保持真实：复合重尾分布的尾部概率

根据Jordan引理，闭合轮廓上的积分值等于具有开放轮廓的原始积分值。一旦我们有了一个闭合轮廓，我们就可以使用柯西积分定理，在解析域内任意变形它，而不改变积分的值。因为M（z）在复杂的z平面上是解析的，在z平面上有分支切割∈ [-∞, 0]，我们可以“挤压”积分轮廓，使其首先在切割下运行-∞ 到0，然后围绕原点z=0飞行，并返回到-∞ 切口上方：(R)F（s）=-2πiZ-∞dzeszzM公司-（z）-2πiZ-∞dzeszzM+（z）（20），其中M+（z）和M-（z） 分别代表支管切口上方和下方的MGF M（z）值（见图1）。由于M（z）的虚部在z=[-∞, 0]. 设置z=xeiπ和z=xe-带x的iπ≥ 0在切口的上岸和下岸，不连续性计算如下：Im M（x）=Im M（xeiπ）- Im M（xe-iπ）（21）M（z）的实部应在分支切割处连续，因为尾部概率应为实。图1：积分的积分轮廓（19）。利用公式（20）中的这一点，我们得到'F（s）=-2πZ∞dxe公司-sxx型Im M（x）（22）式（22）构成了我们的第一个主要结果。在原始的复数轮廓积分（19）中，当s→ ∞, 这使得在这个极限下很难准确计算尾部概率。另一方面，正是这一限制与计算高百分位水平（如99.9%）的VAR相关。利用带切口的复平面中MGF的分析，我们成功地将复积分（19）简化为在实轴上定义的快速收敛积分（22）。后一种积分可以在求积中非常高效和精确地计算。

显然，数值积分比蒙特卡罗法或卷积法要快得多，也更准确。蒙特卡罗法或卷积法在计算高百分位的尾部概率时，通常会受到大量数值噪声的影响。利用解析性和轮廓积分，在公式（22）中过滤掉此类数值噪声。请注意，关系式（22）非常普遍，适用于任何分布，其MGF M（z）在剖切z平面上是解析的，并且在完整的z上表现良好→ ∞, Re z<0。它不适用于矩母函数没有分支切割奇点的分布，因为在字母情况下，M（z）的虚部的不连续性将消失。接下来，我们将考虑使用公式（22）来计算单损失和复合损失分布的尾部概率。3.3单一幂律分布的尾部概率为了检查我们的一般关系（22），我们应用它来计算公式（1）给出的单一损失分布的尾部概率P（X>s），其中第二个分量f（X）被选为具有分支切割奇点和复平面（如单极点）中附加奇点的分布，通过对这些额外的奇点进行适当的、特定于问题的处理，可以扩展目前的形式主义。是幂律分布（4）。显然，这种情况下的答案可以通过elementarymeans获得，并读取P（X>s）=ω’F（s），其中‘F（X）由等式（5）给出。因此，等式（22）应产生相同的结果。在继续计算之前，我们注意到幂律分布（或具有幂律尾部的分布，如等式（1））的MGF在本质上表现良好，如eszM（z）→ 0当s>X和z时→ ∞ 当Re z<0时，如等式（9）所示。

因此，在这种情况下可以使用公式（22）。为了计算穿过分支切口的MGF（12）的不连续性，我们注意到它是由（12）中的第二项引起的。设z=xeiθ沿切口，使得切口上方的路径对应于θ=π，切口下方的路径具有θ=-π. 在这些路径上，幂函数（xz）α的（主要分支）-1获取值-（xx）α-1eiπα和-（xx）α-1e级-iπα。因此，Im M（z）在[-∞, 0]读取Im M（x）=ωΓ（2- α） （xx）α-1英寸eiπα- e-iπα= 2ωΓ(2 - α） sin（πα）（xx）α-1= -2ωπΓ(α - 1） （xx）α-1（23）在最后一步中，我们使用了恒等式Γ（x）Γ（1- x） =πsin（πx）（24）引入一个新变量y=xx，表示^s=s/x，我们得到积分（22）：\'F（s）=ω（α- 1） Z∞染料-^syyyα-1= ωsx公司-(α-1） （25）因此，我们验证了等式（22）正确再现了具有幂律尾的单一损失分布的尾概率。3.4复合幂律分布的尾部概率现在我们转向关系式（22）的一个更有趣的应用。即，我们使用它来计算复合分布的尾部概率，其MGF由式（14）给出。对于这个数量没有明确的闭合形式答案，但是我们可以将我们的结果与极限s中的渐近表达式进行比较→ ∞ 这在文献中是可用的，并且从数值上验证了我们的结果。与之前的单损失情况不同，公式（22）不能直接用于计算复合分布的尾部概率，因为MGF（14）在左半平面中增长为指数，如公式（9）所示。然而，这个问题很容易解决。

为此，让我们用以下形式表示MGF（14）：Mλ（z）=eλT（M（z）-1） =nXn=0（λT）nn！e-λT[M（z）]n+∞Xn=n+1（λT）nn！e-λT[M（z）]n=（Mλ（z）- Mλ（z））+Mλ（z）≡~Mλ（z）+Mλ（z）（26）注意，由于Re eiπα=cos（πα）是一个偶数函数，M（z）的实部在分支切割上没有不连续性。其中，n=bsxc是小于或等于比率x的最大整数，而函数Mλ（z）是Mλ（z）的泰勒尾：Mλ（z）=∞Xn=n+1（λT）nn！e-λT[M（z）]n（27），而函数∧Mλ（z）等于Mλ（z），并减去泰勒尾。现在，当s≥ x、 而第二项Mλ（z）在右半平面上表现良好，其中乘积eszMλ（z）→ 0作为z→ ∞ 当s≥ x、 使用公式（26），我们可以将轮廓积分写成如下：(R)F（s）=-2πiZ-ε+i∞-ε-我∞eszzMλ（z）dz-2πiZ-ε+i∞-ε-我∞eszzMλ（z）dz（28）我们闭合左半平面中第一个积分的轮廓，并按照公式（22）进行变形，而对于第二个积分，我们闭合右半平面中的轮廓，并应用留数定理。我们获得'F（s）=-2πZ∞dxe公司-sxx型ImMλ（x）+Mλ（0）（29），其中Mλ（0）=∞Xn=n+1（λT）nn！e-λT=P（X>n）（30），其中X~ po（λ）表示由强度为λT的泊松定律驱动的泊松随机变量。因此，Mλ（0）是泊松分布的尾部概率。可使用大偏差理论进行估算（详见附录A）：Mλ（0）=P（P o（λT）>n）~ e-n（λT-对数λT-1） （31）回顾n=bsxc，我们发现，对于大s，等式（29）中的Mλ（0）项被指数抑制。接下来，我们转向等式（29）中的第一项。我们有▄Mλ（z）=Mλ（z）- Mλ（z）=eλT（R（z）-1） e类-ωλTΓ（2-α） （xz）α-1.- Mλ（z）（32）我们首先计算Mλ（z）的虚部的不连续性。

由于函数R（z）是解析函数，因此（32）中的第一个指数在分支切口上是连续的，而切口上的不连续性是由第二个指数引起的。以与前一节相同的方式确定分支切割不同侧面的幂函数值，我们发现Mλ（z）的虚部不连续：Im Mλ（x）=eλT（R(-x）-1)伊姆河eωλTΓ（2-α） （xx）α-1eiπα(33)= -2eλTψ（x）sinπωλTΓ（α- 1） （xx）α-1.请注意，我们的方法基于使用公式（26）将正式发散的轮廓积分分解为可精确计算的贡献加上可评估为渐近展开的收敛项，类似于著名的Lugannani-Rice方法[8]，其中使用了类似的技巧来处理z=0处的明显奇点。其中，为方便起见，我们引入函数ψ（x）如下：ψ（x）=R(-x） +ωΓ（2- α） cos（πα）（xx）α-1.- 1（34）现在让我们考虑Im Mλ（z）的不连续性，其中函数Mλ（z）在等式（27）中定义。为此，我们注意到，对于固定的z，等式（27）可以被视为强度为λM（z）的泊松分布的尾概率。因此，如果我们替换λ，则可以使用大偏差结果（31）估计该函数→ λM（z）：Mλ（z）=eλT（M（z）-1） P（P o（λT M（z））>n）~ eλT（M（z）-1） e类-n（λT M（z）-对数λT-对数M（z）-1） （35）我们看到，Mλ（z）及其虚部在极限s内呈指数小→ ∞.另一方面~ 公式（29）中的Im Mλ（x）仅被抑制为1/s的幂，如下所示。忽略等式（29）中指数抑制的贡献，并像以前一样引入新变量y=xx，我们最终得到'Fλ（s）=πZ∞迪耶-^sy+λTψ（y/x）sinπωλTΓ（α- 1） yα-1.（36）式（36）构成了我们的第二个主要结果。我们将其作为一般关系（22）的一个应用导出。

对于指数抑制项，公式（36）提供了具有幂律尾的i.i.d.随机变量随机和的大s行为的精确表达式。由于积分（36）快速收敛于s→ ∞, 可以使用正交法非常有效地对其进行评估。或者，它可以扩展为一个渐近级数，正如我们接下来讨论的那样。3.5尾部概率的渐近展开如上所述，由于积分（36）收敛速度快，直接数值积分是评估它最直接的方法。然而，为了更好地理解复合泊松损失过程尾部概率的渐近行为，分析尾部概率在极限s中的渐近展开是有用的→ ∞ 这源自等式（36）。特别是，这种渐近展开可以分析研究损失分布中损失较低部分的特定情况对结果风险的影响。我们从一个观察开始→ ∞, 积分（36）主要由y的小值控制。因此，我们可以使用函数ψ（·）和sin（·）的泰勒展开式来计算（36），这两个函数进入了这个表达式。使用公式（13），我们得到ψ（y/x）=（1- ω） M级(-y/x）+ωΦ（1- α, 2 - α、 y）+ωΓ（2）- α） cos（πα）yα-1.- 1（37）使用Kummer函数Φ（a，b，z）=1+abz+2的泰勒展开式！a（a+1）b（b+1）z+=∞Xn=0n！a（n）b（n）zn（38）（其中a（0）=1，a（n）=a（a+1）。（a+n- 1） ）和低损耗广义泰勒展开式(-y/x）米(-y/x）=1+我的+我的+。（39）对于进入式（36）的函数，我们得到以下小y展开式：ψ（y/x）=ωΓ（2- α） cos（πα）yα-1+cy+cy+。罪πωλTΓ（α- 1） yα-1.=πωλTΓ（α- 1） yα-1.-3.πωλTΓ（α- 1） yα-1.+ . . . （40）其中c=ω1！1.- α2 - α+ (1 - ω） m，c=ω2！1.- α3 - α+ (1 - ω） m（41）为ψ（y/x）→ 0为y→ 0，我们还可以将公式（36）中的指数扩展为exp（λTψ（y/x））=1+λTψ（y/x）+。。

将其与eq一起使用。（40），我们得到了尾部概率（36）的以下渐近展开式：’Fλ（s）=ωλTsx公司-(α-1） +asx公司-2(α-1） +asx公司-α+αsx公司-3(α-1） +asx公司-(2α-1） +asx公司-(α+1)+ . . . （42）式中=（ωλT）Γ（2- α)Γ(2α - 2)Γ(α - 1） cos（πα）=-（ωλT）（Γ（2- α))Γ(3 - 2α）a=ω（λT）c（α- 1） =ω（λT）（α- 1)ω1 - α2 - α+ (1 - ω） m级a=-π3!Γ(3α - 3)ωλTΓ（α- 1)（43）a=（ωλT）λT cΓ（2- α)Γ(2α - 1)Γ(α - 1） cos（πα）=（ωλT）λT（Γ（2- α))Γ(2 - 2α)ω1 - α2 - α+ (1 - ω） m级a=ω（λT）c+λTcΓ(α + 1)Γ(α - 1） =ω（λT）α（α- 1)c+λTc注意，如果我们只保留等式（42）中的前导项，则我们得到'Fλ（s）=ωλTsx公司-(α-1） =λT'F（s），s→ ∞ （44）这是文献[1]中众所周知的结果。公式（44）的显著之处在于，它表明在极限s→ ∞, 具有幂律尾的复合分布的尾部与低损耗区域解耦，因为进入该表达式的参数ωλT是大损耗的泊松频率，因此对初始校准模型后发生的任何其他小损耗事件不敏感。现在考虑更正的结构~ Ain公式（42）。首先，请注意，当1<α<2时~ ais为超前校正，而对于α>2，项~ ais为领先修正。如果1<α<2，即单一损失分布有一个不确定的平均值，我们可以看到，超前修正仍然与分布体解耦，因为它只取决于ωλT的组合。另一方面，如果α>2（因此分布具有确定的平均值），则超前校正取决于通过其平均值m的分布主体。

次级导联校正取决于mif 1<α<2，如果α>2，则取决于均值和方差以及m。如果我们将ω设为1（这样分布就没有低损耗的“体”），那么我们的acoincides表达式将包含在【10】中给出的表达式中。4随机对数正态分布的尾部概率在本节中，我们使用与前一节中开发的方法类似的方法分析对数正态分布随机变量的随机和。对数正态分布分析的另一个困难是，它的MGF不是以分析形式提供的，而是应该使用其积分表示和鞍点近似进行分析。与之前一样，我们开始分析单个损失分布的尾部概率。4.1左半平面中对数正态分布的MGF随机变量Y=exp（X）遵循对数正态分布，如果X~ N（u，σ）是具有相同均值和方差的正态随机变量。对数正态变量的尾概率可以使用基本平均值计算：(R)F（s）=P（Y>s）=P（X>log s）=N-日志s- uσ（45）其中N（x）表示累积正态分布。现在，我们将尾部概率（45）表示为其拉普拉斯变换的反拉普拉斯变换：(R)F（s）=2πiZ-ε+i∞-ε-我∞dzesz'F（z）（46），其中'F（z）表示尾部概率'F（z）=z的拉普拉斯变换∞dxe公司-zxN公司-日志x- uσ= -z√2πσZ∞dxxexp-zx公司-2σ（对数x- u)（47）我们使用分部积分得到第二个方程。将公式（46）与公式（19）进行比较并使用（47），我们发现MGFM（z）=√2πσZ∞dxxexp-zx公司-2σ（对数x- u)（48）这当然也可以直接从MGF的定义中获得。请注意，式（48）定义了Re z的MGF M（z）≥ 其在左半平面Re z<0中的值通过如下所述的分析延拓定义。

在此之前，我们注意到使用恒等式θ（x>s）=-2πiZ-ε+i∞-ε-我∞dzzez（s）-x） （49）我们可以验证，将等式（47）代入等式（46），交换z和x上的积分阶，并闭合右半平面中的轮廓，我们复制了（45）。现在，我们希望利用MGF（48）的分析特性来生成尾部概率（46）的不同表达式，而不是在右半平面中闭合等式（46）中的积分轮廓。为此，我们注意到MGF（48）是z在具有z分支切割的切割平面中的解析函数∈ [-∞, 0]. z平面上的分支切割奇点是由于x平面上（48）的被积函数的分支切割奇点是由于对数的多值性而产生的。为了确定左半平面Re z<0中的MGF M（z），应分析继续积分（48）。设z=ξeiθ，其中ξ=| z |≥ 对于π<θ<3π，z的实部是负的，为了保持积分收敛，我们必须在x平面上旋转积分线-θ. 这个givesMξeiθ=√2πσZCDXEXP-xξeiθ-2σ（对数x- u)（50）其中积分轮廓为射线{C:arg（x）=-θ、 Re x公司≥ 0}. 改变变量toy=xeiθ，我们得到mξeiθ=√2πσZ∞DYYYEXP-yξ-2σ（对数y- u - iθ）（51）注意Mξeθ→ 0为ξ→ ∞, 因此，如果我们在左半平面上闭合等式（46）中的轮廓，有限半圆上的积分将被Jordan引理所消除。

以与上述公式（22）推导中所采取步骤类似的方式变形（46）中的积分轮廓，尾部概率现在表示为穿过z上分支切口的Im M（z）的不连续性∈ [-∞, 0），如式（22）所示：(R)F（s）=-2πZ∞dxe公司-sxx型Im M（x）（52）可使用公式（51）找到切口上的不连续性：Im M（x）=Im Mxeiπ- Im M公司xe公司-iπ= 2exp（π2σ）√2πσZ∞DYYYEXP-xy型-2σ（对数y- u)罪πσ（对数y- u)= 2exp（π2σ）√2πσZ∞-∞dt exp公司-xeu+t-2σt罪πσt（53）注意Im M（x）→ x时为0→ 0（因为（53）中的被积函数在此极限内变为奇数函数）。此外，被积函数中泰勒展开的所有项都会导致收敛积分均等于零。这是M（z）在z=0时的非分析性的表现。为两个Im M生成非消失结果xeiπ和Re Mxeiπ, 我们回到等式（51），其中我们现在设置ξ=x，θ=π，并将变量更改为z=log（ye-u）：Mxeiπ=Z∞-∞dz公司√2πσexpσ-κez-（z）- iπ）≡Z∞-∞dz公司√2πσexpσg（z）（54）式中，κ=xσeu，函数g（z）定义如下：g（z）=-κez-（z）- 函数g（z）的iπ）（55）驻点是导数eg（z）=-κez- 因此，z+iπ（56）复值平稳点可以在z=w+iπ（57）时计算，其中w代表方程的实值解w=κew（58）。在下文中，我们将分析限制在κ从上方有界的情况下，如下所示：0≤ κ ≤e<=> 0≤ x个≤σe-u-1（59），这似乎有助于分析s的渐近行为→ ∞, 因为积分（52）由该极限中的小值x控制。