基于高阶紧致有限元的Bates模型中的有效套期保值

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英文标题：
《Efficient hedging in Bates model using high-order compact finite
  differences》
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作者：
Bertram D\\\"uring and Alexander Pitkin
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We evaluate the hedging performance of a high-order compact finite difference scheme from [4] for option pricing in Bates model. We compare the scheme\'s hedging performance to standard finite difference methods in different examples. We observe that the new scheme outperforms a standard, second-order central finite difference approximation in all our experiments.
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中文摘要：
在贝茨模型中，我们评估了一个高阶紧致有限差分格式对期权定价的套期保值性能。在不同的例子中，我们比较了该方案与标准有限差分方法的套期保值性能。我们观察到，在我们的所有实验中，新方案优于标准的二阶中心有限差分近似。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Efficient_hedging_in_Bates_model_using_high-order_compact_finite_differences.pdf (368.74 KB)

2022-6-1 13:36:56 上传

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关键词：Bates 套期保值 Bate BAT ATE

贝茨模型中的有效套期保值使用高阶紧致有限差分Bertram D¨uring和Alexander PitkinAbstract我们评估了文献[4]中的高阶紧致有限差分方案对贝茨模型中期权定价的套期保值性能。我们在不同样本中比较了该模式与标准有限差分方法的套期保值性能。我们观察到，在我们的所有实验中，新方案优于标准的二阶中心有限差分近似。1简介贝茨模型[1]可被视为金融期权定价应用的市场标准。它结合了随机波动率和跳扩散模型的积极特征。在该模型中，期权价格作为部分积分微分方程（PIDE）的解给出，参见例[2]。在[4]中，我们提出了一种新的高阶紧有限差分格式，用于贝茨模型中的期权定价。隐-显格式基于D¨uring和Fourni'e[3]以及Salmi等人[5]的方法。该方案在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。它只需要稀疏矩阵的一个初始LUFactoriation来执行期权价格估值。由于其与标准二阶有限差分方案在结构上的相似性，可以利用它以简单的方式升级现有实施，以获得高效的期权定价代码。在目前的工作中，我们评估了在[4]中衍生的方案的套期保值性能。

我们将该计划的套期保值绩效与标准有限差分进行比较伯特伦·杜林（Bertram D¨uringDepartment of Mathematics，University of Sussex，Pevensey II，Brighton，BN1 9QH，UK），电子邮件：bd80@sussex.ac.ukAlexander苏塞克斯大学皮特金数学系，佩文西二世，布莱顿，BN1 9QH，英国，电子邮件：a.h。pitkin@sussex.ac.uk2Bertram D¨uring和Alexander Pitkinmethods，其中新方案在我们所有的实验中都优于基于二阶中心有限差分近似的标准离散化。本文组织如下。在下一节中，我们回顾期权定价的贝茨模型和相关的偏积分微分方程。我们参考文献[4]推导了隐式-显式高阶紧致有限差分格式，并采用该格式进行了数值实验。第3节致力于计算所谓的希腊人，并在两个对冲投资组合示例中评估该计划的对冲绩效。2贝茨模型贝茨模型【1】是一种允许收益跳跃的随机波动率模型。在该模型中，资产价值S及其方差σ的行为由耦合随机微分方程描述，dS（t）=uBS（t）dt+pσ（t）S（t）dW（t）+S（t）dJ，dσ（t）=κ（θ-σ（t））+vpσ（t）dW（t），对于0 6 t 6 t和S（0），σ（0）>0。此处，uB=r-λξBis漂移率，其中r>0是无风险利率。跳跃过程J是一个强度λ>0的复合泊松过程，J+1具有对数正态分布p（y），平均对数（y）为γ，对数方差（y）为v，即概率密度函数由p（y）给出=√2π yve-（对数y-γ） 2v。参数ξBis由ξB=eγ+v定义-1、方差具有平均水平θ，κ是回归到σ平均水平的速率，v是方差σ的波动率。

这两个维纳过程与Whave相关ρ。2.1偏积分微分方程通过贝茨模型的标准导数定价参数，我们得到了偏积分微分方程五、t+Sσ五、 S+ρvσS五、 S σ+vσ五、 σ+（r-λξB）S五、 S+κ（θ-σ)五、 σ-（r+λ）V+λZ+∞V（Sy，V，t）p（y）dy=LDV+LIV，贝茨模型中使用高阶紧致有限差3的有效套期保值，必须解决S，σ>0，0≤t<t，并符合适当的最终条件，例如V（S，σ，t）=最大值（K-S、 0），如果是欧式看跌期权，Kdenoting为履约价格。为清楚起见，运营商LDV和LIV被定义为差异部分（包括术语-（r+λ）V）和积分部分。通过变量sx=log S，τ=T的以下转换-t、 y=σvand u=exp（r+λ）Vwe获得uτ=vyu x个+u y+ ρvyu x个 y-vy公司-r+λξB u x+κ（θ-vy）v u yλZ+∞-∞~u（x+z，y，τ）~p（z）dz，现在在R×R+×（0，T）上构成，其中▄u（z，y，τ）=u（ez，y，τ）和▄p（z）=ezp（ez）。该问题通过合适的初始和边界条件来完成，对于欧式看跌期权，这些条件是：u（x，y，0）=max（1-exp（x），0），x∈ R、 y>0，u（x，y，t）→ 1，x→-∞, y>0，t>0，u（x，y，t）→ 0，x→+∞, y>0，t>0，uy（x，y，t）→ 0，x∈R、 y型→ ∞, t>0，uy（x，y，t）→ 0，x∈R、 y型→ 0，t>0.2.2隐-显高阶紧致模式对于离散化，我们将R替换为[-R、 R]和R+通过[L，R]，R，R>L>0。我们考虑一个统一的网格Z={xi∈[-R、 R）]：xi=ih，i=-NN} ×{σj∈ [L，R]：σj=L+jh，j=0。。。，M} 由（2N+1）×（M+1）个网格点组成，其中R=Nh，R=L+mh，空间步长h：=h=手时间步长k。让uni，jdenote表示（2）in（xi，σj）在tn=nk时的近似解，让un=（uni，j）。对于偏积分微分方程的数值解，我们使用了文献[4]中提出的隐式显式高阶紧致格式。

隐式显式时间离散化是通过对Crank-Nicholsonmethod的修改来实现的，该方法包括对积分算子的显式处理。该模式在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。关于方案的推导以及初始条件和边界条件的实现，我们参考文献[4]。4 Bertram D¨uring和Alexander Pitkin如果没有另外提及，我们在数值实验中使用以下默认参数：κ=2，θ=0.01，ρ=-0.5，ν=0.1，r=0.05，λ=0.2，γ=-0.5.3希腊语所谓希腊语是期权价格相对于独立变量或参数的偏导数。这些数量代表了期权的市场敏感性。从业人员使用这些数量来深入了解不同市场条件对期权价格的影响，进而制定针对资产组合不利变化的混合策略。3.1 VegaVega衡量期权价格对基础资产波动性变化的敏感性，即Vega=五、 σ.Vega表示期权价格随标的资产隐含波动率变化1%而变化的金额。我们检验了期权价格中实现的高阶收敛是否也会在期权的织女星中表现出来。我们直接从期权价格u（x，y，t）计算织女星。通过使用以下四阶近似公式维持模式的阶数，同时修剪边界以消除外推的需要，Vegani，j=σjuni-2，j-8uni公司-1，j+8uni+1，j-uni+2，j12h。我们进行了数值研究，以评估vega的收敛速度。我们引用了l-范数误差ε和l∞-范数误差ε∞关于href=0.025的细网格上的数字参考解决方案。

通过拟合抛物线网格比k/Hw，我们预计这些误差对于某些常数m和c收敛为ε=chm。我们生成ε对h的双对数图，该图应渐近于斜率为m的直线，m是实验确定的方案阶数。作为比较工具，我们使用标准的二阶中心差分格式进行了相同的数值研究。这些实验的结果见下图。2和图3。我们在这里观察到，实验确定的收敛速度与每个方案的理论顺序非常匹配。采用高阶紧致有限差5h=0.4的贝茨模型中的粗网格有效对冲误差具有可比性，而在细网格上，高阶紧致方案在相同网格上的排序精度更高，收敛速度约为四阶。3.2套期保值VegaAs所有金融交易、期权都有风险，管理该风险是成功的关键。管理风险的一种方法是针对基础资产的隐含可用性建立对冲。这是通过创建织女星中性期权头寸来实现的，该期权头寸对波动性波动不敏感。3.2.1对冲示例1投资基金持有XYZ非分红股票的多头头寸，该股票目前的交易价格为135美元。该投资基金希望获得收入。1贝茨模型下定价的Vega欧式看跌期权，参数：行使K=100，到期时间t=0.5。√σVega（V（S，σ，t））S40003000.050.10.10.150.20.250.30.350.20.42000.31000.400.5图。

2贝茨模型下定价的欧洲看跌期权vega的误差收敛，参数为：敲打K=100，验证时间T=0.5.10-210-1100h10-710-610-510-410-310-210-1l2 errorHOC（订单4.0）二阶（订单2.0）246 Bertram D¨uring和Alexander Pitkinfrom the position，并为XYZ编写了一些敲打100美元的看跌期权。该投资基金目前的头寸为负织女星。为了对冲这种织女星风险，投资基金通过以150美元的履约价购买看跌期权来创建一个比率垂直看跌差价，并创建一个如图4所示的收益图。我们建议，在构建比率利差时，使用高阶紧凑型（HOC）方案，投资基金可以利用vega中的高阶收敛来实现更精确的vegahedge。为了衡量这一点，我们将每个网格尺寸的比率h与精细参考网格进行比较，并检查结果百分比误差。高阶方案和比较二阶方案的结果如表所示。1、高阶方案在所有网格尺寸下均显著优于二阶方案，这表明当进入较大头寸时，HOC方案将导致织女星对冲的显著改善。表1织女星对冲比率中的百分比误差方案网格尺寸百分比误差方案网格尺寸百分比误差0.4 33.3138二阶0.4 62.0312HOC 0.2 6.7519二阶0.2 33.0638HOC 0.1 0.6251二阶0.1 7.4073HOC 0.05 0.0400二阶0.05 1.53643 GammaGamma是标的资产期权价格的二阶导数。Gamma测量期权delta的变化率，提供期权价值相对于基础资产价格的凸性信息，图。

3 l的收敛性∞贝茨模型下定价的欧洲看跌期权的vega误差，参数：行使K=100，验证时间T=0.5.10-210-110010-410-310-210-1l2 errorHOC（订单3.7）第二订单（订单1.9）24贝茨模型中使用高阶紧凑有限差分的高效套期保值7Γ=五、 S、 我们直接从期权价格u（x，y，t）计算gamma。为了保持格式的顺序，我们使用以下四阶近似公式，对边界进行修剪以消除外推的需要，Γni，j=Siuni-2，j-16uni-1，j+30uni，j-16uni+1，j+uni+2，j12h。我们进行了数值研究，以评估gamma的收敛速度。我们参考l误差ε和l∞-误差ε∞关于href=0.025的细网格上的数值参考解。为了进行比较，我们使用标准的二阶中心差分格式进行了相同的数值研究。这些实验的结果见图6和图7。对于l和l，高阶紧致格式的收敛速度在3到4之间∞-分别是错误。这是对二阶方案的改进，表明在制定涉及伽马对冲的交易策略时，高阶方案是有益的。3.4伽马风险的套期保值通常伴随着delta套期保值，delta是相关资产期权价格的第一个衍生工具。DeltahEdge投资组合不会因标的资产价格的变化而面临风险，gamma对冲是对该delta对冲的重新调整。Delta gamma对冲策略通常需要频繁调整，Hencea面临着高昂的交易成本。然而，如果执行正确，他们可以使持有人利用正θ的头寸，这意味着该头寸在短时间内是可维持的。无花果

4比率垂直认沽价差的回报，例如1:2价差，其中交易人编写两份认沽期权，然后做多一份执行价格较高的认沽期权。0 50 100 150 200 250到期时XYZ的价格-150-100-50050P&L8 Bertram D¨uring和Alexander PitkinFig。贝茨模型下定价的5伽马欧式看跌期权，参数：行使K=100，到期时间t=0.5。√σS00.0020.004500.0060.0080.010.012Γ（V（S，σ，t）0.0140.0160.0180.021000.350.31500.250.22000.150.12500.053.4.1对冲示例2投资基金的分析师希望针对基金当前持有的资产创建一个具有正theta的策略。他们选择一个比率写价差，这涉及以高于购买价格的执行价格写期权。分析员很谨慎。6贝茨模型下定价的欧洲看跌期权伽马误差的收敛性，参数为：行使K=100，到期时间t=0.5.10-210-1100h10-610-510-410-310-2l2 errorHOC（订单3.7）二阶（订单2.2）24图。7 l的收敛∞贝茨模型下定价的欧洲认沽期权的伽马误差，参数：行使K=100，到期时间t=0.5.10-210-1100h10-610-510-410-310-2l∞ errorHOC（订单3.4）第二订单（订单1.9）23贝茨模型中有效的套期保值，使用与标的资产变动相关的头寸风险的高阶紧凑有限差9，从而调整短期至长期期权的比率，以消除净伽马。由此产生的头寸将有一个增量值，在分析可以评估利差正θ的任何可行性之前，必须对该增量值进行对冲。

两个期权头寸多头和空头的Deltao总计，如果分别出售或购买正或负的隐性资产。计算所得θ，如果为正值，分析师可以建议将该策略作为投资基金的短期交易。我们建议，使用高阶紧凑型（HOC）计划，投资基金可以利用gamma中的高阶收敛来实现更准确的gamma对冲比率。为了衡量这一点，我们将每个网格尺寸的比率h与精细参考网格进行比较，并检查产生的百分比误差。高阶方案和比较二阶方案的结果如表所示。2、高阶方案在所有网格尺寸下都能提供更好的结果，这种改进在需要重复计算和定期调整的对冲头寸中尤为重要。表2伽马对冲比率中的百分比误差方案网格大小百分比误差方案网格大小百分比误差0.4 14.8885二阶0.4 25.1112HOC 0.2 2.3323二阶0.2 6.3482HOC 0.1 0.1281二阶0.1 1.3304HOC 0.05 0.0081二阶0.05 0.2674 BD承认Leverhulme Trust research projectgrant对《高阶非线性偏微分方程》（RPG-2015-69）。AP得到了EPSRC博士培训合作计划（DTP）下的学生奖学金（grantnumber EP/M506667/1）的支持。参考文献1。D、 S.Bates，《跳跃与随机波动：隐含德意志马克期权的汇率过程》，修订版。财务部。螺柱。9, 637-654, 1996.2. R、 Cont和P.Tankov，《带跳跃过程的金融建模》，Chapman&Hall/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2004.3。B、 During和M.Fourni\'e，《随机波动率模型中期权定价的高阶紧有限差分格式》，J.Comp。应用程序。数学236, 4462-4473, 2012.4. B、 迪宁和A.皮特金。