经济结构特性的计算分析

JBC是一种非局部度量，因为它量化了流经网络中成对节点的路径数。该中心性度量由CJB（vm，vn）=Xvi，vj定义∈五、 vi6=vjσvi，vj（vm，vn）σvi，vj，（28）VivmVnσvi，vj=14σvi，vj（vm，vn）=4VMVn图4：联合中间性中心性度量的可视化。灰色节点是网络中与VMN和vn不同的更多NDO。JBC正在评估网络中最短通信路径上两个顶点的联合出现情况。这里σvi，vj表示连接vii与vjan的最短路径数，σvi，vj（vm，vn）表示连接vii与包含顶点vm和vn的vj的最短路径数。在图4中，我们显示了关节介数中心度度量的可视化。在Shuja【131】中可以找到经济背景下中间性中心性和其他变量的进一步应用示例。对于中心度度量的一般应用，规范化被认为是有用的。例如，【56】中的分析使用了以下归一化，Cjb（vm，vn）=Xvi，vj∈五、 vi6=vjσvi，vj（vm，vn）σmax，（29），其中σmax=maxvi，vj{σvi，vj}。（30）通过应用网络中心性指标分析的经济网络的例子很普遍。例如，研究了网络中心性指标，以确定土耳其银行间市场具有系统重要性的金融机构【102】。具体而言，作者调查了2000年银行系统崩溃中非城市银行的主要借款人角色。关于银行间网络的类似研究可参见[136]，其中分析了欧元区和美国中间市场的数据。另一项使用中心性度量的研究见【130】。他们的研究旨在确定全球20个国家的核心经济部门，在金融网络和基本经济基础之间建立联系。

他们利用特征向量中心性进行分析。有关经济网络的进一步应用示例，请参见[71、76、140]。4网络复杂性与目前讨论的量化指标相比，本节将讨论的网络复杂性指标将网络评估为整体。这里，术语复杂性的定义大体上是宽泛的，但通常指的是众所周知的科尔莫戈罗夫复杂性[98103]。网络复杂性度量的基本思想是评估由图的复杂链接或分支结构表示的结构复杂性。一般来说，经济网络可以用无向网络或定向网络来表示。然而，这两种类型都是拓扑网络，都适合于以网络复杂性的形式进行结构分析。我们将在本节中讨论的网络复杂性度量是定量度量。这意味着，一个经济网络将被映射到一个实数，以确定其复杂性。该值可以被视为描述网络特征的索引。4.1基于信息论的网络复杂性与实际应用相关的一类重要网络复杂性度量是基于信息论的。信息理论复杂性度量已应用于许多科学领域，如生物学、计算机科学或化学[22、52、45、107]。在下文中，我们将回顾这方面最重要的一些措施。我们从网络G开始，其中X是图不变量，τ是非等效准则。这导致了类似于[22]的分布：1 2···k··X···X······Xk··pp··pk. （31）第一行表示等价类，第二行表示所得分区的心形。根据这一点，我们计算与矩阵第三行对应的每个分区的概率pi=| Xi | | X |。这意味着PG=（p。

，pk）表示G的概率分布。通过使用著名的香农熵[129]，可以得到i（G，τ）=X | log（| X |）-kXi=1 | Xi | log（| Xi |），（32）’I（G，τ）=-kXi=1 | Xi | X | log|Xi | | X|. （33）等式。（32）代表G的所谓总信息含量，而Eqn。（33）是平均信息含量。这意味着，一旦我们有了一个给定的经济网络，就可以直接计算这两个指标。另一种确定经济网络熵的方法是杜默（toDehmer）[44]。我们不使用图不变X来确定分区，而是为网络的每个顶点指定一个概率值。我们通过使用一个信息泛函f来获取G的结构信息来实现这一点。所以，如果再应用香农熵，我们得到if（G）：=-NXi=1f（vi）PNj=1f（vj）logf（vi）PNj=1f（vj）！。（34）一旦我们选择了具体的信息泛函，我们就得到了具体的图熵测度。例如，基于图的度量性质的信息函数，即[44，47]：fV（vi）：=αc | S（vi，G）|+c | S（vi，G）|+···+cρ（G）| Sρ（G）（vi，G）|，ck>0，1≤ k≤ ρ（G），α>0。（35）注意，参数ck>0可用于衡量每个球体中G的结构特征或差异。它们的选择应确保它们都是不同的，例如，c>c>···>cρ（g），参见【45】。很明显，ck>0的选择对结果测量值有影响。对于具有路径或大量圈等特殊拓扑性质的特殊经济网络，可以系统地学习这些参数。当将图熵测度应用于表示分层企业集团图的分层经济网络时，Altomonte和Rungi[6]推广了[53]的工作。

他们定义了一种称为“群体复杂性指数”（GIC）的新度量，由GIC（G）=lxlnlnlog给出Nnl公司（36）这里，L是层次级别的数量，NL是层次级别L上的关联数量，N是该网络中的关联总数。Altomonte和Rungi【6】发现，垂直整合与企业集团的层级复杂性之间存在负相关。此外，他们还确定了业务组的层次结构复杂性与其生产力之间的正相关关系。我们在本节中提到的最后一项贡献来自Bekiros等人【17】。他们使用信息论量来衡量经济网络的中心性。[17]的一个重要结果是，作者证明了所有市场在危机前后的相关性和基于熵的中心性度量之间存在差异的证据。5由于许多原因，不同类型的网络和树型网络模型通常很有用。事实上，networksenable可以立即可视化所考虑系统的重要层之间的复杂相互关系。此外，网络构成了一种可以进行严格分析的数学表示。本节首先讨论重要的网络课程。5.1随机网络随机网络是我们广泛研究的第一类网络。例如，埃尔德斯和雷尼的开创性工作开始了这一发展。简单地说，通过以p的概率连接每对顶点，可以得到一个具有N个顶点的随机图。这样构造的（无向）网络的期望边数isE（N）=pN（N- 1).

（37）随机网络中顶点i的度分布遵循二项式（ki=k）=N- 1公里pk（1- p） N个-1.-k、 （38）因为顶点i的最大次数最多为N- 1，顶点具有k条边的概率为pk（1- p） N个-1.-kand有N-1公里从N中选择k边的可能性- 1个顶点。达到极限N→ ∞, 等式。（38）给定SP（ki=k）~zkexp公司(-z） k！。（39）此处z=p（N- 1） 是顶点的预期边数。这意味着对于大N，随机网络中顶点的度分布可以近似于毒分布。因此，随机网络也被称为有毒随机网络[113]。此外，可以证明随机网络的度分布（而不仅仅是一个顶点）也大致遵循毒药分布p（Xk=r）~ZREP公司(-z） r！。（40）它可以解释为网络中有Xk=r个顶点，拥有度k[4]。对于随机网络，顶点i的聚类系数cio，见等式n。（11） ，假定一个非常简单的值。具体来说，因为顶点的平均度数可以近似为z=p（N- 1) ~ 请注意，它跟在CI后面~zN=p，（41）5.2树一个简单但非平凡的网络是一棵树。[82]. 通常情况下，树是连接的，并且是ayclic[82]。我们陈述了一个定理，表明树可以由各种属性来表征，参见[88]。定理5.1设G是一个有N个顶点的图。然后，以下断言是等效的：1。G=（V，E）是一棵树。2、G的每两个顶点通过唯一路径连接。3、G是连通的，但对于每条边e∈ E已断开G \\{E}。4、G是连通的，且正好有N- 1边缘。5.G是无循环的，且正好有N- 1边缘。G是无圈的，但对于每两个非相邻顶点v、w、G∪ {v，w}，正好包含一个循环。可在文献中找到的关于树木的第一次研究是由于Cayley【34，35】。在图中。

（5） 我们展示了一个普通有根树的示例。这棵普通根树表示公司董事会之间的关系。具体而言，一种联系表明，两个公司董事会都有一些共同的董事在两个董事会任职。由于这种关系并不意味着自然的方向，因此这种联系是无方向的。这种观点可以很容易地确定两家公司的两个董事会之间的距离。相比之下，在图（6）中，我们展示了连接股票的树木示例。我们想强调的是，树没有层次结构，这意味着树的图形中没有“顶部”或“底部”。因此，图（6）中所示的树可以任意重新排列。相比之下，有根树有一个根，它是一个独特的顶点，所有路径都指向远离它的地方【82】。DDDDDD I：公司董事会图5：代表公司董事会之间关系的普通根树。连接表明两个公司董事会有一些共同的董事。该视图可以轻松确定两家公司的两个董事会之间的距离。IBMAppleyahoosco IntelAmazon HP图6：股票的最小生成树。5.3广义树在本节中，我们介绍了树的一个重要扩展，称为广义树（generalizedtrees，GTs）[43109]。这里我们只介绍无向广义树。引入有向广义树的思想在[108]中首次提出。当引入广义树时，我们声称它们是层次树，它们拥有一个称为根的独特顶点，通常存在于普通根树中。除了普通有根树的边外，GT还有更多的边类型，这使得顶点之间的连通性更丰富。定义5.1（广义树）广义树GTI由avertex集V、边集E、水平集L和多级函数Li定义。

顶点和边集定义邻接和水平集，多层函数在GTi的顶点之间建立层次结构。索引i∈ 为根辩护。多级功能定义如下。定义5.2（多级功能）功能Li:V→ L∈ N称为Li（i）=0的多级函数。多级函数将元素l分配给所有顶点∈ L对应于将分配的级别。索引i指的是根节点，它被分配给级别l=0。从这些定义可以立即看出，广义树类似于图，但额外配备了一个水平集和一个多级函数li，引入了一个顶点分组，对应于在顶点和顶点集之间引入层次结构。定义5.3（边类型）广义树有三种边类型：o带| Li（m）的边- Li（n）|=1称为核边（E）带| Li（m）的边- Li（n）|=0被称为跨边（E）。o带| Li（m）的边- Li（n）|>1称为跳跃边（E）。这里是m，n∈ 五、图7显示了一个通用树。边缘类型以颜色突出显示；构成层次结构的核心边是红色的，不超过A级的交叉边是绿色的，跳跃边是蓝色的。这里需要强调的是，代表两家公司Fand Fare的两个橙色节点组合成代表一个企业集团的一个节点。这意味着所示的广义树只有一个根节点。此外，我们注意到，广义树是一种可能具有圈的树状图[46]。

然而，通常包含圈的图不是层次图[82]。如果没有将两个企业合并为一个业务组，而是将它们作为单独的节点，那么图7中所示的图形结构形成了比广义树更复杂的结构，因为它有两个根节点。这样的树结构被称为通用图，参见【53】。FFFFFFFF业务组图7：代表企业间投资网络的两棵广义树。这里是公司Fand Fare组建的企业集团。边的方向表示投资的方向性。内核边为红色，跨边为绿色，跳跃边为蓝色。5.4二部网络表示经济网络的其他重要网络结构是二部网络。二部网络由两种类型的节点组成。让我们缩放第一个节点类型U和第二个节点类型V。边只能出现在不同类型的节点之间，即如果vi，Eij=1∈ U和vj∈ V（42）为了区分这样的网络，我们经常写G=（U，V，E）。在| U |=| V |的情况下，该网络称为平衡二部网络。如果连接具有权重，则该图称为加权二部网络。在图8中，我们展示了加权二部网络的示例。该网络将四个国家（英国、美国、德国和日本）连接到三个经济部门（工业、农业和服务业）。联系的宽度与相应经济部门的实力成正比。例如，通过这种方式，可以表达不同经济部门对一个国家GDP的贡献或在相应领域工作的人数。我们要注意的是，有许多不同的图形方式来可视化二部网络，在大多数情况下，如图8所示，二部网络的节点没有显示为“圆”，相反，可视化更具艺术性。

然而，人们不应忘记，基础图是根据图论定义的，具有严格的含义。5.5复杂网络拓扑20世纪90年代末，文献中增加了两种新类型的网络，即小世界网络[145]和无标度网络[4]。UKUSA GerjpnServiceAgricultureIndustry图8：连接各国经济部门的双边网络。联系的宽度与经济部门的实力成正比。瓦茨和斯特罗加茨（Watts and Strogatz）[145]特别发现，根据某些规则生成的网络具有很高的聚类系数，就像regularnetworks一样，但（平均而言）顶点之间的距离也很短，类似于randomnetworks。因此，这些被称为小世界网络的网络结合了不同网络类别的不同功能。就生物网络而言，小世界网络存在于共表达、蛋白质和代谢网络中【139、142、146】。具有小世界特征的经济网络是董事会连锁网络[41]。作者研究了20世纪80年代和90年代数百家美国公司和银行及其董事会中的数千名董事。他们发现，节点对应于控制器，链路对应于两个控制器的共同董事会位置的控制器网络具有较高的聚类系数和较低的平均路径长度。作为补充，Barabási和Alber发现，许多真实世界的网络显示出节点度的无标度行为[4]，P（k）~ k-γ. （43）为了解释这一共同特征，Barabási和Albert引入了一个模型【12】，现在称为Barabási Albert（BA）或优先依恋模型【113】，该模型产生了所谓的无标度网络，其度分布遵循幂律【12】。

优先连接模型与上述生成随机或小型世界网络的其他算法之间的一个主要区别是，BA模型不假设固定数量的顶点，然后以固定概率迭代重新布线，但在此模型中，N会增长。每个新添加的顶点都以一定的概率（不是常数）连接到网络中已经存在的其他顶点。该附着概率pi=kiPjkj，（44）与这些顶点的阶数kj成正比，从而解释了模型的名称。这样，每个新顶点都将添加到e∈ N网络中的现有顶点。例如，Garlaschelli等人发现，投资市场网络遵循无标度分布[70]。关于禁止无标度度度分布的经济网络的更多示例，例如银行间网络或世界贸易网络，请参见[26、135、8、128]。6未来方向和讨论任何经济网络分析的自然前提是网络的创建或推断。因此，我们认为进行一些比较分析以确定不同类型经济网络的最佳方法是有益的。为了进行此类分析，需要明确在这种情况下“最佳”的含义。问题是，在大多数情况下，真正的经济网络是未知的。例如，纽约证券交易所股票的真正金融网络是未知的。因此，我们需要确定特定情境的衡量标准，以允许间接评估推断的网络结构。在金融网络的情况下，这可以通过在预测模型中利用金融网络来估计未来的股票价格来实现。这意味着可以将考虑网络结构的预测模型与不考虑网络结构的预测模型进行比较。