保持真实：复合重尾分布的尾部概率

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英文标题：
《Keep It Real: Tail Probabilities of Compound Heavy-Tailed Distributions》
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作者：
Igor Halperin
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We propose an analytical approach to the computation of tail probabilities of compound distributions whose individual components have heavy tails. Our approach is based on the contour integration method, and gives rise to a representation of the tail probability of a compound distribution in the form of a rapidly convergent one-dimensional integral involving a discontinuity of the imaginary part of its moment generating function across a branch cut. The latter integral can be evaluated in quadratures, or alternatively represented as an asymptotic expansion. Our approach thus offers a viable (especially at high percentile levels) alternative to more standard methods such as Monte Carlo or the Fast Fourier Transform, traditionally used for such problems. As a practical application, we use our method to compute the operational Value at Risk (VAR) of a financial institution, where individual losses are modeled as spliced distributions whose large loss components are given by power-law or lognormal distributions. Finally, we briefly discuss extensions of the present formalism for calculation of tail probabilities of compound distributions made of compound distributions with heavy tails.
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中文摘要：
我们提出了一种计算复合分布尾部概率的分析方法，其单个分量具有重尾。我们的方法基于轮廓积分法，并以快速收敛的一维积分形式表示复合分布的尾部概率，该一维积分涉及其矩母函数的虚部在分支切口上的不连续性。后一个积分可以求积，也可以表示为渐近展开。因此，我们的方法提供了一种可行的（尤其是在高百分位水平上）替代更标准的方法，如蒙特卡罗或快速傅立叶变换，传统上用于此类问题。作为一个实际应用，我们使用我们的方法计算金融机构的操作风险价值（VAR），其中个人损失被建模为拼接分布，其大损失分量由幂律分布或对数正态分布给出。最后，我们简要讨论了现有形式的扩展，用于计算由重尾复合分布构成的复合分布的尾部概率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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PDF下载：
--> Keep_It_Real:_Tail_Probabilities_of_Compound_Heavy-Tailed_Distributions.pdf (502.05 KB)

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关键词：distribution Presentation Mathematical Applications Quantitative

保持真实：复合重尾分布的尾部概率igor Halperinyu Tandon工程学院2017年10月4日电子邮件：igor。halperin@nyu.eduAbstract：我们提出了一种计算复合分布尾部概率的分析方法，其单个分量具有重尾。我们的方法基于轮廓积分法，并以快速收敛的一维积分形式表示复合分布的尾部概率，该一维积分涉及其矩母函数的虚部在分支切口上的不连续性。latterintegral可以求积，也可以表示为渐近展开。因此，我们的方法提供了一种可行的（尤其是在高百分位水平上）替代方法，以替代传统上用于此类问题的更标准的方法，如蒙特卡罗或快速傅立叶变换。作为一个实际应用，我们使用我们的方法计算金融机构的操作风险价值（VAR），其中个人损失被建模为拼接分布，其大损失分量由幂律或对数正态分布给出。最后，我们简要讨论了现有形式的扩展，用于计算由重尾复合分布构成的复合分布的尾部概率。1引言应用科学中的许多实际问题都需要精确估计复合分布的尾部，即随机变量的随机和或非随机和。特别是，在金融风险管理的背景下，为了计算金融机构的运营风险价值（VAR），不同业务线的损失总和应以高达99.9%的百分比水平计算。

众所周知，计算聚集分布的“经典”方法，如蒙特卡罗、快速傅立叶变换（FFT）或Panjer递归，在如此高的百分位上都面临着各种数值问题。MonteCarlo算法鲁棒性强，但抑制模拟噪声的速度较慢。同样，FFT和Panjerrecursion方法在计算总损失分布的极端尾部时，速度变慢并失去准确性，除非使用一些特殊技巧。我们提出了一种计算复合分布尾部概率的分析方法，其中单个成分具有重尾。我们的方法采用轮廓积分技术来计算以相应分布的矩母函数（MGF）M（z）表示的尾部概率。众所周知，在极端百分位水平（如99.9%）的情况下，尾部概率的轮廓积分表示会产生指数小的尾部概率，其形式上由高度振荡的轮廓积分表示。我们在复z平面中使用解析性，以找到合适的轮廓变形，从而以快速收敛实值一维积分的形式表示的尾部概率。我们的方法受到了为物理中类似问题开发的技术的启发，在这些问题中，尤其是在量子力学[6]和量子场论[13]中，遇到了通过高阶振荡轮廓积分表示的指数小概率。据我们所知，这些方法以前没有应用于计算具有重尾的复合分布的尾概率问题。由于我们的程序以快速收敛的整数表示尾部概率，后者可以用求积来计算，也可以用渐近展开来表示。

因此，我们的方法产生了一个非常有效的数值格式，它避免了在计算这种小尾概率时“经典”方法（如蒙特卡罗或FFT）中出现的数值问题。虽然本文开发的方法可以应用于许多不同的问题，这些问题需要精确计算具有重尾的单分布或复合分布的尾概率，但这里我们重点讨论一个实际应用。具体而言，我们考虑了计算金融机构总运营损失的风险价值（VAR）的问题。在这种情况下，机构每个业务部门的总（复合）运营损失可以建模为复合泊松过程，其中每个损失都有一个拼接分布，其两个组成部分分别描述小损失和大损失。我们详细考虑了单个机组大损耗组件的两种规格：功率尾（Pareto）或对数正态分布，但在下文讨论的某些技术条件下，同样的方法也可以应用于其他严重性分布。此外，我们的分析公式通过直接捕获尾部概率对“主体”分布（即小损失分布）的依赖性，有助于模型选择过程。如下所示，在单损失分布具有重尾的模型中，高百分位水平（如99.9%）的VAR几乎与小损失无关，其中对独立性定律的小修正就所有实际目的而言，仅取决于小损失分布的均值和方差，而不取决于其高阶矩。而严格渐近（即。

当VAR远高于99.9%时，参考文献[1]建立了重尾模型VAR与小损失的解耦，我们的方法给出了一个基本上精确的解，该解适用于实际需要的99.9%的实际水平，并涵盖了参考文献[1]的结果以及所有更正。2拼接重尾分布在本文中，我们对单个分量具有重尾的复合分布的尾概率感兴趣。为了有一个稍微更一般的框架，我们对个体进行建模。随后，这项工作被扩展到包括一阶和二阶校正，参见参考文献[10]及其参考文献。最近，Hernandez等人[5]提出了重尾分布尾概率的形式摄动展开，但他们的方法似乎不会产生收敛或渐近展开。具有以下概率密度函数（pdf）的拼接分布组件：f（x）=(1 - ω） f（x）如果x≤ xωf（x）如果x≥ x（1），其中f（x）和f（x）都是有效的pdf（这特别意味着它们分别集成到一个）。虽然第二个分量f（x）有一个重尾，但第一个分量f（x）可以是任意的。显然，当ω=0和x=0（假设x≥ 0).在推动当前工作的运营风险研究的具体案例中，可以使用拼接损失分布（1）来模拟特定计量单位（UoM）中的单个损失，这进一步合成以该计量单位产生的总损失。我们注意到，如果同一计量单位中的运营损失有不同的来源，那么它们之间的差异可能会非常大。例如，对于一家大型投资银行，法律损失可能会超过其他运营损失几个数量级。

拼接损失严重度分布（1），其中分量f（x）和f（x）可能具有不同的尺度，似乎适合对此类情况进行建模，而在不需要使用拼接分布的其他情况下，则简化为纯重尾分布。因此，在本文中，我们坚持将重尾分布更一般地定义为拼接分布（1）。考虑到上述形式主义的应用，在下文中，我们偶尔会将随机变量x称为损失严重程度，尽管它可能对应于其他环境中的另一个随机变量（例如证券或衍生工具的价格）。式（1）中的两个分量f（x）和f（x）对应于小（x<x）和大（x）的分布≥ x） 损失，其中xis为右尾阈值。混合参数0≤ ω ≤ 1可通过连续性条件（1）进行选择- ω） f（x）=ωf（x）（2）或者，我们可以将等式（1）从0积分到x，并用经验分布替换未知的累积分布f（x）=Rxf（s）ds。这提供了一个模型独立关系ω=1- Femp（x）（3）注意，如果我们使用公式（3）计算ω，那么公式（2）可以被视为连接点x处低损耗分布f（x）的约束（前提是我们知道分布f（x）），而不是ω的条件。在下文中，我们不再详细讨论f（x）的建模，并保留大部分未明确的信息，因为如下文所示，风险值主要由第二个高损失分量f（x）驱动。对f（x）的依赖性仅通过1/s幂的渐近展开中的修正来实现（其中s是VAR损失水平），对于足够高的百分位水平，如99.9%，预计其相当小。在本文中，我们考虑了严重性分布的两种规格：幂律和对数正态律。

我们的选择是基于这样的观察，即这两种分布似乎为大型金融机构的大多数计量单位提供了最大损失（质量大致相同）。在下一节中，我们将重点讨论幂律分布，而对数正态分布的情况将在第节中进行分析。4、计量单位是特定损失类别的业务线和损失类型的组成部分。我们将（3）称为模型独立关系，根据Glivenko-Cantelli定理，经验分布Femp（x）=NPNi=1θ（Xi≤ x） 一致收敛于真实分布F（x）为N→ ∞ 几乎可以肯定。我们考虑阈值x以上损耗的以下幂律分布：f（x）=f（x | x≥ x） =α- 1台xx号-α≡ Cx公司-α（4），其中C=（α- 1） xα-1是归一化常数。尾部分布为'F（x）=Z∞xds f（x）=xx号-(α-1） （5）（4）、（5）中的常数α>1称为幂律指数。注意，给定x的一个选项，指数α是幂律分布中唯一的自由参数。下文将描述计算参数α和x的设置程序。目前，我们注意到α的最佳值取决于xlogarithy（即轻度）。幂律分布（也称为Zipf或Pareto分布）在现实和社会中都普遍存在，参见例如[7]的综述，并且通常是复杂系统的特征。参考文献[7]给出了语言、人口学、商业、计算机科学、信息论、物理学、天文学、地质学等领域幂律分布的许多例子。似乎在“宽”分布中（即随机变量的分布可能因数量级的不同而不同），幂律分布通常是一种规则，而不是例外。对于非幂律分布的宽分布，参考。

[7] 提到了一些（不是太多）用对数正态分布或“拉伸指数”（Weibull）分布更好地描述的例子。在我们对真实运营损失数据集的实验中，我们发现幂律分布（4）在稳定性和尾部数据匹配质量方面都优于Weibull和对数Weibull分布，而对数正态分布的性能也差不多。3轮廓积分的尾部概率3.1矩生成函数我们从幂律（帕累托）分布的矩生成函数（MGF）开始：M（z）=Ee-zX公司= (α - 1） （zx）α-1Γ (1 - α、 zx），z≥ 0（6）注意，我们的符号约定是指（6）定义的MGF与分布的Laplacetransform一致。在下面的内容中，我们还将使用f（x）的特征函数（CF），它等于在纯虚变元下计算的MGF：φ（z）=EeizX公司= M级(-iz）（7）注意，上不完全伽马函数Γ（s，z）具有以下渐近行为：Γ（s，z）=（zs-1e级-z1+秒-1z+。, 如果| z |→ ∞, |arg z |<π（s）- zshs公司-zs+1+。i、 如果| z |→ 0，Re s<0（8）这意味着M（z）在极限z内的以下行为→ 0和| z |→ ∞:M（z）=（xze-xzh1型-αxz+O（z-2） i，如果| z |→ ∞, |arg z |<π1- Γ(2 - α） （xz）α-1+α-12-αxz+O（z），如果| z |→ 0，α>1（9）更常见的是将MGF定义为EezX公司.上不完全伽马函数Γ（s，z）可以用反超几何函数表示，也称为库默函数：Γ（s，z）=Γ（s）-zssΦ（s，1+s，-z） （10）使用（6）中的公式，我们得到m（z）=Φ（1- α, 2 - α, -xz）- Γ(2 - α） （xz）α-1（11）注意，Kummer函数Φ（a，b，z）是z的解析（全纯）函数，而（11）中第二项中的幂函数在复z平面中具有分支切割奇点，可以选择其作为区间[-∞, 0].

我们注意到，其他重尾分布，尤其包括对数正态分布，具有类似分析性质的MGF。我们下面开发的方法非常通用，适用于MGF在具有分支切割奇点的复杂平面中分析的任何分布。虽然未使用MGFI的明确形式，但该方法适用的唯一附加要求是MGFdoes在左半平面内不会增长太快。特别是，帕累托分布的MGF在这个意义上表现良好。实际上，如式（9）所示，M（z）渐近增长~ e-xzin是左半平面，但在计算尾部概率时，此散度是可积的（见下文）。对于拼接分布（1），MGF函数的形式与等式（11）相似：M（z）=R（z）- ωΓ(2 - α） （xz）α-1（12）其中，我们将函数R（z）定义如下：R（z）=ωΦ（1- α, 2 - α, -xz）+（1- ω） M（z）（13），其中M（z）表示“主体”分布f（x）的MGF。我们假设这个分布有所有的时刻。在这种情况下，M（z）是z的解析函数，因此函数r（z）也是解析函数。请注意，R（0）=1。为了计算复合分布的MGF，我们需要指定一个损耗频率模型。为简单起见，我们假设时间范围T=1的损失频率由强度为λ的泊松分布给出。假设损失严重程度和损失频率过程是独立的。个人损失也是独立的。在这种情况下，复合过程的MGF Mλ（z）（单个损失的随机和X+…+Xnof，其中n从泊松分布随机抽取）可以明确计算：Mλ（z）=∞Xn=0（λT）nn！e-λT[M（z）]n=eλT（M（z）-1） （14）注意as ez是一个完整的函数（即。

它在整个复平面上是解析的），复合MGF Mλ（z）在复z平面上是解析的，具有与单损耗MGF M（z）相同的分支切割奇点。此函数的其他符号为M（a，b，z）和f（a；b；z）。3.2作为轮廓积分的尾部概率回顾Heaviside阶跃函数θ（x）：θ（x）=exε2πiZ的积分表示∞-∞eizxz公司- iεdz（15），其中ε>0是任意的。在实践中，使用极限ε是很方便的→ +0，这将在下面的内容中假定。使用留数定理，很容易检查公式（15）定义的θ（x）在x>0时为1，在x<0时为0。实际上，当x>0时，我们在上半平面中闭合顶点，由于z=iε时极点处的剩余，积分为1。否则，如果x<0，我们在下半平面中闭合轮廓，积分等于零。使用公式（15），我们可以用pdf p（x）写出损失分布的尾部概率，如下所示：(R)F（s）≡ P（X>s）=Z∞dx p（x）θ（x- s） =Z∞dx p（x）e（x-s） ε2πiZ∞-∞eiu（x-s） u型- iεdu（16）交换两个积分的阶，我们得到'F（s）=e-sε2πiZ∞-∞e-isuu公司- iεφ（u- iε）du（17），其中φ（z）代表分布p（x）的特征函数：φ（z）=EeizX公司=Z∞dx eizxp（x）（18）通过关系式u=iz+iε引入一个新变量z，我们得到'F（s）=-2πiZ-ε+i∞-ε-我∞eszzφ（iz）dz=-2πiZ-ε+i∞-ε-我∞eszzM（z）dz（19）注意，等式（19）中的积分轮廓平行于假想轴。我们假设MGF M（z）是eszM（z）→ 当| z |时，对于足够大的s为0→ ∞ 当Re z<0时（当我们考虑特定应用时，我们将回到下面的这一点）。在这种情况下，我们可以通过添加半圆C来生成闭合轮廓：| z |=R→ ∞, 在初始开放轮廓的左半平面上，Re z<0。