），使得dB<< dA。然后，存在一个可选的（非负的）过程，例如B=RHdA，直到消失集。此外，如果A和B是可预测的，则可以选择H是可预测的。提案A.3（[6]）。设A，B为cádlág，是有限变化的可预测过程，其中B是递增的。然后，有一个可预测的过程Д和一个可预测的子集N of r+×Ohm 这样：A=ZИdB+ZnDa和：ZR+N（u）dBu=0。确认。Monique Jeanblanc的研究得到了Chair Marketsin Transition（法国联邦银行）和Labex ANR 11-LABX-0019的支持。参考文献[1]AKSAMIT，A.和M.JEANBLANC：《金融视野中的过滤扩大》，Springer brief（2017）。[2] 安塞尔，J.-P.和C.斯特里克：卢伊斯·德·鞅（Lois de martingale），德·恩斯特（de nsités et décomposition de F"ollmer Schweizer）。《意大利年鉴》。H、 P.，章节B，第28（3）卷375–392（1992）。[3] BAIN，A.和D.CRISAN：《随机过滤的基本原理》，纽约斯普林格出版社（2009年）。[4] DELLACHERIE，C.：Ca pacités et processus stochastiques，Springer Verlag（1972）。[5] DELBAEN，F.和W。

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