保持真实：复合重尾分布的尾部概率

如果满足（59），等式（58）有两个实根wand，用Lambert函数W（z）和W表示-1（z）（见【3】）：w=-W(-κ) , -1.≤ -κ < ∞, W(-κ) ≥ -1w=-W-1(-κ) , -e≤ -κ<0，W-1(-κ) ≤ -1（60）我们注意到，第一个鞍点walso出现在右半平面Re z中M（z）的鞍点分析中≥ 0（见参考文献[11]），而在我们的方法中，我们集中于左半平面Re z中M（z）的行为≤ 0，其中第二个鞍点w出现在w之外。很快就会看到，正是第二个鞍点w确定了沿z处分支切割的M（z）的想象部分∈ [-∞, 0].Lambert函数W（x）和W-1（x）对小x有以下展开式[3]：W（x）=∞Xn=1(-n） n个-1n！xn=x- x+x+。W-1（x）=对数(-x） +日志(-日志(-x） ）+。（61）注意当κ→ 0（即x→ 0），我们有w 1和w 1，使两个鞍点在该极限内彼此充分分离。现在计算二阶导数eg（z）=-κez- 1=κew- 1=w- 1（62）我们看到g（w）<0，而g（w） 因此，当通过w时，鞍点轮廓应平行于实轴，而当通过w时，鞍点轮廓应平行于虚轴（详见下文）。注意，因为两个鞍点在极限κ中很好地分开→ 0，在鞍点近似中，积分（54）量的计算为分别在点w+iπ和w+iπ附近使用g（z）的二次近似计算的两个单独鞍点积分之和。此外，g（w+iπ）=w-w、 我们看到g（w+iπ）=O（1），而g（w+iπ）→ -∞ 同w→ ∞ （即κ→ 0).

因此，第二个鞍点的贡献是真实的xeiπ与第一个鞍点w的贡献相比，指数上受到抑制，因此可以安全地忽略极限κ→ 使用标准参数获得鞍点近似值，参见例[9]。Weexpand g（z）在鞍点zg（z）=g（z）+2的泰勒级数中！g（z）（z- z） ++3！g（z）（z- z） +4！g（4）（z）（z）- z） +。（63）（其中一阶项省略为g（z）=0），并引入以下符号g（z）=ρeiθ（ρ≥ 0）z- z=teiφ（64）g（z）=u（x，y）+iv（x，y）注意（ρ，θ）=（1- w、 π）对于z=w+iπ，和（ρ，θ）=（w- 1，0），对于z=w+iπ。所有高阶导数g，g（4）。在两个鞍点处均为实值。利用等式（63）中的这一点，第二个鞍点wto的指数抑制贡献为实部Re MxeiπArises由于最陡下降等高线（66）中第一条弧右边缘的积分，见下文。我们得到u（x，y）=u（x，y）+ρtcos（θ+2φ）+Xn=4,6。。。ng（n）（z）tncos（nφ）v（x，y）=v（x，y）+ρtsin（θ+2φ）+Xn=3,5。。。ng（n）（z）tnsin（nφ）（65）因此，最陡下降路径由约束cos（θ+2φ）=-1、对于w=w，产生φ=0，对于w=w，产生φ=π/2。当dz=eiφdt靠近鞍点时，这意味着dz=t靠近w，dz=idt靠近w。因此，最陡下降轮廓应平行于z=w+iπ处的实轴，平行于z=w+iπ处的虚轴，如上所述。通过两个鞍点并对积分（54）的虚部和实部都起作用的鞍点轮廓C可以由三条直线组成（见图。

2） ：C=x+iπ，如果-∞ < Re z<ww+iθ，如果Re z=w，0≤ θ ≤ πx，如果Re z>w（66），注意as cos（θ+2φ）=-1在鞍点轮廓C上，（65）中的第二个方程表示v（x，y）=v（x，y）沿该轮廓。在我们的例子中，两个鞍点的v（x，y）=0，因此C上的v（x，y）=Im g（z）=0。图2：积分的积分轮廓（54）。沿最陡下降路径C的Im g（z）=0的最后一个观察结果表明，鞍点w+iπ的贡献（更准确地说，第一个弧（66）的全部贡献）在计算虚部时会下降，因为在变量z=x+iπ：ImZw+iπ变化后，该积分的被积函数和积分轮廓都变为实数-∞+iπdz√2πσexp-κez+（z- iπ）/2σ= ImZw公司-∞dx公司√2πσexp“--κex+xσ#=0因此，即使在计算实部Re Mxeiπ（见下文），由于鞍点轮廓是在w（2）+iπ附近的复值，第二个鞍点是唯一确定M（z）沿分支切割的虚部的点。对想象力的主要贡献xeiπ来自等高线（66）中第二条弧的积分（与第二条弧的贡献相比，第三条弧上的积分被指数抑制，见下文）。注意，wto的贡献——M（z）的虚部——正是由于明智地选择了一体化轮廓（66）。除非发生此类取消，否则Im M的准确计算xeiπ对于所有实际目的而言，这都是不可能的，因为它需要计算一个具有大“数值噪声”的指数抑制量，这将由（66）中第一个弧的贡献计算错误所驱动。

该积分的可叠加点近似产生以下结果：Im Mxeiπ= -经验值σw-w√w- 1.1+σw（w- 1） +Ow-2.（67）和Im Mxe公司-iπ= -Im M公司xeiπ. 公式（67）的额外因数是由于鞍点轮廓（66）仅涉及线的一半[w- 我∞, w+i∞] 否则，将作为单个鞍点在wand g（w）>0处的问题的鞍点轮廓获得。注意，公式（67）是一个渐近展开式，适用于小1/w→ 0，即对于κ→ 还要注意，w（以及κ）中该表达式的非分析性，这是由于（67）中平方根函数的分支切割奇异性造成的。为了证明鞍点轮廓（66）的第三条弧对积分（54）的贡献I（κ）可以忽略，如上文所述，我们使用以下不等式：| I（κ）|<Z∞wdx公司√2πσexp-κex-2σ（x- π)<σ√2πwexp-wσ-2σ（w- π)这里的第二个不等式是通过注意函数φ（x）的最大值得到的=-κex-x个- π在左边界x=w处获得，并将φ（x）扩展为线性化器φ（x）=φ（w）+φ（w）（x- w） +。计算积分。我们看到，与公式（67）中计算的贡献相比，Im I（κ）被指数抑制，并且在极限w中可以忽略不计→ ∞ （即κ→ 0). 同样，Re I（κ）相对于第一条等高线弧（66）的贡献呈指数级增加，我们将在下面看到。转向沿分支切口计算M（z）的实部，现在只有第一个鞍点w（即轮廓的第一条弧（66））决定了实部Mxeiπ, 高达指数抑制项。鞍点近似产生以下结果：Re Mxeiπ=经验值σw-w√1.- w1+σw（1- w） +Ow（68）下面将使用表达式（67）和（68）计算对数正态变量随机和的尾部分布。

在这样做之前，我们想验证等式（67）再现了在一般表达式（52）中替换时单个对数正态损失尾部的正确渐近行为。4.2单个对数正态分布的尾部概率在本节中，我们检查我们的等高线积分表示是否正确再现了对数正态分布尾部的渐近行为（45）：\'F（s）=N-日志s- uσ=√2πσlog s- uexp-2σ（对数s- u)+ . . . （69）我们的方法受到了轮廓积分方法的启发，这些方法在量子力学（见参考文献[6]，$51）和量子场论[13]中用于估计指数抑制积分的类似问题。在接近有限积分极限后【w】- iπ，w+iπ]通过有限极限[w- 我∞, w+i∞], 其仅适用于极限w的鞍点近似→ ∞. 有限区间和有限区间所得结果之间的差异被指数抑制为κ→ 0，因此只要我们在推导中省略其他指数抑制项，就应该省略。如上所示，只有第二个点W确定沿分支切割的虚部Im M（z）。因此，为了简化符号，在本节中，我们省略了鞍点的索引，并将其简单地写为w=w，没有任何混淆。注：积分（52）涉及x上的积分，而渐近表达式（67）适用于任意固定（和小）值x→ 因此，在网格{xi}（i=1，2，…）上离散后，可以计算积分（52），通过计算网格上每个值xion的鞍点z（xi）。但是，更改积分变量x要方便得多→ w使用公式（58）作为变量变化的定义，从而避免重新计算网格上不同值的鞍点。

x变量用w表示如下：x=σe-uw扩展(-w） （70）和变换isJ的雅可比J=x个w=σe-u-w（w- 1） （71）将其与公式（67）一起用于公式（52），并截断x=σe处的积分-u-1（仅限s→ ∞), 我们获得'F（s）=-2πZ∞dxe公司-sxx型Im M（x）\'-2πZσe-u-1dxe-sxx型Im M（x）=2πZ∞dww公司√w- 1经验值σ-瑞典-u-w+w-w1+σw（w- 1)+ . . .≡2πZ∞dww公司√w- 1经验值σΦ（w）1+σw（w- 1)+ . . .（72）式中Φ（w）=-瑞典-u-w+w-w（73）该积分可在极限s内计算→ ∞ 使用鞍点近似。鞍点是方程dΦ（w）dw=（w）的解- 1)东南方-w-u- 1.= 0（74）该方程有两个解w=1和w=log s- u，然而，只有第二种溶液w与Φ（w）的最小值相对应，可以通过等式（74）的差异轻松检查。因此，我们选择的是鞍点W=对数s- u（75）注意w 1当s→ ∞. 我们围绕这一点展开Φ（w）：Φ（w）=Φ（w）+Φ（w）（w- w） +。（76）我们有Φ（w）=-（日志s- u）Φ（w）=-log s+u+1（77）省略（72）中的校正项，前导阶鞍点近似值为'F（s）=√2πσlog s- uexp-2σ（对数s- u)+ . . . （78）与公式（69）一致。因此，我们使用knownexpression对单损失对数正态分布的尾部概率进行了验证。4.3具有对数正态尾的拼接分布的尾部概率现在，我们想讨论一个具有低损失“体”的拼接损失严重性分布的实际重要案例，其中MGF M（z）和对数正态尾从连接点X开始。拼接分布的MGF Ms（z）为：因此，Ms（z）=ωИM（z）+（1- ω） M（z）（79），其中M（z）表示对数正态分布的MGF，从下方x处截断。与之前一样，我们假设“主体”的MGF M（z）是z的解析函数，即该分布具有所有力矩。

归一化截断对数正态分布具有以下PDF：~p（x）=θ（x≥ x） ν√2πσxexp-2σ（对数x- u), ν=N-日志x-uσ（80）截断对数正态分布的MGF读数为▄M（z）=νz∞xdx公司√2πσxexp-xz公司-2σ（对数x- u)（81）注意，除了常数乘数ν外，积分（81）仅在积分下限（xin而非0）与定义未截断对数正态分布的MGF的积分（48）不同。重复导致公式（54）的步骤，但这一次，对于x的下限，我们得到Mxeiπ= νZ∞(R)wdz√2πσexpσg（z）, (R)w=对数x- u（82），式（55）中定义了函数g（z）。后一个积分现在可以使用上文针对未截断对数正态分布所做的样点近似来计算。然而，在这种情况下，无需进行详细的重新计算。回想一下，鞍点近似的结果对前导阶和积分边界的精确值并不敏感，只要后者远离鞍点。这意味着只要 w（式（60）中定义），Ms的虚部结果xeiπ与M相同（达到恒定乘数）xeiπ（见公式（67））：Im Msxeiπ= -ωνexpσw-w√w- 1.1+Ow-1., （(R)w） w） （83）计算Ms的实部xeiπ, 我们必须分别考虑两种情况：“w<wand”w>w。在第一种情况下，第一个鞍点赢方程。（60）位于integrationinterval内，并且Re Ms的结果xeiπ读数（见等式（68））Re Msxeiπ= (1 - ω） Re M公司xeiπ+ ωνexpσw-w√1.- 另一方面，在第二种情况下，鞍点位于积分区间外。在这种情况下，被积函数的最大值在积分区间的左边界处达到。

这种情况下的渐近表达式为Msxeiπ= (1-ω） Re M公司xeiπ+ωνσ√2πexpσ\'\'w-\'\'w\'\'w- κe'w[1+O（w）]，（'w>w）（85）注意，虽然在前面的表达式（84）中，第二项通过won x的依赖关系依赖于x（见等式（60）），但等式（85）中的第二项是x中的常数，因此Re Ms的x依赖关系xeiπ在情况下，w>仅因TGF M的x依赖性而变暖xeiπ分配的“主体”。4.4具有对数正态尾的复合分布的尾概率本节，我们使用一般关系式（22）和渐近关系式（83）-（85）来计算复合分布尾部概率的渐近展开，其中单个损失分布由具有aMGF M（z）的低损失“体”和从接合点x开始的对数正态尾部的拼接分布给出。具有泊松频率的复合分布的MGF分布为λ（z）=eλT（Ms（z）-1） （86）式（79）中定义了Ms（z）。回想一下，等式（22）仅适用于增长速度不超过e的MGF-xzin左半平面。在当前设置中，这是M（z）的情况→ 当z=Reiθ和R时为0→ ∞和π≤ θ<3π（见等式（51）），这意味着Mλ（z）在左半平面内有界。Mλ（z）的虚部在z处的分支上的不连续性∈ [-∞, 0]读取 Im Mλxeiπ= 2eλT（ReMs（xeiπ）-1） 罪恶λT Im Msxeiπ（87）使用公式（22）中的公式，我们得到'Fλ（s）=-πZ∞dxxe-sx+λT（ReMs（xeiπ）-1） 罪恶λT Im Msxeiπ（88）等式（88）和等式。（83）-（85）构成了我们的第三个主要结果，该结果为具有对数正态尾的单损失分布的复合分布提供了快速收敛积分。与式（36）类似，该积分由x作为s的小值控制→ ∞, 因此，我们有理由使用渐近关系（83）-（85）对该极限下的积分（88）进行数值计算。

同样与式（36）相似，低损耗分量f（x）仅通过其最低点有效地进入式（88），导致复合分布的尾部行为与单个小损耗解耦。5复合重尾分布的复合分布在本节中，我们简要讨论了现有形式的可能扩展，以计算复合损失分布的尾概率，其中单个成分本身是由具有重尾的单个损失分布构成的复合分布。尤其是当计算一个金融机构的总风险值时，会出现这样的问题，该金融机构有许多不同之处。让X，XN（i=1，…，N）是以N个不同计量单位表示的总损失。设M（i）λ（z）为这些计量单位的复合损失分布的相应MGF，λibe为其泊松频率。关于损失在所有计量单位中的联合分布，最简单的假设是保证它们之间的独立性。这种假设可以基于对运营损失相关度量的准确估计存在差异，以及没有任何明显的机制会导致不同计量单位之间的损失相关性来进行调整。在这种情况下，总损失的MGF X=X+…+XNis由individualMGFs的乘积给出。使用公式（14），我们得到mλ（z）=NYi=1M（i）λ（z）=NYi=1exp[λiT（Mi（z））- 1） ]=exp“NXi=1λiT（Mi（z））- 1） #（89）由于该表达式具有与式（14）相同的函数形式，因此可以使用与上面用于计算单个化合物分布的尾部概率相同的关系式（22）来计算化合物分布的尾部概率。或者，如果认为需要或有必要对不同计量单位的单个复合损失之间的依赖关系进行显式建模，则可以通过多种方式以易于处理的方式引入此类依赖关系。

一种简单的方法是提升泊松强度λiinto随机变量λi（Z），该变量依赖于M个公共