概率畸变下的随机极大值原理

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英文标题：
《Stochastic maximum principle under probability distortion》
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作者：
Qizhu Liang and Jie Xiong
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Within the framework of the cumulative prospective theory of Kahneman and Tversky, this paper considers a continuous-time behavioral portfolio selection problem whose model includes both running and terminal terms in the objective functional. Despite the existence of S-shaped utility functions and probability distortions, a necessary condition for optimality is derived. The results are applied to various examples.
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中文摘要：
在Kahneman和Tversky的累积前瞻理论框架下，本文考虑了一个连续时间行为投资组合选择问题，该问题的模型在目标函数中同时包含运行项和终端项。尽管存在S型效用函数和概率扭曲，但导出了最优性的必要条件。结果被应用到各种例子中。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Stochastic_maximum_principle_under_probability_distortion.pdf (237.81 KB)

2022-6-1 15:44:49 上传

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关键词：Mathematical Differential Quantitative Applications Probability

概率扭曲下的随机最大值原理*梁启柱和熊杰摘要在Kahnemand Tversky的累积前瞻性理论框架内，本文考虑了一个连续时间行为投资组合选择问题，该问题的模型在目标函数中同时包含运行项和终端项。尽管存在S型效用函数和概率扭曲，但导出了最优性的必要条件。结果应用于各种示例。关键词：累积前瞻理论、S型效用函数、概率扭曲、随机最大值原理、行为投资组合优化AMS主题分类。初级93E20；次级91G80.1。引言预期效用理论（EUT）长期以来作为风险偏好的主要衡量标准。除了连续金融投资组合选择问题的理论外，还开发了许多方法，如动态规划、随机最大原理、鞅和凸对偶，参见Merton【18】，Peng*这项研究得到了澳门科技发展基金FDCT025/2016/A1和南方科技大学创业基金Y01286120的支持。澳门大学数学系，中国澳门(yb47422@umac.mo).中国深圳南方科技大学数学系(xiongj@sustc.edu.cn).[19] ，Du ffe和Epstein【4】，Karatzas等人【11】。冯·诺伊曼南德·摩根斯特恩（von Neumannand Morgenstern）[24]提出的EUT的前提是，结果的效用由其概率加权，决策者一贯回避风险。

然而，这些都被实质性的现象所违背。Allais[1]认为，个人评估（超重或体重不足的概率）每一个结果都取决于通过个人数据表的潜在客户的其他结果。针对这一事实的相关研究有Fishburn【5】、Schmeidler【21】等。另一方面，风险寻求行为普遍存在于决策问题中，例如，人们喜欢在彩票上花费x，预期回报不超过x。同样地，在亏损情况下，人们通常更喜欢可能的巨额亏损，而不是一定的亏损。相当多的经济学家，如Yaari【25】，已经研究了EUT对这些挑战的修改。替代EUT最显著的作用是卡尼曼（Kahneman）和特沃斯基（Tversky）[10]的前景理论（PT），该理论在面对不确定性时考虑了投资者的心理。后来，Tversky和Kahneman将PT演化为累积远景理论（CPT）[23]。CPT和PT之间的一个显著差异是，权重适用于累积分布函数，但不适用于个体结果的概率；也就是说，新版本可以扩展到连续发行版。CPT的关键要素包括i）基准服务作为区分损益的基点。在不丧失一般性的情况下，本文假设它为0。ii）收益效用函数为凹函数，损失效用函数为凸函数，损失效用函数比收益效用函数更陡。iii）概率扭曲（或加权）是概率测度的非线性转换，它会加重小概率，而低估中高概率。将CPT或PT纳入投资组合选择问题的研究正方兴未艾。其中大多数仅限于离散时间设置，例如Benartzi和Thaler【2】、Shefrin和Statman【22】、Levy和Levy【16】。

Jin和Zhou【8】对具有行为准则的连续时间资产配置进行了实证分析研究。从那时起，出版了一些广泛的著作，见何和周（[6]，[7]），以及金和周[9]。Jin和Zhou【8】提出了一种新的理论，用以计算连续时间CPT模型中的最优终值，该模型同时具有S形函数和概率扭曲。他们的主要思想是将决策变量从随机变量变为分位数函数，使非凹凸目标变为一个凸函数。整个机器都很复杂。为了实现复制最优终值的最优控制过程，需要进一步计算。尽管如此，他们的理论针对的是自融资市场中的一个特定投资组合选择问题（即没有消费或收入）。我们工作的主要动机是处理消费模型的概率失真。为了更接近现实，我们的问题不允许破产。下面是激励我们工作的两个例子。设T>0为固定时间范围，且(Ohm, F、 P，{Ft}t≥0）一个经过过滤的完全概率空间，在该空间上定义了一个标准的Ft自适应m维布朗运动Wt≡ （重量，···，Wmt）W=0时。假设Ft=σ{Ws:0≤ s≤t} ，由所有空集扩充。在本文中，A表示矩阵a的转置；a±表示实数a的正负部分。Let（eOhm,eF，eP）是概率空间的副本(Ohm, F、 P）。对于任意随机变量ξover(Ohm, F、 P）我们表示再见ξ（e）中定义的ξ的副本Ohm,eF，eP）。预期对象[·]=ReOhm（·）依赖于变量eω∈eOhm 只有在下面的内容中，我们替换f▄Y（Y）=eP{eY≤ 为了方便起见，Y}by FY（Y）f。示例1.1（投资与消费）我们说明了Pham的一个模型（[20]，第3.6.2节）。

官方市场包括一个债券，其价格St由DST=rtStdt，S=S>0，以及m个股票，其每股价格Sit，i=1，···，m，由DSIT=Sit给出的几何布朗运动建模bitdt+mXj=1σijtdWjt, Si=Si>0。利率rt，向量bt=（bt，···，bmt）股票估值率，波动矩阵σt={σijt}1≤i、 j≤马尔被认为是一个可预测的随机过程。在这个金融市场上，不允许破产。财富过程X.要求是积极的。uit（可能为负，也可能超过1）是投资于股票i的财富的比例，Ct是在时间t时每单位财富的消费。剩余比例1-Pmi=1投资于债券。然后，将其与前向随机微分方程（SDE）进行比较dXt=Pmi=1 ITXTSITDSIT+（1-Pmi=1uit）XtStdSt- ctXtdt=Xt（rt+（bt- rtm）图坦卡蒙- ct）dt+XtutσtdWt，t∈ [0，T]；X=X>0，其中ut=（ut，···，umt）cttogether是投资者的投资组合。与文献中的大多数人一样，我们将交易策略或投资组合定义为分配给不同资产的财富的比例或分数，参见Merton【18】、Karatzas等人【11】、Karatzas和Shreve【12】。在金周[8]的连续时间CPT框架内，目标是找到最优消费路径c和股票u的投资组合策略，从而使预期偏好J（c·，u·）=ZTZ∞P{ζ（ctXt）>y}dydt+Z∞w（P{l（XT）>x}）dx。达到最大值。此处ζ（·），l（·）：R+→R+分别是投资者对消费和终端财富的效用函数，w（·）：[0，1]→ [0，1]表示概率的扭曲。消费没有失真。事实上，前瞻函数可以写成j（c·，u·）=EZTζ（ctXt）dt+El（XT）w′（1- FXT（XT））.示例1.2（投资vs。

赌博）除上述市场的投资外，投资者还可以购买彩票。在这里，财富也需要有活力。为了简单起见，让ct∈R+是时间t和k时每单位财富的赌注，是获胜的几率。例如，i f Ktis 8，概率为0.1和d-1概率为0.9时，投资者将赢得概率为0.1的8CTX，并在t时以概率为0.9的下注CTX。财富过程由（dXt=Xt（rt+）（bt- rtm）tut）dt+XtutσtdWt+KtctXtdt，t∈ [0，T]；X=X>0，其中ut=（ut，···，umt）和CTC构成投资者的投资组合。在这种情况下，投资组合选择问题是找到最优选的投资组合，以最大化偏离的预期收益J（c·，u·）=RTR∞+（P{ζ+（K+tctXt）>y}）dy-R∞-（P{ζ-（K）-tctXt）>y}）dydt+R∞w（P{l（XT）>x}）dx，其中ζ+（·），ζ-（·）：R+→R+分别是衡量赌博收益和损失的效用函数。+(·), -(·) : [0, 1] → [0，1]分别代表收益和损失概率的扭曲。w（·）和l（·）与上一个示例中的相同。直截了当地说，扭曲的支付可以写成J（c·，u·）=ERTζ+（K+tctXt）′+1.- FK+tctXt（K+tctXt）- ζ-（K）-tctXt）′-1.- FK公司-tctXt（K-tctXt）dt+El（XT）w′（1- FXT（XT））.目标是找到一个最优投资组合（u.，c.）以最大化J。一般来说，我们将考虑具有概率扭曲和运行效用的优化问题。由于概率扭曲，条件期望与过滤的时间一致性无效。因此，dynamicprogramming方法无法解决根本问题。另一方面，金周[8]中引入的分位数公式对于作为随机变量而非随机过程的控制来说是可行的。它不符合跑步条件。

因此，在本文中，我们采用随机极大值原理来克服上述困难，并努力获得一般优化问题最优控制过程的必要条件。本文的其余部分组织如下。下一节将模拟CPT下的一般连续时间投资组合选择模型，该模型具有S形效用函数和概率扭曲。然后，给出了本文的主要结果。在第3节中，使用随机最大值原理来获得最优性的必要条件。在第4节中，我们将我们的一般结果应用于三个有趣的示例。最后一节给出了最后的结论。2、问题公式和主要结果确定一个正态过程（2.1）（dXt=b（t，ut，Xt）dt+σ（t，ut，Xt）dWtX=x>0，代理人的预期功能（2.2）J（u·）=ERTζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）- ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt+El（XT）w′1.- FXT（XT）,其中WT是一维布朗运动，u·是一个控制过程，取凸集u中的值R、 根据CPT，以下假设将贯穿本文，其中x表示状态变量，u表示控制变量。（H.1）b（·，·，·）：[0，T]×U×R+→R、 σ（·，·，·）：[0，T]×U×R+→R、 对于（u，x）是连续不同的。b，σ相对于（x，u）的一阶导数是Lipschitz连续的。我们进一步假设b（t，u，0）=σ（t，u，0）=0。（H.2）ζ±（·），l（·）：R+→R+应是可区分的、严格递增的、严格凹的，并满足ζ±（0）=l（0）=0和INDA条件ζ′±（0+）=l′（0+）=∞.（H.3）±（·），w（·）：[0，1]→ [0，1]是可区分的，并且严格地增加±（0）=w（0）=0，±（1）=w（1）=1。

此外±（·）、w（·）都有界。效用函数的一个典型例子是l（x）=xγγ，0<γ<1，而畸变函数的例子是洛佩斯的SP/A理论[17]中使用的递减加权函数，其形式为：w（p）=νpα+1+（1- ν)[1 - (1 - p） β+1]，其中0≤ ν ≤ 1和α、β≥ 很明显，pα+1和1- (1 - p） β+1分别是凸函数和凹函数。定义=nu：[0，T]×Ohm → U | utis Ft适应andEZT | ut | dt<∞o、 定义2.1控制过程u·∈ U被认为是可容许的，并且（U.，X.）如果（1）X.是方程（2.1）在u下的唯一解，则称为容许对。；（2） u+·和u-·具有s连续（0除外）分布函数；（3） ERT公司ζ+（u+t）′+1.- Fu+t（u+t）+ζ-（u）-t）′-1.- 傅-t（u-t）dt<∞.（4） ERT公司ddulnζ+（u+t）+ddulnζ-（u）-t）+ζ′′+（u+t）+ζ′′-（u）-t）dt<∞.所有容许控制的集合由Uad表示。备注2.2如果ζ±（u）=uγγ，0<γ<1，则满足条件（4），前提是容许控制仅限于威瑟特| ut|-8dt<∞.同时，本文还对终端状态进行了一些技术假设。假设2.3与控制过程u相对应的终端状态XT。∈Uadhas连续分布函数，和（2.3）El（XT）w′1.- FXT（XT）+Eddxln l（XT）+El′（XT）< ∞.定义2.1中的条件（3）以及不等式的第一项（2.3）保证了预期函数J（u·）始终是有限的。

一般来说，如果J的上限为有限初始投资x，则该模型被视为适定模型；否则，它是不适定的。备注2.4如果l（x）=xγγ，0<γ<1，^b（t，u，x）=x-1b（t，u，x）和^σ（t，u，x）=x-1σ（t，u，x）有界于[0，t]×u×R+，则ddxln l（XT）安第斯山脉l′（XT）是有限的。实际上，将It^o公式应用于X4γ-8t，我们最终获得l′（XT）= (γ - 1） X4γ-8·Eexp(4γ - 8)RT（^b（t，ut，Xt）-σ（t，ut，Xt）dt+RTσ（t，ut，Xt）dWt,这是有界的。So isEddxln l（XT）.备注2.5由于我们研究的连续模型，分布的连续性假设不是很严格。以下是满足此条件的一些情况：i）如果控制采用马尔可夫反馈形式，即对于合适的可测函数g，ut=g（t，Xt），则随机变量Xt的密度v（t，x）的存在符合一般PDE理论，因为它满足查普曼-科尔莫戈罗夫方程。ii）在备注2.4中给出^b和^σ。If^b-^σ有界且^σ有界于0以下，则x有密度。证明：对于i）我们让读者参考Kusuoka和Stroock【14】、Kusuoka和Stroock【15】、Bouleau和Hirsch【3】、Kusuoka【13】，了解密度存在的许多有效条件。现在我们给出了ii）的一个证明。表示ct=^σ（t，ut，Xt）和Yt=ln Xt。根据It^o公式，我们有DYT=^b-^σ（t，ut，Xt）dt+ctdWt。根据Girsanov定理，存在一个等价的概率测度▄P和▄P布朗运动▄W，使得dyt=ctd▄Wt。现在我们只需要证明它是一个密度。为便于记法，我们假定Y=0。表示F（λ）=EeiλYT。

那么，F（λ）=limn→∞Eexpiλn-1Xj=0ctjWtj+1-Wtj!= 画→∞Eexpiλn-2Xj=0ctjWtj+1-Wtj!经验值-λctn-1（tn- 田纳西州-1)≤ 画→∞Eexpiλn-2Xj=0ctjWtj+1-Wtj!经验值-ελ（tn- 田纳西州-1)≤ · · ·≤ 经验值-εTλ,式中，0=t<t<···<tn=t是[0，t]的分区，最大值为| tj+1- tj |→ 因为F在L中，所以它是L函数的傅里叶变换，即XT的密度。现在，我们已经准备好陈述我们的问题并介绍我们的主要结果。问题我们的最优控制问题是找到·∈ UAD使（2.4）J（\'u·）=最大值·∈UadJ（u·）。设（\'u·，\'X·）为问题（2.4）的最佳对。在说明本文的主要结果之前，我们先建立了伴随方程（2.5）（dpt=-bx（t，\'ut，\'Xt）pt+σx（t，\'ut，\'Xt）qtdt+qtdWt，pT=l′（\'XT）w′（1- F'XT（'XT）），其中bx和σxd分别表示b和σ的偏导数（in x）。定理2.6如果“u”是状态轨迹为“X”的最优控制，则存在满足（2.5）的自适应过程的tsa对（p·，q·），即a.e∈ [0，T]，（2.6）ptbu（T，\'ut，\'Xt）+σu（T，\'ut，\'Xt）qt=(-ζ′+“”u+t′+1.- F'u+t（'u+t）如果ut>0，-ζ′-\'\'u-t型′-1.- F'u-t（\'u-t）如果ut<0，则为a.s。。备注2.7当ζ±（·），l（·）替换为连续两次可微分且在零处取零值的函数时，定理m 2.6仍然成立。此外，该模型还可以推广。例如，我们可以用u±tx代替u±tin作为目标函数。