股票交易中的减持调制反馈控制

更具体地说，使用股票价格，我们首先计算相关回报sx（k）=S（k+1）- S（k）S（k）。现在让xi=X（i- 1） 表示i=1，2，…，的第i个计算返回值。。。，60，我们得到返回的估计PMF，即脉冲之和^fX（x）=Xi=1δ（x- xi），用作要执行的优化的输入。图4中绘制的PMF具有Xmin≈ -0.049和Xmax≈ 0.157. 因此，约束集Γ描述为-6.354≤ γ ≤ 20.248用于解决方钻杆优化问题。接下来，为了评估每个固定γ的J（γ），我们进行MonteCarlo模拟，从PMF中为S（k）生成100000条样本路径。然后我们使用这些来估计E[对数Vγ（N）]，这是J函数计算所需的。我们注意到，使用调制器可以自动确保满足降深要求。使用图5中的预期对数增长图，我们得到了由γ给出的J（γ）的最大值*≈ 11.15.-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15 0.2返回X（k）0.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.018图。4： 预计收益PMF^fX（x）-5 0 5 10 15 20-1-0.50.51.5×10-3γ*γ图5：在样本交易绩效中，预期增长与通过跌水调节获得的γ：现在，为了检验样本交易绩效，我们取初始a c计数值V（0）=10000，然后比较通过跌水调节反馈控制获得的交易绩效与通过经典凯利解获得的交易绩效。图6描述了样本中的一天模拟结果。特别地，我们看到了具有γ的d拉下调制反馈控制*≈ 11.15导致V（60）给出的账户价值=1.146×10，总提取百分比D*最大值≈ 0.047，在5%的允许上限内。

为了进行比较，我们还计算了作为我们公式的特例得到的经典Kelly解，即dmax→ 1、在这种情况下，最佳转角为γ*= 1，账户值V（60）=1.412×10，总百分比下降d*最大值≈ 0.186，远远高于我们通过调制获得的下拉。样本外交易分析：接下来，我们评估图3所示第二部分股票价格的样本外表现。也就是说，我们使用最佳反馈增益γ*≈ 11.15之前获得的，用于进行额外的新交易。同样，我们从相同的初始账户价值开始；i、 e.，V（60）=10000。相关交易绩效如图7所示。我们看到，下拉调制控制导致终端accountvalue V（120）≈ 1.005×10，总百分比下降d*最大值≈ 0.05（按要求）。相比之下，没有支取约束的经典Kellystrategy导致terminalaccount值V（120）≈ 1.136×10和总百分比下降d*最大值≈ 0.225，相当于22%。虽然该水平远高于规范dmax=0.05，但认为终端账户值更高。由于忽略了提款风险，预计会出现较高的回报。图7给出了一个有趣的观察结果。也就是说，当最大可接受水位下降Dmaxismit时，投资I（k）为零。因此，我们看到下降调制反馈控制产生了一种“止损”类型的行为。0 10 20 30 40 50 60天时间0.91.11.21.31.41.51.61.7×10经典KellyDrawdown调制KellyFig。6： 两种策略下的账户价值（样本中）60 70 80 90 100 110 120天内的时间0.850.90.951.051.11.15×10经典KellyDrawdown调制控制图。7： 两种策略下的账户价值（样本外）8。

广义下降调制第5节中的Dr awdown调制引理可以广义化，以处理n个股票的投资组合，如下所示：Si（k）是第i个股票价格，我们形成回报率xi（k）=Si（k+1）- Si（k）Si（k）对于i=1，2。。。，n并将其矢量化为x（k）。=[X（k）X（k）···Xn（k）]T在标量情况下，我们假设已知的边界最小，i≤ Xi（k）≤ Xmax，iwith-1<Xmin，i<0<Xmax，如果i=1，2。。。，n和k=0，1，2。。。，N- 1、我们让Vdenote定义由Xmin，iand Xmax，Ibove定义的超立方体的2n个顶点，并假设每个顶点∈ V在X（k）的支架X中。此后，为了简化记法，我们将Xmin和Xmax分别设为具有第i个分量的向量Xmin，i和Xmax，i，我们让| Xmin |用| Xmin，i |表示具有第i个分量的向量。现在，假设Ii（k）是投资向量i（k）的i-th分量，则相关账户值更新为V（k+1）=V（k）+IT（k）X（k）。现在用I+I（k）表示I（k）分量的正、负参数max{Ii（k），0}和I-i（k）。=min{Ii（k），0}分别，我们现在准备d为n-Stock投资组合的一般情况提供一个结果。为了完整起见，给出了与第5节中引理类似的证明。广义水位下降调制引理：投资函数I（·）保证th处于最大可接受水位下降水平dmaxor less，概率为1，当且仅当对于所有k，条件XTmin公司I+（k）- XTmaxI-（k）≤ M（k）V（k）沿所有样本路径均满足。证明：为了证明必要性，假设th为d（k）≤ dmaxforall k对于概率为1的所有示例路径，我们必须显示所需的条件I（k）沿所有示例路径保持。实际上，让k开始，因为d（k）≤ d最大值和d（k+1）≤ dmaxwithprobability one，我们声称这迫使I（k）上存在所需的不等式。

指数d，第i组分Ii（k）为i+i（k）或i-i（k），存在一个顶点v∈ V使得Vti（k）=XTmaxI-（k） +XTminI+（k）≤ 利用v在支撑X中的事实，可以得出v存在一个邻域，称之为N（v），这样p（X（k）∈ N（v））>0。因此，给定任意形状的ε>0，存在某个点Xε（k），使得Xε（k）∈ Nε（v），| | v- Xε（k）| |<ε并导致可实现损失XTε（k）I（k）≤ 注意，我们有Vmax（k+1）=Vmax（k）。因此，它遵循d（k+1）=d（k）-XTε（k）I（k）Vmax（k）≤ dmax。现在，替换Vmax（k）=V（k）1- d（k）>0进入上述线路质量，并注意XTε（k）I（k）→ vTI（k）为ε→ 0，我们得到| XTmin | I+（k）- XTmaxI-（k）≤ M（k）V（k）。为了证明有效性，我们假设I（k）保持所有样本路径的条件。我们必须显示d（k）≤ 概率为1的所有K的Dmax。通过归纳，对于k=0，我们得到d（0）=0≤ Dmax概率为1。为了完成归纳论证，我们假设d（k）≤ 概率为1的Dmax，且必须显示d（k+1）≤ 概率为1的dmax。现在，注意d（k+1）=1-V（k+1）Vmax（k+1）和Vmax（k）≤ Vmax（k+1），我们将参数分为两种情况：如果Vmax（k）<Vmax（k+1），那么Vmax（k+1）=V（k+1）。因此，我们有d（k+1）=0≤ dmax。另一方面，如果Vmax（k）=Vmax（k+1），借助于计数值的动力学，我们得到了（k+1）=1-V（k）+IT（k）X（k）Vmax（k）≤ 1.-V（k）-XTmin公司I+（k）- XTmaxI-（k）Vmax（k）。利用I（k）上给定的不等式条件，我们得到d（k+1）≤ 完成证明的dmax。

备注：针对单个股票情况描述的下降调制反馈实现被推广到这种多股票情况，如下所示：对于第i个股票，我们使用反馈增益γ，并将投资额取为b eIi（k）。=γiM（k）V（k）。然后，上述广义降深调制引理中的条件导致对γ的约束如下：| XTmin |γ+- XTmaxγ-≤ 1其中γ-γ+具有第i分量γ-i、 =最小值{γi，0}；γ+i.=最大值{γi，0}。结论与未来研究本文提出了一种新的控制方案，我们称之为下行调制反馈控制。它使我们能够将投资I（k）表示为一个线性反馈实现，再次使用γ，从而满足给定的百分比提取规范，并使用概率1。我们还以Kelly优化问题为背景说明了我们的理论。我们获得的最终降额模型反馈控制提供了一种系统的方法，以获得一种时变的分馏方钻杆策略，该策略考虑了降额要求。为了进一步开展这项研究，需要考虑的一个明显问题是第6节所述的预期总体增长最大化的投资组合优化版本，同时考虑到按照第8节的思路进行的提取。找到相关的最优解向量γ*在portfolioscenario中，可能需要使用一些旨在处理潜在计算复杂性问题的有效算法。为了进一步优化本文中的工作，我们提请注意，解γ*我们得到的只是一个纯粹的收获。然而，可以认为，对于许多问题，这种纯增益γ不一定是真正的最优值。回顾第5节中的讨论，可以证明，时变反馈增益γ（k）ma可能会导致优异的性能。参考文献【1】S.J.Grossman和Z。

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