管理波动性风险：Karhunen Lo \` eve的应用

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英文标题：
《Managing Volatility Risk: An Application of Karhunen-Lo\\`eve
  Decomposition and Filtered Historical Simulation》
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作者：
Jinglun Yao, Sabine Laurent, Brice B\\\'enaben
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Implied volatilities form a well-known structure of smile or surface which accommodates the Bachelier model and observed market prices of interest rate options. For the swaptions that we study, three parameters are taken into account for indexing the implied volatilities and form a \"volatility cube\": strike (or moneyness), time to maturity of the option contract, duration of the underlying swap contract. It should be noted that the implied volatility structure changes across time, which makes it important to study its dynamics in order to well manage the volatility risk. As volatilities are correlated across the cube, it is preferable to decompose the dynamics on orthogonal principal components, which is the idea of Karhunen-Lo\\`eve decomposition that we have adopted in the article. The projections on principal components are investigated by Filtered Historical Simulation in order to predict the Value at Risk (VaR), which is then examined by standard tests and non-arbitrage condition to ensure its appropriateness.
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中文摘要：
隐含波动率形成了一个众所周知的微笑或表面结构，该结构适用于Bachelier模型和观察到的利率期权市场价格。对于我们所研究的掉期期权，在为隐含波动率编制指数时考虑了三个参数，并形成了“波动率立方体”：履约（或货币性）、期权合同到期时间、基础掉期合同期限。应注意的是，隐含波动率结构随时间变化，这使得研究其动态性以更好地管理波动率风险非常重要。由于挥发性在整个立方体中都是相关的，因此最好在正交主成分上分解动力学，这是我们在本文中采用的Karhunen-Lo-eve分解的思想。通过过滤历史模拟对主成分的预测进行研究，以预测风险价值（VaR），然后通过标准测试和无套利条件进行检查，以确保其适当性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Managing_Volatility_Risk:_An_Application_of_Karhunen-Loève_Decomposition_and_Fi.pdf (950.38 KB)

2022-6-1 11:24:13 上传

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关键词：EVE 波动性 volatilities Quantitative Applications

管理波动性风险：Karhunen Loève分解和过滤历史模拟的应用Jinglun Yao，Sabine Laurent，Brice Bénabenober，2017年10月4日抽象隐含波动性形成了一个著名的微笑或曲面结构，该结构适用于Bachelier模型和观察到的利率期权市场价格。对于我们所研究的掉期期权，在为隐含波动率编制指数时考虑了三个参数，并形成了“波动率立方体”：履约（或货币性）、期权合同到期时间、基础掉期合同期限。应该注意的是，隐含波动率结构随时间而变化，这使得研究其动力学对于更好地管理波动率风险非常重要。由于挥发性在整个立方体中是相关的，因此最好在正交主成分上分解动力学，这是我们在本文中采用的Karhunen Loève分解的思想。通过过滤历史模拟对主要成分的预测进行研究，以预测风险价值（VaR），然后通过标准测试和无套利条件进行检查，以确保其适当性。关键词：Bacelier模型、隐含波动率微笑和表面、掉期期权、Karhunen Loèvedecomposition、过滤历史模拟、风险价值（VaR）、欧元区流动性陷阱以来的波动率风险1介绍以及与之相关的负利率，Bacheliermodel（Bachelier[1900]）比Black-Scholes模型（Black and Scholes[1973]）更适用于利率产品，因为它能够处理负利率。虽然在最基本的Bachelier模型中，基础资产的波动率是恒定的，但在实践中，我们应该校准不同衍生产品的波动率（例如。

不同行使方式的看涨期权），导致我们称之为“波动微笑”或“波动表面”。假设微笑在时间t内是静态不变的，这是一种更好的启发，当实践者采用所谓的“粘性货币”或“粘性罢工”规则时就是这种情况。然而，不幸的是，根据toRosenberg（2000）和Cont等人（2002）的研究，我们在现实中观察到微笑的持续变化。波动率微笑或表面的动态对风险管理很重要，因为它会影响Bachelier定价函数中的波动率参数，从而导致利率衍生品的价值变化。因此，本行的投资组合受到风险价值（VaR）的影响和支持。更具体地说，这就是我们在风险管理术语中所称的“织女星风险”，因为风险因素是波动性。在我们的研究中，我们特别感兴趣的是掉期期权，它有三个参数来衡量单身汉的隐含波动率σBt：履约（或货币性）、期权合同的到期时间（以下简称“到期”）、基础利率掉期合同的期限（以下简称“期限”）。尽管动力学建模非常重要，但要完成这项任务并不容易。smiles的动态不仅涉及到ATM的波动性，还涉及到非ATM的波动性。对于ATM波动率序列，我们可以使用传统的时间序列模型对其进行建模。Yetit不适合将非ATM波动性与ATM波动性分开建模，因为ATM和非ATM波动性之间存在着明显的相关性。微笑虽然不是只有三个自由度的刚体，但也不是有很多自由度的“柔体”。不同打击之间波动的粘性要求以整体方式研究微笑动力学。

一些重大举措比其他举措更具主导性，因此有理由将其作为动态的简明描述。例如，微笑的平行移动是一种常见的现象。尽管如此，这些主要的变化并不是先验的，应该从数据中估算出来。应注意的是，我们抵制了使用局部波动率模型（Dupire【1997】）或随机波动率模型（如Hagan等人【2002】中的SABR模型）的诱惑。这些模型通过引入波动率的最小描述，为波动率增加了更多的自由度，并解释了从具有恒定波动率的Bachelier模型得出的经验推导。相比之下，隐含效用（Impliedvolatility）是一个状态变量，它适应了单身汉模型和市场价格。然而，与隐含波动率微笑的动力学相似，我们不能假设局部或随机波动率模型中的参数为常数。事实上，正如Hagan等人（2002年）所言，局部波动模型预测的市场微笑的动力学与观察到的市场行为相反：当基础价格下降时，局部波动模型预测微笑会转向更高的价格；当价格下降时，这些模型预测微笑会转移到较低的价格。事实上，资产价格和市场微笑的方向是一致的。因此，需要经常进行重新校准，以确保局部波动率模型和模型参数的正确性。SABR模型在实践中也是如此，即使资产价格和市场微笑朝着同一方向移动。局部或随机波动率模型中的模型参数动力学当然是微笑动力学的反映。

但应该注意的是，它们之间的关系并不明确：需要一种校准方法来预测模型参数，因为SABR模型中的参数比波动率微笑的自由度少。这意味着我们应该建立模型参数的目标函数进行优化。然而，很难判断哪种校准方法是“最好的”还是“更好的”，因为这些方法都无法再现经验观察到的隐含波动率。更重要的是，即使我们承认一种校准方法，使用校准参数的时间序列进行风险管理是否合适仍然是一个问题。因为评估VaR预测的性能需要“真实”的实现值，但模型参数的“真实”值在市场上无法直接（或间接）观察到。Contet al【2002年】解释了使用无模型方法的第二个也是更深层次的原因（在这个意义上，我们不使用局部或随机波动率模型，但我们当然使用了Bachelier模型）：期权市场变得越来越自主，期权价格受到驱动，除了标的资产的变动，也取决于期权市场的内部供需。例如，Bakshi等人【2000年】记录了违反期权及其基础之间定量动力学关系的证据。事实上，从业者会求助于供需平衡和隐含波动率，而不是流动资产的随机波动率模型。在我们的研究中，香草Swaption就是这样。

尽管这些观点支持无模型方法，但应注意的是，随机波动率模型为不属于本文范围的流动性较差的资产提供了评估价格和管理风险的重要方法。面对建模微笑动力学的挑战，我们采用了Karhunen-Loève分解，这可以看作是为函数构思的主成分分析的一个广义版本。该方法于Loeve【1978】提出，并被Cont等人【2002】用于研究股票指数期权的波动率表面动力学。我们已将此方法的使用扩展到交换选项，并探讨了其对风险管理的影响。由于互换期权有三个隐含波动性参数（货币性、到期日、期限），因此探索每个维度的动态将是一件有趣的事情。此外，Karhunen-Loève分解可以应用于多元函数，使探索曲面动力学成为可能。这样，隐含波动率微笑或表面的动态可以由几个主成分和这些成分上的预测时间序列来表征。然后，可以通过历史模拟或过滤历史模拟来研究预测值的时间序列，以评估VaR。历史模拟由于其非参数方法，近年来在评估VaR时受到了压倒性的欢迎。Barone Adesi等人【1999】提出的基于历史模拟的过滤历史模拟，克服了Cont【2001】中所述的波动率聚类问题。本文的组织方式如下：第2节介绍了Karhunen-Loève分解理论，然后在第3节将其应用于隐含波动率微笑和波动率曲面。

还探讨了不同维度的经验证据和直觉。第4节研究预测时间序列的特性，并使用过滤历史模拟来评估波动率增量的VaR。请注意，衍生品定价最重要（或许也是唯一）的假设是无套利。第5节检查估计的VaR是否违反这一基本假设。此外，第6节检查估计的VaR是否符合一些标准回溯测试标准。第7节对文章进行了总结。2 Karhunen Loève分解：理论背景Karhunen Loève分解是对函数主成分分析的推广。让D Rnbe是一个有界域。例如，如果我们想研究微笑的动力学（作为金钱的函数），D可以是[mmin，mmax]，其中mmin和mmax分别是最小和最大的金钱。然后我们可以定义L（D），K:u 7上的积分运算→ Ku代表u∈ L（D），by：[Ku]（x）=ZDk（x，y）u（y）dy（1），可以显示如果k:D×D→ R是Hilbert-Schmidt核，即ZDZD | k（x，y）| dx dy<∞, （2） 那么K是紧算子。此外，如果k（x，y）=k（y，x）x、 y型∈ D、 那么K是自伴算子。更具体地说，K和K的定义方式如下所示，即Karhunen Loèvedecomposition，以满足这些性质。为了得到一系列微笑，我们添加了另一个参数ω∈ Ohm 至u，即u：Ohm ×D→ R、 因为在数据中，每个t代表ω的一个实现，所以我们不需要区分ω和t的表示法。直观地说，对于每个ω固定值，u（ω，·）例如是波动率微笑（更准确地说是微笑的对数返回，原因如下所述），而对于每个x固定值，u（·，x）可以被视为随机变量。

因此，我们可以计算u（·，x）和u（·，y）之间的协方差，并将k（x，y）定义如下：k（x，y）=cov（u（·，x），u（·，y））（3）那么k是一个紧自伴算子。注意核函数k类似于常规主成分分析中随机向量的协方差矩阵。也可以证明K是正的，因此根据Mercer定理（Mercer[1909]），K（x，y）可以表示为：K（x，y）=Xiλiei（x）ei（y）（4），其中{λi}和{ei}是K的特征值和特征向量，即K（ei）=ZDk（·，y）ei（y）dy=λiei（5），而不丧失一般性，假设λ≥ λ≥ ··· ≥ 设ui（ω）=hu（ω，·），eii是微笑或曲面u（ω，·）在特征函数ei上的投影。u（ω，·）=suii（ω）ei（·）和ui（ω）=ZDu（ω，x）ei（x）dx（6）方程6是我们所称的Karhunen Loève分解。需要注意的是，如果u（·，x）是每个x的中心变量，那么ui（·）也是中心变量。要看到这一点，必须对方程6进行期望。此外，{ui（·）}是相互不相关的，因为E（uiuj）=E[ZDu（·，x）ei（x）dxdu（·，y）ej（y）dy]（7）=E[ZDu（·，x）u（·，y）ei（x）ej（y）dx dy]（8）=zdde[u（·，x）u（·，y）]ei ei（x）ej（y）dy（9）=zdk（x，y）ei（x）ej（y）dx dy（10）=ZD[Kei]（y）ej（y）dy（11）=hKei，eji（12）=hλiei，eji（13）=λiδij（14），其中δij是Kronecker符号。这可以帮助我们单独研究ProjectionTime序列的性质，而不用担心它们之间的相关性。

这也解释了以下在实践中经常使用的符号，其等效于方程式6：u（ω，x）=Xiqλiξi（ω）ei（x）（15），其中ξi是以单位方差为中心的相互不相关的随机变量，由以下公式给出：ξi（w）=√λiZDu（ω，x）ei（x）dx（16）我们将在以下章节中使用此符号。如何用数值方法解决这个问题？假设我们观察到一个随机场{u（t，·）}t，我们首先可以使用经验协方差估计k（x，y），即^k（x，y）=TTXt=1[u（t，x）- \'u（x）][u（t，y）- \'u（y）]（17）=TTXt=1[u（t，x）-TTXt=1u（t，x）][u（t，y）-TTXt=1u（t，y）]（18）为了解决方程5中的特征值和特征函数问题，我们可以使用伽辽金格式将其简化为有限维问题，即使用基本函数的线性组合来近似每个特征函数。例如，我们可以选择勒让德函数作为基函数。大约，我们有：ei（x）=NXn=1d（i）nφn（x）=ΦT（x）D（i）（19），其中{φn}是基函数，Φ（x）是基函数的向量，D（i）是要估计的n×1形状的系数的向量。结合方程19和方程5，我们得到：NXn=1d（i）nZDk（x，y）φn（y）dy=λiNXn=1d（i）nφn（x）（20）两边乘以φm（x）并在D上积分，我们得到：NXn=1d（i）nZDZDk（x，y）φm（x）φn（y）dx dy=λiNXn=1d（i）nZDφm（x）φn（x）dx（21）OrAD（i）=λiBD（i）（22），其中A和B是正对称的，定义如下：Amn=ZDZDk（x，y）φm（x）φn（y）dx dy（23）Bmn=ZDφm（x）φn（x）dx（24算子K.3 Karhunen-Loève分解的S和特征函数：在Swaption上的应用隐含波动率隐含波动率的结构对于适应Bachelier模型和期权的市场价格非常重要。

对于普通掉期期权，除了任何欧洲期权的两个参数（履约或货币性、到期时间）外，基础掉期合同的期限（“期限”）也是一个关键参数。在这篇文章中，金钱被定义为金钱=罢工- 远期利率（25）保持到期日和期限不变，我们可以使用Karhunen Loève分解研究货币指数微笑的动力学。研究整个微笑的动力学非常重要，因为这有助于我们管理与微笑的偏度和凸度相关的波动性风险，此外，ATM波动性的演化是最重要的，但并不足以充分描述微笑动力学。由于银行不仅有ATM选项，还有非ATM选项，因此管理与非ATM波动性相关的波动性风险至关重要，需要研究整个smile的动态。到期指数微笑或期限指数微笑也是如此，保持其他两个参数不变。应注意的是，隐含挥发度{I（ω，x）}ω∈Ohm显然没有居中，因此我们采用波动率的对数回报，以应用Karhunen Loève分解，即u（t，x）=log（i（t，x））- 日志（I（t- 1，x））（26）我们使用的数据是美元的隐含波动率，从2007年到2017年。2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0x1.00.50.00.51.01.5Дi（x）特征函数λ1=3.63e-04，89.62%解释λ2=3.69e-05，9.10%解释λ3=4.69e-06，1.16%解释图1：Karhunen Loève分解的前三个特征函数和特征值Formoneynes指数化微笑日志返回。到期日=10年，期限=10年，货币=美元。x轴为货币性，并乘以100，即x=2意味着罢工=远期利率+2%。图1显示了到期日=10Y，期限=10Y的货币性指数买入期权的Karhunen Loève分解结果（以下简称“10Y 10Y掉期期权”）。