概率畸变下的随机极大值原理

同样，风险偏好可以定义为asJ（u·）=EZTf（t，ut，Xt）+ζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）- ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt+El（XT）w′1.- FXT（XT）,式中f（·，·，·）：[0，T]×Rm×R+→Ris应该是两次连续可微分的，从u和x的角度来看。这类问题的最优性的必要性是tbu（t，\'ut，\'Xt）+σu（t，\'ut，\'Xt）qt+uf（t，\'ut，\'Xt）=(-ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）如果ut>0，-ζ′-\'\'u-t型′-1.- F（(R)uit）-（(R)u-t）如果ut<0，a.e.t∈ [0，T]，a.s.，其中（dpt=-bx（t，\'ut，\'Xt）pt+σx（t，\'ut，\'Xt）qt+xf（t、ut、Xt）dt+qtdWt，pT=l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT））。对于经典的最优控制问题，我们参考Peng[19]，其运行成本函数为f（t，ut，Xt）。上述结论可以通过下一节给出的相同结论，结合经典的随机最大值原理（见Yong和Zhou[26]）来证明。3、主要结果的证明在本节中，我们继续证明OREM 2.6中所述的随机最大值原理。其主要思想是小心地扰动最优控制，使控制符号不会因奇异性为0的扰动而改变。关键技术是研究在状态下评估的扰动状态过程的分布函数。假设ε∈ [0，1）。拿u·∈ U使得uth与“ut”具有相同的符号（如果“ut”为0，则“ut”为0）。

定义ε·=\'u·+ε（u·- “u·”）。U的凸性保证Uε·∈ U、 很明显，J（\'U·）- J（uε·）≥ 0.表示与‘u·的扰动uε·乘以Xε·对应的状态轨迹r y。在本文的其余部分中，我们采用了简写符号SVT=ut- \'ut，\'φ（t）=φ（t，\'ut，\'Xt），φ=b或σ。现在我们用几个引理来证明定理2.6。引理3.1在条件（H.1）下，w e havelimε→0Esup0≤t型≤TXεt-\'\'Xt= 证明：从状态方程来看Xεt-\'\'Xt=b（t，’ut+εvt，Xεt）- b（t，\'ut，\'Xt）dt公司+σ（t，’ut+εvt，Xεt）- σ（t，\'ut，\'Xt）载重吨。通过条件n（H.1）、Cauchy-Schwar-z不等式以及Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到了UP0≤t型≤TXεt-\'\'Xt=Esup0≤t型≤TnZt公司b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）ds+Ztσ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）dWso公司≤8Esup0≤t型≤TnZt公司b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）dso+8Esup0≤t型≤TnZt公司σ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）dWso公司≤8Esup0≤t型≤TnZt公司b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）ds·Ztdso+8恩兹特σ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）dso公司≤8TEsup0≤t型≤坦桑尼亚先令b（s，’us+εvs，Xεs）- b（s、\'us、\'Xs）ds+8TEZT公司σ（s，\'us+εvs，Xεs）- σ（s，\'us，\'Xs）ds公司≤KTEZT公司(Xεs-(R)Xs+ ε| vs |）ds≤KTZTEsup0≤s≤t型Xεs-(R)Xsdt+KTEZTε| vs | d结果来自Gronwall不等式。下面的微积分引理是对Dini定理的轻微修改，以适应我们的建议。我们在这里包括它及其证明，以证明本文件的完整性。引理3.2假设Fn，F是分布函数，F是连续的。如果有x，limn→∞Fn（x）=F（x），然后（3.1）limn→∞supx公司∈R | Fn（x）- F（x）|=0。证明：如果（3.1）不成立，则存在ε>0和序列xn∈Rsuchthat | Fn（xn）- F（x）|≥ ε. 如果需要，我们可以假设xn→ x个∈ [-∞, ∞] 作为n→ ∞.假设x是有限的。如果需要，我们可以假设xn≤ XF用于所有n或xn≥ x代表所有n。我们假设前者，因为另一个案例可以进行类似的研究。

此外，如果有必要，我们可以假设xn↑ x、 对于n≥ m足够大，我们有fn（xm）≤ Fn（xn）<F（x）- ε.取n→ ∞, 我们得到F（xm）≤ F（x）- ε. 取m→ ∞, 然后我们得到F（x）≤F（x）- ε，这是一个矛盾。最后，我们假设x=∞ 或x=-∞. 我们采用前者，因为另一个相似。如果需要，我们可以假设xn↑ ∞. 让n≥ mbe足够大。然后，Fn（xm）≤ Fn（xn）<1- ε.取n→ ∞, 我们得到F（xm）≤ 1.-ε. 让m→ ∞, 我们得出的矛盾是1≤ 1.- ε.由于这两种情况都会导致矛盾，（3.1）必须成立。以下是本文的主要技术引理。引理3.3假设'XTPOSS是s连续分布函数。然后，limε→0EFXεT（XεT）- F？XT（？XT）= 证明：注意有一个子序列ε* ε使得limε*→0EFXε*T（Xε*T）- F？XT（？XT）=limε→0EFXεT（XεT）- F？XT（？XT）,它总是存在的。XεTL→\'\'XT表示Xε*TL公司→\'\'XT。此外，还有一个“Xε′tof Xε”序列*t几乎可以肯定会收敛到'XT。然后我们得到limε′→0EFXε′T（Xε′T）- F？XT（？XT）= limε*→0EFXε*T（Xε*T）- F？XT（？XT）.因此，将问题转化为证明（3.2）limε′→0EFXε′T（Xε′T）- F？XT（？XT）= 0，给定Xε′Ta。s→\'\'XT。请注意FXε′T（Xε′T）- F？XT（？XT）≤FXε′T（Xε′T）- F’XT（Xε′T）+F’XT（Xε′T）- F？XT（？XT）≤ supx公司FXε′T（x）- F'XT（x）+F’XT（Xε′T）- F？XT（？XT）→ 0，其中la st阶跃遵循引理3.2，分布函数F'XT的连续性。

等式（3.2）之后是支配收敛定理。备注3.4可以验证对于llλ，u∈ [0，1]，limε→0EλFXεT（uXεT+（1- u）(R)XT）+（1- λ） F？XT（uXεT+（1- u）(R)XT）- F？XT（？XT）= 此外，如果'u±thave连续（除0外）分布函数，则Limε→0EF（uεt）±（uεt）±- F’u±t\'u±t= 0, t型∈ [0，T]。下一个引理提供了状态过程的一阶扰动。引理3.5设Zt为（3.3）（dZt=（(R)bx（t）Zt+(R)bu（t）vt）dt+（(R)σx（t）Zt+(R)σu（t）vt）dWtZ=0。然后，在条件（H.1）下，我们有（3.4）limε→0Esup0≤t型≤TXεt-(R)Xtε- Zt公司= 证明：设yεt=Xεt-(R)Xtε- Zt，thendyεt=nεb（t，\'ut+εvt，\'Xt+ε（Zt+yεt））- b（t，\'ut，\'Xt）- bx（t，\'ut，\'Xt）Zt- bu（t，\'ut，\'Xt）vtodt+nεσ（t，\'ut+εvt，\'Xt+ε（Zt+yεt））- σ（t，\'ut，\'Xt）- σx（t，\'ut，\'Xt）Zt- σu（t，\'ut，\'Xt）vtodWt。可以很容易地显示t hatERTZtdt+ERT | yεt | dt<∞. 由于yε皮重的漂移和扩散系数相似，我们只关注漂移系数。注意εb（t，\'ut+εvt，\'Xt+ε（Zt+yεt））- b（t，\'ut，\'Xt）- bx（t，\'ut，\'Xt）Zt- bu（t，’ut，’Xt）vt=Zbx（t，’ut+λεvt，’Xt+λε（Zt+yεt））（Zt+yεt）dλ+Zbu（t，’ut+λεvt，’Xt+λε（Zt+yεt））vtdλ- bx（t，\'ut，\'Xt）Zt- bu（t，\'ut，\'Xt）vt=Zbx（t，\'ut+λεvt，\'Xt+λε（Zt+yεt））- bx（t，\'ut，\'Xt）Ztdλ+Zbu（t，\'ut+λεvt，\'Xt+λε（Zt+yεt））- bu（t，\'ut，\'Xt）vtdλ+Zbx（t，\'ut+λεvt，\'Xt+λε（Zt+yεt））yεtdλ。通过使用条件（H.1）和Cauchy-Schwarz不等式，我们得出结论，上述等式右侧的前两项在(Ohm ×[0，T]）sεg等于零。

事实上，第一项估计如下：EZTnZbx（t，\'ut+λεvt，\'Xt+λε（Zt+yεt））- bx（t，\'ut，\'Xt）Ztdλodt≤EZTnZKλε|Zt+yεt |+| vt|Ztdλodt≤EZTKnZλε|Zt+yεt |+| vt|dλo·Ztdt≤EZTKZ公司λε|Zt+yεt |+| vt|dλ·Zdλ·Ztdt≤EZTnKZλε| Zt+yεt|dλ+KZ（λεvt）dλo·Ztdt≤ KZTEZ公司λε| Zt+yεt|dλ·Ztdt+KZTEZ（λεvt）dλ·Ztdt≤ KZTnEhZλε| Zt+yεt|dλi·EZtodt+KnZTEhZ（λεvt）dλidto·nztextdto≤ 克尼特斯λε| Zt+yεt|dλdto·nztextto+KnZTEZ（λεvt）dλdto·nztextto→ 0为ε→ 第二项的证明类似。用相同的处理方法处理yεt的扩散部分，一个εt=ZtZbx（s，\'us+λεvs，\'Xs+λε（Zs+yεs））yεsdλds+Ztρεsds+ZtZσx（s，\'us+λεvs，\'Xs+λε（Zs+yεs））yεsdλdWs+ZtτsdWs，其中|当ε为零时，dt为零。使用BurkholderDavis-Gundy不等式，除了bx，σx的有界性条件外，最终得到了WehaveSup0≤t型≤T | yεT|≤KZTsup0≤s≤t | yεs | dt+EZT |ρεs | ds+EZT |τεs | ds。应用Gronwall不等式，结果如下。在下一个引理中，我们计算扰动预期泛函对ε的导数。引理3.6目标函数al J的Gateaux导数由ddεJ（\'u·+εv·）给出ε=0=EZTζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）vt'ut>0+ζ′-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）vt？ut<0+El′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）ZT公司.证明：回顾（2.2），目标泛函的三个积分的结构相似。我们详细讨论最后一学期。

重写术语asEl（XT）w′1.- FXT（XT）=Z∞l（x）w′1.- FXT（x）dFXT（x）=Z∞l′（x）w（1）- FXT（x））dx。现在我们计算其Gateaux导数asI△= limε→0εZ∞l′（x）w（1）- FXεT（x））dx-Z∞l′（x）w（1）- F？XT（x））dx= limε→0εZ∞l′（x）Zw′（1）- λFXεT（x）- (1 - λ） F'XT（x））dλ（F'XT（x）- FXεT（x））dx，为方便起见，letgε（x）=l′（x）Zw′+（1- λFXεT（x）- (1 - λ） F？XT（x））dλ，x>0，负ε（x）=Zxgε（y）dy，Gε（0+）=0。那么，I=limε→0ε-1Z∞gε（x）（F'XT（x）- FXεT（x））dx=limε→0ε-1Z∞（F？XT（x）- FXεT（x））dGε（x）=- limε→0ε-1Z∞Gε（x）d（F'XT（x）- FXεT（x））=limε→0ε-1E（Gε（XεT）- Gε（(R)XT））=直线ε→0ε-1EZgε（uXεT+（1- u）(R)XT）（XεT-(R)XT）du。其他术语也可以进行类似的研究。因此，J的Gateaux导数被转换为beddεJ（\'u·+εv·）ε=0=limε→0εEZTZgε（τuεt+（1- τ） \'ut）（uεt- \'ut）\'ut>0dτdt+limε→0εEZTZgε(-τuεt- (1 - τ） \'ut）（uεt- \'ut）\'ut<0dτdt+limε→0εEZgε（uXεT+（1- u）(R)XT）（XεT-\'XT）du，（3.5），其中gε（x）=ζ′+（x）Z′+(1 - λF（uεt）+（x）- (1 - λ） F'u+t（x））dλ，x>0，gε（x）=ζ′-（x） Z′-(1 - λF（uεt）-（十）- (1 - λ） F'u-t（x））dλ，x>0。接下来，我们回到I的计算，以证明mε→0EZgεuXεT+（1- u）(R)XTdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）= 0时，为了简单起见，我们采用速记法，Jε，λ，u=λFXεTuXεT+（1- u）(R)XT+ ( 1 - λ） 下一页uXεT+（1- u）(R)XT,J=w′1.- Jε，λ，u- w′1.- F？XT（？XT）.条件（H.3）表示有界。

因此，通过Cauchy-Schwarz不等式，limε→0EZgεuXεT+（1- u）(R)XTdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）≤ limε→0EZl′型uXεT+（1- u）(R)XTZw′型1.- λFXεTuXεT+（1- u）(R)XT- (1 - λ） 下一页uXεT+（1- u）(R)XTdλdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）≤ limε→0公里Zl′uXεT+（1- u）(R)XT- l′（\'XT）·Zw′型1.- Jε，λ，udλdu+ limε→0公里l′（\'XT）·ZZw′型1.- Jε，λ，udλdu- w′1.- F？XT（？XT）≤ limε→0KEZL′\'τuXεT+（1- τu）(R)XT（XεT-(R)XT）udτdu+KEl′（\'XT）· limε→0埃兹w′1.- Jε，λ，u- w′1.- F？XT（？XT）dλdu.由于引理3.1，我们得到了→0KEZL′\'τuXεT+（1- τu）(R)XT（XεT-(R)XT）udτdu≤ limε→0公里l′（XεT）+l′（\'XT）（XεT-(R)XT）≤ limε→0公里El′（XεT）+l′（\'XT）E（XεT-\'\'XT）= 同时，根据备注3.4，我们有△= limε→0EZZw′1.- Jε，λ，u- w′1.- F？XT（？XT）dλdu≤ limε→0EZZZw′\'1.- τJε，λ，u- (1 - τ） F？XT（？XT）dτF？XT（？XT）- Jε，λ，u·δ≤Jε，λ，u，F？XT（？XT）≤1.-δdλdu+limε→0EZZ | J |·Jε，λ，u<δdλdu+limε→0EZZ | J |·F'XT（'XT）<δdλdu+limε→0EZZ | J |·Jε，λ，u>1-δdλdu+limε→0EZZ | J |·F'XT（'XT）>1-δdλdu≤ limε→0KδEZZF？XT（？XT）- Jε，λ，udλdu+limε→0KEZZJε，λ，u<δdλdu+limε→0KEZZJε，λ，u>1-δdλdu+KE（F'XT（'XT）<δ）+KE（F'XT（'XT）>1-δ） =KZLIMε→0便士Jε，λ，u<δdλdu+KP{F'XT（'XT）<δ}+KZZlimε→0便士Jε，λ，u>1- δdλdu+KP{F'XT（'XT）>1- δ}≤ 2KP{F'XT（'XT）≤ δ） }+2KP{F'XT（'XT）≥ 1.- δ}.我们认识到，随机变量F'XT（'XT）~ U（0，1）。取δ→ 0，我们看到Iis 0。

因此，limε→0EZgεuXεT+（1- u）(R)XTdu- l′（\'XT）w′1.- F？XT（？XT）= 通过引理3.5，我们得到了l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT））ZT.（3.5）中RHS上的其他术语也可以用同样的方法处理。作为最后一个技巧步骤，我们将上面的I写成一个形式，它与最后一个引理中给出的预期泛函的导数中的其他两项相同。引理3.7E（pTZT）=EZTvt（pt’bu（t）+qt’σu（t））dt。证明：根据（3.3）和（2.5），将It^o公式应用于ptztyeldsd（ptZt）=ptdZt+Ztdpt+d hp，Zit=pt'bx（t）Zt+pt'bu（t）vtdt+pt\'\'σx（t）Zt+\'\'σu（t）vt载重吨- Zt公司\'\'bx（t）pt+\'\'σx（t）qtdt+ZtqtdWt+\'\'σx（t）Zt+\'\'σu（t）vtqtdt=pt'bu（t）vt+'σu（t）vtqtdt公司+pt'σx（t）Zt+pt'σu（t）vt+Ztqt载重吨。然后，对t进行积分，并对两侧进行期望，结果如下。最后，我们准备完成定理2.6的证明：结合引理3.6和3.7，预期泛函的Gateaux导数以这种方式表示。ddεJ（\'u·+εv·）ε=0=EZTvtpt'bu（t）+σu（t）qt+ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）\'ut>0+ζ\'-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）\'ut<0dt。由于“u”是最佳的，我们到达atEZT（ut- “”ut）pt'bu（t）+σu（t）qt+ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）\'ut>0+ζ\'-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）\'ut<0dt=0。注意，当“ut6=0时，ut- “”UTI是任意的。因此，在这种情况下，我们有pt'bu（t）+σu（t）qt+ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）\'ut>0+ζ\'-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）\'ut<0=0，a.e.t∈ [0，T]，每年。。在本节中，我们将最大值原理应用于三个有趣的示例。第一个例子将表明，在没有运行成本的情况下，金州的结果与我们的结果一致。另外两个例子表明，使用我们的随机极大值原理可以显式地解决一些优化问题。例4.1考虑例1.1，无需假设。

状态过程建模为（dXt=Xt（rt+（bt- rtm）tut）dt+XtutσtdWt，t∈ [0，T]；X=X>0，并且代理在CPT下的目标函数为comesv（XT）=Z∞w（P{l（XT）>x}）dx。假设存在anRm值、一致有界、Ft可测过程θ。使得σtθt=bt- rtm，a.e.t∈ 【0，T】，a.s。。此外，秩（σt）=m，a.e.t∈ 【0，T】，a.s。。该假设确保金融市场是无套利且完整的。在适当的条件下，金周[8]（第6节）给出的最优终端财富为（4.1）’XT=（l’）-1.λρTw′（FρT（ρT））,其中ρt=expn-Zt公司rs+|θs|ds公司-ZtθsdWsois是定价核，λ>0是唯一的实数，使得e（ρT'XT）=x。它们证明了fρT（ρT）=1- F'XT（'XT）。根据定理2.6，最优解（\'u·，\'X·）必须满足（2.5）和（2.6）。事实上，将（4.1）代入（2.5），我们可以得到（dpt=-（rt+（bt- rtm）tut）ptdt- utσtqtdt+qtdWt，pT=l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT））=λρT。将其^o公式应用于λρT，一个hasdλρt）=-rt·λρtdt- λρtθtdWt。与上述反向SDE相比，其屈服SPT=λρt，qt=-λρtθt，σtθt=bt- rtm，我们实现了（bt- rtm）+σtqt=λρt（bt- rtm）- σtλρtθt=0，t型∈ [0，T]，即，（p，q）满意度（2.6）。换句话说，本文得到的最优策略与金、周的最优策略一致[8]。实际上，在某些情况下，当“ut6”为0时，将无法解决问题。在其他情况下，控制过程的唯一解决方案是0。示例4.2 Le t b（t，u，x）=-ux，σ（t，u，x）=x。

假设re不是终端目标函数；即J（u·）=EZTζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）- ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt。如果（\'u·，\'X·）是一个最优解，根据随机最大值原理，我们有pt=（ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）如果“ut>0，ζ′”-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）如果ut<0，则为a.s。。另一方面，（pt，qt）解决了BSDE（dpt=“”utpt- qtdt+qtdWt，pT=0。很明显，pt≡ qt≡ 0是唯一的解决方案，如果“ut6=0”，则会产生相反的结果。相应地，\'ut=0，a.e.t∈ 【0，T】，a.s。。最后，我们给出了一个可解的例子，并将结果与无概率失真的结果进行了比较。目标函数中的过程u±tin替换为u±tXt，表示财富过程的比例。我们研究了一个具有compoundedcost函数的情况。示例4.3 Le t ut，Xt>0，b（t，u，x）=-ux，σ（t，u，x）=x，ζ+（x）=xαα（0<α<1），+（p） =νpγ+1+（1- ν) [1 - (1 - p） β+1]（γ，β≥ 0, 0 ≤ ν ≤ 1). 我们有（dXt=-utXtdt+XtdWt，X=X，andJ（u·）=EZTα（utXt）α′+1.- FutXt（utXt）+ Xt公司dt。根据定理2.6，其最优解（\'u·，\'X·）应满足（4.2）pt=“”“ut”“Xt”α-1.′+1.- F“ut”Xt（“ut”Xt）, a、 电子技师∈ [0，T]，a.s.，其中（dpt=“”utpt- qt-“”“ut”“Xt”α-1.′+1.- F“ut”Xt（“ut”Xt）“”ut- 1.dt+qtdWt，pT=0。结合这两个方程，我们得到（dpt=-（qt+1）dt+qtdWt，pT=0。It yieldspt=T- t、 qt=0，t型∈ [0，T]。回到等式（4.2），我们写下“ut”Xt=h（pt）。如果是这种情况，“ut”Xt是确定性的，因此f“ut”Xt（“ut”Xt）=1。