论马科维茨式投资策略的低效性

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英文标题：
《On Inefficiency of Markowitz-Style Investment Strategies When Drawdown
  is Important》
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作者：
Chung-Han Hsieh and B. Ross Barmish
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The focal point of this paper is the issue of \"drawdown\" which arises in recursive betting scenarios and related applications in the stock market. Roughly speaking, drawdown is understood to mean drops in wealth over time from peaks to subsequent lows. Motivated by the fact that this issue is of paramount concern to conservative investors, we dispense with the classical variance as the risk metric and work with drawdown and mean return as the risk-reward pair. In this setting, the main results in this paper address the so-called \"efficiency\" of linear time-invariant (LTI) investment feedback strategies which correspond to Markowitz-style schemes in the finance literature. Our analysis begins with the following principle which is widely used in finance: Given two investment opportunities, if one of them has higher risk and lower return, it will be deemed to be inefficient or strictly dominated and generally rejected in the marketplace. In this framework, with risk-reward pair as described above, our main result is that classical Markowitz-style strategies are inefficient. To establish this, we use a new investment strategy which involves a time-varying linear feedback block K(k), called the drawdown modulator. Using this instead of the original LTI feedback block K in the Markowitz scheme, the desired domination is obtained. As a bonus, it is also seen that the modulator assures a worst-case level of drawdown protection with probability one.
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中文摘要：
本文的重点是在股票市场的递归下注场景和相关应用中出现的“提款”问题。粗略地说，资金减少被理解为财富随时间从峰值下降到随后的低点。出于保守投资者最为关注这一问题的动机，我们放弃了经典方差作为风险度量，将提取和平均回报作为风险-回报对。在这种背景下，本文的主要结果解决了线性时不变（LTI）投资反馈策略的所谓“效率”，这与金融文献中的马科维茨式方案相对应。我们的分析从以下在金融领域广泛使用的原则开始：给定两个投资机会，如果其中一个具有较高的风险和较低的回报，则将被视为效率低下或被严格控制，并在市场上普遍被拒绝。在这个框架中，使用如上所述的风险-回报对，我们的主要结果是经典的马科维茨式策略是低效的。为了实现这一点，我们使用了一种新的投资策略，该策略涉及一个时变线性反馈块K（K），称为下降调制器。使用该方法代替Markowitz格式中的原始LTI反馈块K，可以获得所需的控制。此外，还可以看到，调制器以概率1确保了最坏情况下的水位下降保护水平。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> On_Inefficiency_of_Markowitz-Style_Investment_Strategies_When_Drawdown_is_Important.pdf (272.09 KB)

2022-6-1 11:31:57 上传

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关键词：投资策略 马科维茨 科维茨 Mathematical Optimization

当撤资非常重要时，马科维茨式投资策略的无效性洪汉谢汉德B.罗斯·巴米什摘要——本文的重点是“撤资”问题，这一问题出现在股票市场的递归投注场景和相关应用中。粗略地说，资金减少被理解为财富在一段时间内从峰值下降到随后的低点。出于保守投资者最为关注这一问题的动机，我们将经典方差作为风险度量，并将提取和平均回报作为风险回报对。在这种情况下，本文的主要结果解决了线性时不变（LTI）投资反馈策略的所谓“效率”，该策略与金融文献中的马科维茨式方案相对应。我们的分析从以下在金融中广泛使用的原则开始：如果有两个投资机会，如果其中一个具有较高的风险和较低的回报，则将被视为无效或被严格控制，在市场上通常被拒绝。在这一框架中，对于上文所述的风险-回报对，我们的主要结果是经典的马科维茨式策略是无效的。为了证实这一点，我们使用了一种新的投资策略，该策略涉及时变线性反馈块K（K），称为下降调制器。在Markowitz方案中，使用this代替原来的LTI反馈块K，得到了期望的控制。此外，还可以看到，调制器以概率1确保了最坏情况下的水位下降保护水平。一、 简介本文的重点是股票市场中递归投注场景和相关应用中的提款问题；i、 例如，我们考虑财富随时间从峰值下降到随后的低点。

鉴于这一问题是保守投资者或投资者最关心的问题，我们不使用经典方差作为风险度量，而是使用支取。因此，我们的r isk rewardpair是通过将这个数量与预期的回报相结合来获得的。从这一动机开始，在本研究中，我们研究了使用线性反馈控制策略调整每个阶段选择的时变投资水平I（k）时所产生的“效率”问题。在续集中，我们的理解是I（k）表示“投资”或“打赌”我们可以改变地使用这两个术语。Markowitz和Kelly策略以其最简单的形式告诉我们，每个阶段k的投资I（k）应“与财富成比例”更准确地说，如果V（k）是投资者的账户价值，或者bettorChung Han Hsieh是威斯康辛大学麦迪逊分校电气与计算机工程系的研究生，邮编53706。电子邮件：hsieh23@wisc.edu.B.Ross Barmish是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。电子邮件：barmish@engr.wisc.edu.at阶段k，则该策略由时间不变量反馈i（k）=KV（k）描述，其中常数k表示下注的acc count比例。我们还将上述I（k）称为阿马科维茨式投资乐趣。通常，在选择常数K时，我们会包含weexpress为K的约束∈ K、 当K包含负n个数字时，这意味着允许卖空。在这种情况下，I（k）<0表示投资者正在接受所提供交易或赌注的“对方”。一个重要的例子是K=[-1, 1].

在这种情况下，| I（k）|≤ V（k），并且该投资据说是现金投资。上述LTI反馈控制方案的类型不仅在这里很重要，而且是我们早期工作的核心。要更清楚地查看控制理论设置，请参见图1。在图中，X（k）是独立且分布均匀的随机变量，代表第k次投资I（k）的回报，相关收益或损失为I（k）X（k）。对于卖空案例，当X（k）<0时会产生收益。图1：马科维茨式赌博反馈配置效率低下的概念：要遵循的分析从以下原则开始，这一原则在金融业中被广泛使用：给定两个投资机会，如果其中一个具有较大的风险和较低的回报，将被视为效率低下，并被市场普遍拒绝。这样一个不科学的方案被称为“绝对不祥”当与这些条件相关的不平等不一定严格时，我们也提到了被“支配”的策略。如前所述，在文献中，风险报酬对最经典的选择是方差和预期收益；e、 g.，见【1】、【2】和【10】。虽然使用这一对非常有用，但它依赖于收益是正态分布的假设。因此，如果回报分布是倾斜的，那么使用这种风险回报指标可能会产生误导；e、 如需更多详细讨论，请参见【8】、【9】和【11】。更重要的是，如前所述，就本文而言，在研究效率时，我们使用的不是经典方差作为风险度量，而是财富减少，这从风险管理的角度来看很重要。可以说，支取问题在财务文献中受到了广泛关注；e、 g.，见【12】-【18】。在这些论文中，参考文献[15]和[16]最为相关。

尽管他们的问题设置和假设与我们的不同，但他们包含了一个基本理念，这一理念对我们的调制控制器至关重要，如下所述：投资水平作为“迄今为止的提款”的函数进行动态控制在上述背景下，我们关于效率的新结果基于最大百分比下降和预期回报率作为风险回报对。本文的主要结果：为了研究效率，我们采用了一种新的反馈控制，它推广了马科维茨式的投资计划。这种新的控制包括一个恒定增益γ和一个b锁M（·）来控制[7]中引入的压降调制器；见图2。借助modu la tor区块，weshow有可能“支配”马科维茨式战略；i、 我们可以获得相同的预期下降和更高的预期回报。这是因为调制器M（·）包括V（0）、V（1）、…、的存储器。。。，V（k- 1） 而经典的马科维茨式投资策略I（k）=KV（k）是无记忆的。除了我们在上述控制方面的主要结果外，作为“奖励”，我们还看到调制器确保了所描述的最差c a se下降保护水平，这是以概率1保证的。图2：下降调制反馈配置I。经典的缩编概念与现有缩编文献的主体一致，我们使用的定义如下：对于k=0，1，2。。。，N、 我们让V（k）为对应的帐户值。然后，随着k的发展，到目前为止的提取百分比被定义为asd（k）=Vmax（k）- V（k）Vmax（k），其中Vmax（k）。=最大值0≤我≤kV（i）。这将导致总体最大百分比下降*.= 最大值0≤k≤Nd（k），这是后续分析的核心。请注意，0≤ d*≤ 1、尽管本文未考虑，但还有另一个众所周知的基于水位下降的措施，称为最大绝对水位下降。

读者可参考[12]和[13]了解有关此主题的工作。0 5 10 15 20 25次，kd*≈ 0.833图。3： 最大提取百分比提取定义说明：为了进一步说明提取的数量，我们考虑一个如图e 3所示的假设账户价值V（k）的例子。从图中，总体最大百分比dr awdownd*=3.- 0.5≈ 0.833发生在阶段k=7。请注意，该最大百分比下降不一定等于最大绝对下降，其值为4.5，发生在阶段k=24。经常使用百分比下降代替绝对下降，以便考虑到下降的规模。三、 投资细节和效率本节更详细地描述了经典的马科维茨式投资方案。首先，对于k=0，1，2。。。，N- 1，我们假设X（k）是独立的、独立分布的（i.i.d.）随机变量，表示序列下注的收益。我们假设Xmin≤ X（k）≤ Xmax，其中Xmin和Xmax是支持中的点，用X表示，并且满足Xmin<0<Xmax。回顾第一节中的讨论，第k项投资由I（k）给出KV（k）。确保feedb ack增益K保证V（K）≥ 0 f或所有k，我们要求-最大间隙≤ K≤|Xmin |感到满意。读者可参考[6]了解有关此情况的更多详细信息。还需要注意的是，上面允许I（k）<0；i、 e.根据第一节，允许卖空。也就是说，当X（k）>0时，I（k）>0导致收益，当X（k）<0时，I（k）<0导致收益。现在，从初始a c计数值V（0）>0开始，到术语最终状态V（N）的演变过程依次由回复V（k+1）=V（k）+I（k）X（k）=（1+KX（k））V（k）描述。这导致终端帐户值v（N）=N-1Yk=0（1+KX（k））V（0），这对于计算接下来各部分的总体回报非常有用。

虽然本页的焦点不在这里，但值得注意的是，上面选择反馈增益K有许多可能性。在这些可能性中，选择K的普遍标准要求最大化预期的财富对数增长；eg、 ，请参见[3]、[5]、[6]、[19]和[20]。效率考虑：现在的问题是，马科维茨式投资计划的效率如何。实际上，对于任何样本路径X（k），我们让Rk表示总体回报；i、 e.，RK=V（N）- V（0）V（0）=N-1Yk=0（1+KX（k））- 沿着这条路，我们得到了*K、 =最大值0≤k≤NdK（k），是最大百分比下降。请注意，RK和d中的subscript K*Kis用于消除对反馈增益K的依赖。现在，为了研究效率，在接下来的章节中，我们使用RK和d的预期值*K以下。使用速记E[RK]和D*K、 =E[d*K] 为了表示这些量，我们得到了平面内可达到的风险收益性能曲线{（RK，d*K） ：K∈ K} 。此外，回顾X（k）是独立且分布相同的，让u=E[X（k）]，并使用上述Rk公式，我们得到Rk=E“N-1Yk=0（1+KX（k））#- 1=（1+KE[X（k）]）N- 1=（1+Ku）N- 1、关于D的计算*就Kis而言，除了较小的N值外，使用蒙特卡罗模拟计算该数量；详见第六节。进一步到d*K、 很难预测最坏情况下的百分比下降*.= 1.- (1 - |K | max{| Xmin |，Xmax}）n比d有用得多*k因为它对应于输掉每一次赌注，并且通常概率很低。

例如，对于一个简单的偶数金钱回报的投币式赌博，N=10，头部概率P（X（k）=1）=P=0.6，著名的凯利最优k=2p- 1=0.2，在[3]和[20]等pap中获得，导致d*= 1.- (1 - 0.2)≈ 0.89，最坏情况为89%。四、 支取调整本节的出发点是，上述c lassicalMarkowitz风格的投资策略是“无记忆的”也就是说，在阶段k，投资I（k）不依赖于V（0），V（1）。。。，V（k- 1). 现在，我们描述了当风险度量为下降百分比时，如何使用【7】中首次引入的“调节块”来提高性能。如下所示，这是线性反馈方案I（k）=KV（k）的时变一般化。首先，给定一个规定的常数0<dmax<1，表示最大允许百分比下降，下面的引理在我们的理论中起着重要作用。它为任何投资策略I（k）提供了必要和充分的条件，确保d（k）≤ Dmax，概率为1。为了便于本文的自我包含，我们在这里加入了[7]中的标题。下降调节引理：投资函数I（·）保证最大可接受的下降水平dmaxor小于概率1，当且仅当条件，-dmax（最大值）- d（k）（1）- d（k））XmaxV（k）≤ I（k）≤dmax（最大值）- d（k）（1）- d（k））| Xmin | V（k）沿所有多条路径均满足要求。证明：证明必要性，假设d（k）≤ Dmax对于概率为1的所有k，我们必须显示沿所有样本路径I（k）保持的所需条件。实际上，让kbe给定，因为d（k）≤ d最大值和d（k+1）≤ dmaxwithprobability one，我们声称这迫使I（k）上出现所需的不等式。在不损失一般性的情况下，我们证明了ca se I（k）的最右不等式≥ 注意，对于I（k）<0，使用了几乎相同的证明。

实际上，利用Xminis在支持向量X中的事实，Xmin存在一个合适的调用邻域o，称之为N（Xmin），例如p（X（k）∈ N（Xmin））>0。因此，给定任意小的ε>0，存在一些点Xε（k）<0，使得Xε（k）∈ Nε（Xmin），|Xmin- Xε（k）|<ε和d导致相关可变现损失I（k）| Xε（k）|。注意，Vmax（k+1）=Vmax（k），d（k+1）=d（k）+Xε（k）| I（k）Vmax（k）≤ dmaxwe现在取代了Vmax（k）=V（k）1- d（k）>0进入上述不等式，并注意到| Xε（k）|→ |Xmin | asε→ 0，w e获得（k）≤dmax（最大值）- d（k）（1）- d（k））| Xmin | V（k）。为了证明有效性，我们假设I（k）上的条件在所有样本路径上都成立。我们必须显示d（k）≤ 概率为1的所有k的dmax。通过归纳，对于k=0，我们得到d（0）=0≤ Dmax，概率为1。为了完成归纳论点，我们假设d（k）≤ 概率为e的Dmax，且必须显示d（k+1）≤ Dmax概率为1。在不损失一般性的情况下，我们再次为情况I（k）提供了一个证明≥ 0注意，对于I（k）<0，使用了几乎相同的证明。现在，注意d（k+1）=1-V（k+1）Vmax（k+1）和Vmax（k）≤ 在概率为1的情况下，我们将参数分为两种情况：如果Vmax（k）<Vmax（k+1），则nVmax（k+1）=V（k+1）。因此，我们有d（k+1）=0≤ dmax。另一方面，如果Vmax（k）=Vmax（k+1），借助账户价值的动态，我们得到了（k+1）=1-V（k）+I（k）X（k）Vmax（k）≤ 1.-V（k）- I（k）| Xmin | Vmax（k）利用I（k）上最右边的不等式条件，我们得到d（k+1）≤ 完成证明的dmax。降深调制反馈控制：受上述引理的激励，我们现在考虑formI（k）=k（k）V（k）的时变反馈控制，其中k=γM（k），其中M（k）=dmax（最大值）- d（k）1- d（k）和-最大间隙≤ γ ≤|Xmin |。注意0处的th≤ M（k）≤ dmax。在续集中，γ上的constraintabove表示为写入γ∈ Γ.

在下一节中，我们将看到两个设计变量dmax∈ （0，1）和γ∈ 当我们研究效率问题时，由设计人员选择。五、 支配引理现在表明，使用下降调制反馈，可以“支配”马科维茨式策略；i、 例如，它会导致相同的预期下降和可能更高的预期回报。此外，如前所述，我们还看到调制器以概率1确保了预先规定的最坏情况下的下拉保护水平。可实现的风险回报绩效：从今以后，我们使用notationm=（γ，dmax）∈ Γ×（0，1）表示允许的水位下降模式对。然后，RMAD会记录相关的收益率和最大提取百分比*M、 分别为。因此，对于预期回报和预期最大提款，我们编写了E【RM】和D*M、 =E[d*M] 。这将导致在byn描述的平面内设定的可实现风险再转绩效RM，d*M: M、 =（γ，dmax）∈ Γ×（0，1）o.为了获得上述集合中的分数，我们使用了著名的马科维茨风险转向理论中的一个想法；e、 g.，见【1】和【2】。也就是说，给定任何预期缩编的目标水平，称为itbd，我们寻求一个可容许对M=（γ，dmax）∈ Γ×（0，1）最大化rm受约束td*M=bd。在我们的例子中，这是通过在矩形约束γ和dmax上求解二维优化来实现的。我们现在准备解决贫困问题。控制引理：对于任何可容许的K∈ K、 存在压降调制器对M=（γ，dmax），使得Rm≥ RKandd公司*M=d*K、 证明：首先，获取drawdownbd的目标级别=d*K、 我们必须证明存在一个可容许对M=（γ，dmax），它导致*M=bd和RM≥ RK。实际上，取γ=K，让dmax→ 1、我们复制了马科维茨式投资方案的绩效；i、 e.我们获得*M=d*Kand RM=RK。