论马科维茨式投资策略的低效性

因此，RMO在所有容许M上的最大化∈ 带约束d的Γ×（0，1）*M=d*K必须至少与RK一样大。备注：请注意，马尔科维茨式策略可被视为用γ=K和dmax获得的水位下降调制类的子类→ 此外，如第六节所述，上述引理中的不等式通常是“严格的”换言之，马科维茨式投资方案可能会被调制器类的策略“严格控制”。六、 举例说明在许多应用中，经纪人对杠杆的限制迫使其满足现金融资条件| I（k）|≤ V（k）；i、 e.，f或水位下降调制反馈，为保证满足该条件，第四节中所述的γ约束增加为包括|γ| M（k）≤ 1、同样，对于马科维茨式的投资策略，为了保证现金流入条件，我们增加了约束K，以包括| K |≤ 在下面的示例中，我们对马科维茨风格投资施加的约束也用于调制方案。现在，我们通过示例说明我们的结果在支配上的使用。我们从N=2的简单情况开始，其中可以以闭合形式进行计算。然后，我们研究了使用蒙特卡罗模拟的N>2的更一般情况。

事实上，对于N=2，我们认为这是一场单掷硬币的赌博，由独立且相同分布的随机变量X（k）描述，甚至有金钱回报∈ {-1，1}和P（X（k）=1）。=p>1/2。两种方案的奖励风险计算：现在，从u=E[X（k）]=2p开始- 1，对于参数r K>0的Markowitzstyle下注策略，关联的预期回报率很容易计算为beRK=（1+K（2p- 1))- 1.awdown博士预计的最大百分比是由byd给出的*K=K（1- p） （2）- K+Kp）。对于压降调制器对M.=（γ，dmax），长度Y但简单的计算会导致预期回报和预期的最大百分比压降，给定byRM=γdmax（2p- 1） （γdmaxp+γp- γ+2）和d*M=γdmax（1- p） （2）- γ+γp）。严格控制的演示：现在，我们使用下降调制反馈策略建立“严格控制”。也就是说，对于任何0<K<1，我们证明存在一个调制器M=（γ，dmax），使得rk<R*必需的*M=d*K、 事实上，为了证明这一点，将γ=1和dmax=K（2- K+Kp）1+p通过设置D获得*M=d*卡博夫。很容易证明，0<dmax<1，通过将dmax和γ替换为rm，经过长时间但简单的计算，我们得到rm=K（2p- 1)(2 - K+Kp）f（K，p）（1+p），其中f（K，p）。=2Kp- Kp+Kp+p+2p+1。现在，为了建立所需的域名，我们要求RM>RK。为了证明这一点，我们证明了上述左右两侧之间的差异是正的。实际上，通过一个冗长而直接的计算，我们得到了- RK=K（1- K） （1）- p） p（2p- 1） （3+p+Kp- K） （1+p）。注意到上面的0<K<1和p>1/2，上面描述的差分的分子和分母都是严格正的。因此，RM>RK。

为了完成这一分析，在图4中，我们提供了一个曲线图，该曲线图显示了基于我们的RM计算的差异中严格控制的程度- RK以上。0.0050.90.010.80.9p0.80.015K0.70.70.60.6图。4： 预期回报中的严格控制程度N越大，效率越低的例子：我们再次考虑了一个单一的货币贬值场景，由独立且相同分布的随机m变量X（k）描述的平均货币回报∈ {-1/30，1/30}和P（X（k）=1/30）=0.6，相应的平均值u=E[X（k）]=1/150。我们选择N=252，并将其视为一年内二项Stock价格模型的交易问题，每日回报率变化约为±3.3%，对应于上述X（k）=1/30。注意，这种情况更偏向于X（k）=1/30。因此，我们研究了当0≤ K≤ 1、效率低下的证明：对于马尔科维茨计划，我们首先要获得预期的回报=1+K- 1、预计最大提取百分比d*就Kis而言，这个数量是通过执行大量Mon-te-Carlo模拟来计算的。我们的结论是0≤ K≤ 1、我们已经*K≈ 0.25K。对于施加现金融资条件的提款调制反馈，为了提高效率，我们按照以下步骤进行：如上第四节所述，针对给定的提款目标水平∈ （0，1），我们试图找到一对M=（γ*, dmax）最大化RMD，以d为准*M=bd。这两个参数优化通过大型蒙特卡罗模拟解决。那么，lettingR*M（bd）表示获得的近似最优值，我们在图5中生成虚线。我们发现，对于任何给定的风险水平，提取调整后的反馈会带来比马尔科维茨式投资方案更高的预期回报。

换言之，如图所示，马科维茨式的投资计划是“严格主导的”。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25预期最大提款百分比0.51.52.53.54.5 K>0提款调整的赌博风格图。5： N=252VII的风险报酬效率图。结论和未来工作在本文中，我们使用预期最大提取百分比和平均回报作为风险-回报对，证明了马科维茨式投资方案的无效性。这是通过所谓的下降调制反馈控制实现的。此外，作为奖励，该控制员被视为以概率为1的规定的提款保护水平。有趣的是，通过扩展本文给出的结果，可以注意到一个adrawdown调制控制器也可以用于获得其他retu rn度量的非常相似的支配结果。例如，如果将RKIS替换为预期的d对数增长E[log（V（N）/V（0）]，这是文献[3]、[5]、[6]、[19]和[20]的核心，则会得到与图5结果非常相似的性能比较。关于效率问题的进一步研究，一个显而易见的扩展是考虑涉及许多相关随机变量的投资组合案例；i、 我们把X（k）作为向量，而不是这里考虑的标量。当X（k）有尺寸，而ic h较大时，要找到可达到的性能曲线，即效率边界，可能需要一种旨在消除计算复杂性的算法。未来研究的另一个有趣的问题是，我们使用的降深调制反馈方案的反馈增益仅为纯增益γ。可以证明，时变反馈增益γ（k）可能会在风险-回报效率框架中取得优异的绩效。

最后，如第五节所示，引理并不保证“严格”支配。这项工作的一个有趣的扩展将是提供条件，在这种条件下可以开始严格。参考文献[1]H.Markowitz，“投资组合选择”，《金融杂志》，第7卷，第77-91页，1952年[2]H.Markowitz，《投资组合选择：投资效率多元化》，耶鲁大学出版社，1968年。[3] J.L.Kelly，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，第35.4卷，第917-9261956页。[4] B.R.Barmish和J.A.Primbs，“关于通过无模型反馈控制器进行股票交易的新范式”，IEEE Transactionson Automatic Control，AC-61，第662-6762016页。[5] C.H.Hsieh和B.R.Barmish，“论Kelly赌博：一些限制”，《Allerton通信、控制和计算会议记录》，第165-172页，蒙蒂塞洛，2015年。[6] C.H.Hsieh、B.R.Barmish和J.A.Gubner，“Kelly Botting Can beToo Conservative”，《IEEE决策与控制会议论文集》，第3695-3701页，拉斯维加斯，2016年。[7] 谢长浩（C.H.Hieh）和巴尔米什（B.R.Barmish），《股票交易中的提款调制反馈》，IFAC PapersOnLine，第50卷，第1期，第952-9582017页。[8] S.Malekpour和B.R.Barmish，“通过反馈控制在股票交易中的均值方差考虑有多有用”，《IEEE决策与控制会议论文集》，毛伊岛，2110-21152012页。[9] S.Malekpour和B.R.Barmish，“在布朗运动（BrownianMotion）控制的市场中，通过线性F反馈进行股票交易的提取公式”，《欧洲控制会议论文集》，瑞士苏黎世，第87-922013页。[10] Z.Bodie、A.Kane和A.Marcus，《投资》，麦格劳·希尔，2010年。[11] D.G。Luenberger，《投资科学》，牛津大学出版社，纽约，2011年。[12] M.Ismail、A.Atiya、A.Pratap和Y.Abu Mostafa，“关于布朗运动的最大下降”，应用概率杂志，第卷。

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