股票交易中的减持调制反馈控制

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英文标题：
《On Drawdown-Modulated Feedback Control in Stock Trading》
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作者：
Chung-Han Hsieh and B. Ross Barmish
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Control of drawdown, that is, the control of the drops in wealth over time from peaks to subsequent lows, is of great concern from a risk management perspective. With this motivation in mind, the focal point of this paper is to address the drawdown issue in a stock trading context. Although our analysis can be carried out without reference to control theory, to make the work accessible to this community, we use the language of feedback systems. The takeoff point for the results to follow, which we call the Drawdown Modulation Lemma, characterizes any investment which guarantees that the percentage drawdown is no greater than a prespecified level with probability one. With the aid of this lemma, we introduce a new scheme which we call the drawdown-modulated feedback control. To illustrate the power of the theory, we consider a drawdown-constrained version of the well-known Kelly Optimization Problem which involves maximizing the expected logarithmic growth of the trader\'s account value. As the drawdown parameter dmax in our new formulation tends to one, we recover existing results as a special case. This new theory leads to an optimal investment strategy whose application is illustrated via an example with historical stock-price data.
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中文摘要：
从风险管理的角度来看，控制提款，即控制财富随时间从峰值下降到随后的低点，是一个非常令人担忧的问题。考虑到这一动机，本文的重点是在股票交易环境中解决提款问题。虽然我们的分析可以在不参考控制理论的情况下进行，但为了让社区能够接触到工作，我们使用反馈系统的语言。随后结果的起飞点，我们称之为水位下降调制引理，表征了任何保证水位下降百分比不大于概率为1的预先指定水平的投资。借助于这个引理，我们引入了一种新的方案，我们称之为下降调制反馈控制。为了说明该理论的威力，我们考虑了著名的Kelly优化问题的一个缩减约束版本，该问题涉及最大化交易者账户价值的预期对数增长。由于新公式中的下降参数dmax趋于1，我们将现有结果作为特例恢复。这一新理论提出了一种最优投资策略，并以历史股价数据为例说明了其应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：股票交易 Optimization Quantitative Applications QUANTITATIV

关于股票交易中的减支调制反馈控制，Zhong Han Hsieh和B.Ross Barmischee系威斯康辛州威斯康星州大学，邮编：53706电子邮件：hsieh23@wisc.edu, barmish@engr.wisc.eduAbstract：从风险管理的角度来看，控制提款，即控制财富随时间从峰值下降到随后的低点，是一个非常令人担忧的问题。考虑到这一动机，本文的重点是在股票交易环境中解决dr awdown问题。虽然我们的分析可以在不参考控制理论的情况下进行，但为了让社区能够接触到工作，我们使用反馈系统的语言。接下来的结果的起飞点，我们称之为下降调节引理，表征了任何投资的特征，即投资下降不超过一个特定水平的概率1。借助于这个引理，我们引入了一种新的方案，我们称之为下降调制反馈控制。为了说明该理论的威力，我们考虑了众所周知的优化问题的一个缩减约束版本，该问题涉及最大化交易者账户价值的预期对数增长。由于我们的新公式中的下降参数dmaxin趋于1，我们将现有结果作为特例进行恢复。这一新理论引出了一种最优投资策略，并通过一个历史股价数据的例子来说明其应用。关键词：金融工程、随机系统、鲁棒性1。简介从风险管理的角度来看，控制资金减少，即控制财富随时间从峰值下降到随后的低点，是一个非常重要的问题。可以说，提款控制问题在金融文献中受到了广泛关注。

更具体地说，为了在股票交易环境中正确控制提款，一种标准方法是将这一考虑纳入一个约束优化框架，该框架通常包括其他绩效标准；e、 参见[1]和[2]，其中重点介绍了单只股票的情况。也有一些论文涉及对单个股票案例的这些结果的修改和扩展，以解决各种随机建模假设下的整个港口资金问题；e、 g.，见【3】-【8】。最后，文献还包括各种方法来解决不同类型的缩编。例如，【11】研究了绝对水位降，而【4】、【9】和【26】考虑了其他基于水位降的度量。在本文件中，我们重点介绍了提取百分比的概念，其技术定义将在下一节中给出。我们提供了一个新的结果，使交易方能够保证不会超出该数量规定的最大水平Dmax。为了为本文提供进一步的背景，我们提到了现有文献中使用不同风险度量而非提取的一些其他论文的样本。此类度量的示例包括风险价值（VaR）、条件风险价值、预期差额和著名的平均方差标准；e、 g.，见【18】-【20】和【27】。除了风险分析之外，文献中的me论文还考虑了portfo-liooptimization，涉及预期对数增长的最大化。这就是所谓的凯利优化问题，它将用来证明我们的理论；e、 g.，见【13】-【15】。与此相关，文献中还包括一种著名的方法，称为分数凯利策略。

这旨在缩小投资规模，以缓解风险；e、 g.，见【12】和【16】。本文的出发点，我们称之为提款调制引理，描述了保证提款百分比不大于预先规定水平dmax的投资特征∈ （0，1），概率为1。为了使我们的论述对这个社区有吸引力，我们从引理中得到的这个投资方案用一个经典的反馈控制设置来表示。我们称之为下降调制反馈控制。作为drawdow n参数dmax，我们将恢复现有结果作为特例。为了进一步说明其用途，如前所述，我们考虑了Kelly优化问题的下降约束版本，该问题涉及最大化预期对数算术增长。然后，本文用历史数据进行了一个数值例子，并讨论了投资组合情况下引理的进一步推广。k=0、1、2、…、的水位下降定义。。。，N，我们让V（k）表示第k阶段的账户价值。然后，随着k的发展，提取百分比（迄今）定义为asd（k）=Vmax（k）- V（k）Vmax（k），其中Vmax（k）。=最大值0≤我≤kV（i）。这将导致总体百分比下降d*最大值=最大值0≤k≤Nd（k）。请注意，提取百分比满足0≤ d（k）≤ 尽管此处未考虑，但还有另一个井k NOWN测量，称为最大绝对水位降，由D*maxand获得比亚迪*最大值=最大值0≤k≤NVmax（k）- V（k）。读者被要求阅读[10]和[23]中关于这一主题的内容。为了进一步阐述drawdow n的这两个概念，我们考虑一个图1中所示的假设Account值V（k）的示例。从图中，我们可以获得总的percen ta gedrawdown，d*最大值≈ 0.8333，出现在阶段k=7。另一方面，最大绝对降深D*最大值=4.5，在阶段k=24时占用。

这个玩具的例子表明，上面描述的两种类型的下拉可以是完全不同的。在这篇文章中，我们主要关注的是提取百分比。这是d rawdown的版本，它更适合于对V（k）具有不同“尺度”的dea l。这是大小投资者都无法认同的概念。0 5 10 15 20 25次，kd*最大值（maxD）*maxFig。1： 最大百分比和绝对下降3。如前所述，在续集中，我们强调控制理论的观点。我们在这里的表述与越来越多的关于财务问题的文献相一致，但这些文献来自控制社区；e、 g.，见【22】-【25】。虽然我们接下来的分析可以在不参考控制理论的情况下进行，但为了让读者能够理解这部作品，我们使用反馈系统的语言。具体而言，我们将股票价格S（k）视为反馈系统的外部输入。在此设置中，我们使用线性fe edbackcontroller，该控制器使用应用于账户价值V（k）的时变增益k（k）修改投资I（k）。也就是说，对于每个阶段k，我们认为控制器的formI（k）=k（k）V（k）。通常，在选择此反馈增益时，我们会包含一个约束，表示为K（K）∈ K、 例如，假设我们将注意力限制在所谓的现金融资投资上。然后我们施加一个保证| I（k）|的约束≤ V（k）。也就是说，投资水平仅限于一个账户的价值。这在tur n forc es | K（K）|≤ 图2描述了单个股票的反馈控制配置，其中描述了该方案。这样的配置可以推广到处理n个股票的portf olio案例；e、 g.，见【4】。为了回溯到金融概念，当K（K）时会出现买入并持有的特殊情况≡ 1.图2：反馈控制配置4。

k=0，1，2，…，的股票交易公式。。。，N，我们让S（k）>0表示股票价格。相关返回到第N阶段- 1由x（k）给出=S（k+1）- S（k）S（k）在续集中，我们假设收益是有界的；i、 e.，Xmin≤ X（k）≤ xmax，其中xmin和xmax是支持中的点，用X表示，并且满足-1<Xmin<0<Xmax。在接下来的部分中，必要时，我们假设随机变量X（k）是独立的且分布相同（i.i.d.）。账户价值和提取：现在让I（k）在第k阶段进行投资，注意I（k）<0代表卖空。从一些初始帐户值V（0）>0开始，到终端状态V（N）的演化由递归V（k+1）=V（k）+I（k）X（k）顺序描述。现在，给定满足0<dmax<1的最大可接受水位下降水平dmax，我们重点讨论满足约束td（k）的I（k）的条件≤ dmaxis以概率1沿所有样本路径确定。理想化市场：在续集中，我们进一步假设o urstock交易发生在“理想化d市场”中也就是说，我们保证零交易成本、零利率和完善的流动性条件。有关理想化市场假设的更多详细信息，请参考参考文献[25]。5、压降调制引理本节给出了本文中的垫脚石，我们称之为压降调制引理。

该引理图为投资I（k）提供了一个必要且充分的条件，以保证提取百分比不大于给定水平的dmax，概率为1。下降调节引理：投资函数I（·）保证最大可接受的下降水平dmaxor小于，概率为1，当且仅当对于所有k，条件-dmax（最大值）- d（k）（1）- d（k））XmaxV（k）≤ I（k）≤dmax（最大值）- d（k）（1）- d（k））| Xmin | V（k）沿所有样本路径均满足要求。证明：为了证明必要性，假设th为d（k）≤ dmaxforall k对于概率为1的所有示例路径，我们必须显示所需的条件I（k）沿所有示例路径保持。实际上，让k开始，因为d（k）≤ d最大值和d（k+1）≤ dmaxwithprobability one，我们声称这迫使I（k）上出现所需的不等式。在不丧失一般性的情况下，我们为案例I（k）提供了最右等式的证明≥ 0并注意，对于I（k）<0，使用了一个完全相同的证明。在索引d中，使用Xminis在支持向量X中的事实，Xmin存在一个适当的SMALL邻域，称之为N（Xmin），例如p（X（k）∈ N（Xmin））>0。因此，给定任意小的ε>0，则存在Xε（k）<0的点Xε（k）∈ Nε（Xmin），| Xmin- Xε（k）|<ε，并导致相关可变现损失I（k）| Xε（k）|。不考虑Vmax（k+1）=Vmax（k）和d（k+1）=d（k）+Xε（k）| I（k）Vmax（k）≤ dmaxwe现在取代了Vmax（k）=V（k）1- d（k）>0转化为上述不等式，并注意| Xε（k）|→ |Xmin | asε→ 0，我们获得i（k）≤dmax（最大值）- d（k）（1）- d（k））| Xmin | V（k）。为了证明有效性，我们假设I（k）上的条件在所有样本路径上都成立。我们必须显示d（k）≤ dmaxforall k，概率为1。通过归纳，对于k=0，我们得到d（0）=0≤ Dmax概率为1。为了完成归纳论证，我们假设d（k）≤ 概率为1的Dmax，且必须显示d（k+1）≤ 概率为1的dmax。

在不丧失一般性的情况下，我们再次为案例I（k）提供了证据≥ 0并注意，对于I（k）<0，使用几乎相同的屋顶。现在，注意d（k+1）=1-V（k+1）Vmax（k+1）和Vmax（k）≤ 对于概率为1的Vmax（k+1），我们将参数分为两种情况：如果Vmax（k）<Vmax（k+1），则Vmax（k+1）=V（k+1）。因此，我们有d（k+1）=0≤ dmax。另一方面，如果Vmax（k）=Vmax（k+1），借助于账户价值的动态，我们得到了（k+1）=1-V（k）+I（k）X（k）Vmax（k）≤ 1.-V（k）- I（k）| Xmin | Vmax（k）利用I（k）上最右边的不等式条件，我们得到d（k+1）≤ 完成证明的dmax。备注：首先，值得一提的是，由于dmax<1，任何满足引理中不等式条件的投资I（k）都可以保证生存。也就是说，沿所有采样路径，当k=0、1、2，…，V（k）>0。。。，N这是一个很容易得出的结论，即在每个阶段k，从未出现从之前某个最大值f或V（k）100%下降的情况。第二，水位下降条件d（k）的满足性≤ dmaxalong SamplePaths为解决新的提款约束优化问题打开了一扇大门，该问题涉及将参数输入满足引理中不等式的投资I（k）；e、 g.见下文第6节。最后，请注意，引理的证明中不需要对返回X（k）进行i.i.d.假设。所需要的是回报率上的显式界限，该界限以非零概率可实现。反馈控制实现：借助下降调制引理，我们可以很容易地获得一类投资函数I（k），表示为线性反馈控制，由增益γ参数化，从而满足下降规格。更具体地说，对于每个阶段，ek=0、1、2、。。。，N- 1，我们定义（k）=dmax（最大值）- d（k）1- d（k），我们称之为modu lator函数。

现在，使用M（k），我们在feedbac k formI（k）中表示I（k）。=带约束的γM（k）V（k）-最大间隙≤ γ ≤|Xmin |。请注意，可以选择反馈增益γ，而无需调节调节器M（k）。这一思想与线性控制理论中著名的分离定理有相似之处；e、 g.，见【21】。此后，我们将上述投资I（k）称为下降调制反馈控制器，并且通过写入γ来表示对γ的约束∈ Γ.我们注意到，这不是唯一可能的反馈控制实现。在我们未来的工作中，更一般的费用反馈控制可以用时变增益γ（k）公式化。也就是说，可以将I（k）=γ（k）M（k）V（k）与γ（k）相等∈ Γ且仍满足提款要求；请参阅本文的结论，以进一步讨论沿着这些路线进行的有前景的研究。6、压降调制KELLY优化在本节中，我们考虑将Dr awdown调制引理纳入优化问题的多种可能方法之一。为此，我们对所谓的Kelly优化问题建立了一个缩减约束版本。更具体地说，对于k=0，1，2。。。，N- 1，假设收益X（k）是i.i.d.随机变量，概率密度函数（PDF）用fX表示，我们使用下降调制反馈控制器i（k）=γM（k）V（k），feedbac k增益γ∈ Γ被视为优化参数。现在，让Vγ（k）为反馈增益γ诱导的阶段k的计算值，相关递归由Vγ（k+1）=（1+γM（k）X（k））Vγ（k）描述，我们寻求找到一个*.= 最大γ∈ΓNElogVγ（N）V（0）.此外，在续集中，相应的最大化子由γ表示*.备注：通过让dmax得到的极限情况→ 1到M（k）的距离→ 1这将我们带回了经典Kelly优化的世界；e、 g.，见【12】和【17】。

因此，经典的凯利问题可以看作是我们理论的一个特例。在下一节中，我们将考虑一个基于历史数据的数值示例，以比较通过水位下降调制反馈控制获得的传输性能与通过经典Kelly解获得的传输性能。鉴于这种解决方案通常被认为风险太大，一些现有的论文介绍了所谓的分数凯利战略，该战略在导言中进行了讨论。分数凯利战略的一个缺点是，它通常是以特殊的方式设计的。相反，水位下降调制反馈控制为获得时变问题解决方案提供了一种系统方法。7、数值示例在本节中，我们提供了一个涉及真实股票数据的数值示例，以说明如何在实践中使用提款调制。我们考虑上一节中描述的Kelly优化问题，并使用特斯拉汽车公司（ticker TSLA）2013年12月31日至2014年3月28日期间的历史价格数据；见图3，其中绘制了这些未下跌的股票价格。图中还显示了2014年3月28日至2014年6月24日期间stoc k价格的额外61天，该价格将用于下文所述的抽样测试。0 20 40 60 80 100 120样本内模拟的白天时间样本外模拟的价格图。3： TSLA股票价格，S（k）我们的目标是首先使用价格数据估计概率质量函数（PMF）模型，然后计算最佳反馈增益γ*最大化目标函数j（γ）=氖logVγ（N）V（0）使用施加的现金融资约束生成Vγ（N）。我们使用γ*研究结果控制器的ou t-of-sample交易性能。在本例中，我们使用最大允许水位为0.05。