量化去多项式

蒙特卡罗定价错误）计算E【h（X）】时，其中X是标的资产的到期价值和具有Lipschitz常数【h】Lip的Lipschitz（Payoff）函数，然后，通过应用Jensen\'sinequality，E【h（X）】- E【h（bXΓ）】≤ [h] 李鹏（X，Γ）。特别是，通过量化定价产生的误差在rateN衰减，与蒙特卡罗误差相反，蒙特卡罗误差由有序的中心极限定理控制√N、 最后一个关键点是如何获得最佳量化器。众所周知，畸变函数在任何具有成对不同分量的N元组上都是可区分的（见（Graf and Luschgy，2000，Lemma 4.10）或（Pag\'es，2015，Prop.1）），具有不同的D（x，…，xN）=2ZCi（Γ）（xi）- ξ） dPX（ξ）！1.≤我≤N=2E十、∈Ci（Γ）（xi）- X）1.≤我≤N、 （13）因此，开发了许多寻找D梯度零点的随机算法。其中包括梯度下降和定点程序，我们参考（Pag\'es，2015，第3节）了解详细概述。失真函数的临界点称为平稳量化器。最优量化器是平稳的，但反之亦然。当然，静态量化器通常不是唯一的。从（13）中，静态量化器的确定归结为找到e的解十、∈Ci（Γ）X- xiP（X∈ Ci（Γ））=0我∈ {1，…，N}（14）被称为主方程（实际上，它是由N个未知量x，…，xN中的N个方程组成的系统）。此外，当梯度本身是可微分的时，可以应用经典的NewtonRaphson程序。如果已知X的密度，则可以明确地以（14）封闭形式写入系统，并找到其解。

另一方面，当X是到期时的资产价格时，通常情况下，过程的密度并不明确，除非在平凡的情况下，并且发现平稳量化器在数值上变得有趣。最后，我们概述了RMQ背后的思想，RMQ允许使用矢量量化递归离散随机过程。更准确地说，Pag\'es和Sagna（2015）通过递归处理随机变量{（Ytk）}k=0，…，引入了RMQ来离散随机过程Y（在维度1中），。。。，与Euler Maruyama方案相关。所以，从{tk}k=0的随机过程的时间离散化开始，。。。，M、 矢量量化提供了每个随机变量Ytk的状态空间离散化。RMQ的本质在于对（Ytk | Ytk）条件律的认识-1） ，k=1，M、 它允许递归量化边缘{（Ytk）}k=0，。。。，Mvia牛顿-拉斐逊程序（畸变函数的梯度和Hessian是显式的）。在下面的第5节中，我们将提供更多关于RMQ应用于多维设置的详细信息。4多项式过程的量化我们现在将讨论如何处理多项式过程。特别是，我们考虑SVJmodel，即使我们的方法是通用且灵活的，足以应用于任何多项式。Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，《量子化去多项式8过程》。我们只考虑SVJ模型，因为它是一类有效多项式过程的良好代表。作为第一种方法，在本节中，我们利用多项式特性，重点是在固定日期对原木价格过程X进行量化。然后，在第5节中，为了处理路径相关选项，我们忘记了（V，X）的多项式性质，并扩展了Callegaro等人的一般框架。

（2016）通过RMQ在一整套日期离散化二维过程（V，X）。4.1利用多项式特性在本节中，我们考虑在给定时间T找到对数价格过程X的平稳量化器的问题。由于我们过程的多项式性质，本节的主要结果是有可能写出主方程（14）的封闭形式。定理4.1。（多项式过程量化）考虑主方程（XT）- xi）11XT∈Ci（Γ）= 0，i=1，N（15）及其第i个分量i（x，…，xN）：=E（XT）- xi）11XT∈Ci（Γ）= 0（16），其中Ci（Γ）=xi-1+xi，xi+xi+1, C（Γ）=-∞,x+x和CN（Γ）=hxN-1+xN+∞i、 在我们的设置方程（16）中，readsXn≥0fin ` n=0，（17），其中` n是（8）中定义的埃尔米特矩，其中（傅立叶）系数finarigven byfin=hnxi-1+xi- hn公司xi+xi+1- xi自然对数xi-1+xi- 自然对数xi+xi+1h（K）=σwφK- uwσw+ uwΦuw- Kσwh（K）=σwK- uwσwφK- uwσw+ ΦK- uwσw+ uwφK- uwσwhn（K）=√nφK- uwσwσwHnK- uwσw+ nσwHn-2.K- uwσw（18） +uwHn-1.K- uwσw, n≥ 2，andl（K）=ΦK- uwσwln（K）=√nHn公司-1.K- uwσwφK- uwσw, n≥ 1、（19）G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，《量子化去多项式9》，其中φ和Φ分别是标准单变量高斯随机变量的密度和累积分布函数。证据见附录A备注4.2。定理4.1的结果是一般性的，因为它们可以应用于其他多项式模型，通过适当修改系数n.4.2平稳量化器的计算，即使方程（16）可以以闭合形式写入每个i=1，N、 无法找到对应于静态量化器的非线性系统解的解析表达式。因此，我们需要对这个系统进行数值求解。

如第3节所述，文献表明牛顿-拉斐逊方法是追踪方程组的最佳首选方法。下面的命题提供了牛顿-拉斐逊过程中使用的雅可比矩阵。提案4.3。考虑方程组（15）E（x，…，xN）：=E（XT）- x） 11XT∈C（Γ）= 0E（x，…，xN）：=E（XT）- x） 11XT∈C（Γ）= 0...EN（x，…，xN）：=E（XT）- xN）11XT∈CN（Γ）= 0。（20）当X是具有Hermite矩n的多项式过程时，向量函数E=（E，…，EN）的雅可比矩阵J是三对角对称的，其分量具有以下形式：Ji，i-1=xi- xi-1.燃气轮机xi-1+xii=2，NJi，i=Ji，i-1+Ji，i+1- P（XT∈ Ci（Γ））i=1，N、 J1,0=JN，N+1=0，其中gt（x）=Xn≥0\'nHn（x）w（x），（21）P（XT∈ Ci（Γ））=Xn≥0\'n自然对数xi-1+xi- 自然对数xi+xi+1, （22）和系数Ln在（19）中计算。证据见附录A。牛顿-拉斐逊算法具有以下结构：从初始猜测Γ（0）开始，第k次迭代为Γ（k）=Γ（k-1)- J-1.Γ（k-1)EΓ（k-1)k=1，2。（23）其中E=（E，…，EN）在命题4.3中定义，并根据定理4.1进行计算。给定一个停止标准，最后的迭代给出了平稳量化网格Γ*.G、 Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化多项式10现在我们假设已经找到了解*= {x*, . . . , x个*N} ，这是与XT关联的静态量化网格。为了计算（12）中的期望值，我们需要知道与每个Voronoi单元Ci（Γ）相关的权重*), 对于i=1，N、 重量由（22）直接给出。4.3近似误差分析我们关注的是带payoff f的欧式期权在时间0的定价。

在不丧失一般性的情况下，我们考虑一个在S上写的看涨期权，到期日T>0，执行价格K，即f=f（ST）=（ST- K） +。当然，如前所述，本节中的结果也适用于看跌期权。在下面的内容中，我们需要以下三种版本的价格：oπfis时间0的准确价格，即πf：=等式e-rT（ST- K）+= e-rTZR（ex- K） +gT（x）dx，其中gT是时间T时原木价格x的密度，由（21）给出。此公式包含一个有限和，因此函数gTfunction不能以闭合形式计算π（M）fis是在M级使用多项式近似法计算的价格，即用g（M）T（x）=MXn=0`nHn（x）w（x），（24）近似密度gT（x），即π（M）f=e-rTZR（ex- K） +g（M）T（x）dx=MXn=0 ` nfn，obπ（M，N）fis通过在N个点的网格上量化近似到期日的对数现货价格来计算的价格：bπ（M，N）f=e-rTNXi=1ZCi（ΓX）（exi- K） +g（M）T（x）dx=e-rTNXi=1（exi- K） +PX（M）T∈ Ci（ΓX）（25）式中，ΓX={X，…，xN}是相对于X（M）T的最佳量化器，即具有（近似）密度g（M）T的对数价格。我们用bx（M，N）T表示X（M）T的量化。注意，我们还有bπ（M，N）f=e-rTNXi=1（exi- K） +PbX（M，N）T=xi.G、 Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，Quantization Goes Polymonental 11通过分析价格近似的（渐近）行为，研究了我们方法的准确性，命名为Errm，N：=πf- bπ（M，N）f. （26）我们将错误分为两部分，分别研究：errM，N≤πf- π（M）f+π（M）f- bπ（M，N）f= errM+errM，N，其中errM：=πf- π（M）f是截断误差|ε（M）|，仅取决于M，如（Ackerer et al.，2018，第4节）中所述和研究，我们参考该误差进行详细分析，whileerrM，N：=π（M）f- bπ（M，N）f是量化误差，我们将在本节剩余部分重点讨论。备注4.4。量化误差errM，N形式上取决于M和N。

在我们的分析中，我们认为M的价值是固定的。在第6节中，在开始数值研究之前，我们将选择它，以便可以考虑普通期权价格中的截断误差。因此，我们将简单地用errN表示errM，Nby errN。我们现在研究一个中间引理和一个定理。引理4.5。量化误差满足性≤S（M）T-bS（M，N）T,其中，S（M）T：=eX（M）TandbS（M，N）是相对于S（M）T的N量化器。参见附录A。现在我们准备好确定量化误差的大小。如Zador定理所知，参见方程（11），距离| | S（M）T-当N趋于完整时，bS（M，N）T | |具有渐近线性衰减。以下定理提供了误差极限的精确界限，其证明受以下定理的启发（Callegaro等人，2018b，定理2.11）。我们在此强调，（Callegaro et al.，2018b，定理2.11）中给出的最新误差估计是在不同的设置和特殊假设下获得的（要求S（M）twa的二阶矩为有限，S（M）的密度为0和+∞ 由于密度h（M）Tof S（M）T的显式形式，这里可以放松。在二次曲线金融领域，Fiorin和Schoutens（2019）也对误差进行了深入研究。定理4.6。（量化误差估计）在我们的设置中，对于任何给定的M>0，我们有：limN→+∞N错误≤h（M）T√（27）式中，h（M）是S（M）T=eX（M）T，h（M）T（S）=g（M）T（ln（S））S的密度∈ (0, +∞).证据参见附录A.G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，《量化去多项式125定价外来：多维RMQ上一节描述的量化过程，基于（V，X）的多项式性质，在定价外来期权时可能会遇到维数问题。

在本节中，我们提出了一种称为递归边缘量化（recursive marginalquantization）的替代量化过程，在文献中已针对一类广泛的随机波动模型进行了讨论（参见Callegaro et al.（2016）和Callegaro et al.（2018a）），并将其扩展到多维环境。这种方法背后的创新有两个方面。首先，这里的算法是为任何维度d的SDE系统设计的，而Callegaro et al.（2016）和Callegaro et al.（2018a）中使用的方法是为维度2的系统量身定制的。因此，我们提出的是一种紧凑而稳健的替代品，以替代Fiorin等人（2018）。第二项创新在于算法执行所需的计算成本，与Callegaro等人（2016）相比，该成本减少了5倍，见第6节。事实上，到目前为止，波动性过程是独立量化的，而价格过程则是使用方差近似值的信息进行离散化的。在我们提出的公式中，向量波动率价格过程在其所有分量中同时量化。最终，这将使公式更加紧凑，并使计算程序更加高效和简洁。这里，我们考虑SDE系统的量化。我们将提出一个总体框架，然后将其应用于SVJ模型的情况。让我们考虑以下d维SDE：dXt=u（t，Xt）dt+∑（t，Xt）dWt，X=X.（28），其中u：R+×Rd-→ Rd，∑：R+×Rd-→ Rd×Rqand W是q维布朗运动。我们假设u和∑是充分正则的，以确保SDE（28）的解的存在性和唯一性。现在，让我们确定一个时间离散化网格tk=k, k=0，五十、 使用 =TL，其中T是给定的到期日， 是时间步长，L是时间网格的离散化点数。

一般的离散化方案可以用以下迭代形式编写：eXtk+1=Atk，,eXtk公司+ Btk，,eXtk，Wtk公司,eXt=x，（29），其中A：R+×R+×Rd-→ Rd和B：R+×R+×Rd×Rq-→ rD取决于离散化方案和Wtk公司=√Wtk+1- Wtk公司是一个具有均值0和方差协方差矩阵Iq的q维高斯向量。根据使用的时间离散化方案，可以知道（eXtk+1 | eXtk）的规律，这显然取决于A和B。特别是在EulerMaruyama（或简单的Euler）方案的情况下，我们将选择（eXtk+1 |{eXtk=x}），x∈ Rd具有多变量高斯分布，而在Milstein格式的情况下，它具有广义的dchi平方分布。对于高阶方案，必须根据具体情况确定条件分布。5.1算法的数学基础此后，我们考虑Euler格式，因此，在{eXtk=x}条件下，我们有（再聚合（29））A（tk，, x） =x+u（tk，x）, B（tk，, x，Wtk）=√∑（tk，x）Wtk，（30）G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化为多项式13，以下引理成立：引理5.1。对于每0≤ k≤ 五十、 有条件地，在事件{eXtk=x}上，随机向量eXtk+1是高斯的：L（eXtk+1{eXtk=x}）~ Nx+u（tk，x）, （∑∑T）（tk，x）. （31）特别是，如果Xt=Xt，Xdt公司andeXtk公司=eXtk，eXdtk公司对于k=0，五十、 和x=x、 ，除息的, 对于每个i=1。

，dL（eXitk+1 |{eXtk=x}）~ N（mi（tk，x），i（tk，x）），（32），其中mi（tk，x）：=xi+ui（tk，x）是向量x+u（tk，x）的第i个分量，i（tk，x）是（对称）矩阵的第i个对角元素∑∑T。然后可以将exit+1的分布写成一个封闭形式：PeXitk+1∈ dxik+1=ZRdφmi（tk，xk），i（tk，xk）xik+1PeXtk公司∈ dxk公司, （33）其中φm，是一维高斯变量的概率密度函数，平均值为m，方差为。让我们确定量化网格Γi，k+1=nγi，k+1，γNi，k+1，尺寸为N，相对于XITK+1。与Γi，k+1readsDi，k+1（Γi，k+1）相关的畸变函数=NXj=1ZCj（Γi，k+1）xik+1- γji，k+1P出口+1∈ dxik+1（34）式中（Cj（Γi，k+1））j=1，。。。，Nis与网格Γi，k+1关联的Voronoi细分。现在可以编写递归量化算法。通过Ni维网格量化vectoreXtk的每一个分量，可以近似（33）asP中的分布出口+1∈ dxik+1≈NXj=1···NdXjd=1φmi（tk，xj1，k，…，xjdd，k），i（tk，xj1，k，…，xjdd，k）xik+1PeXtk公司=xj1，k，xjdd，k,（35）其中xj``，k对应于向量extk的`-th分量的最佳量化网格的第j `-th元素。很快我们就可以看到，也可以用closedform计算向量extk+1的分布：事实上，我们有eXtk+1∈ dxk+1≈NXj=1···NdXjd=1？φm（tk，xj1，k，…，xjdd，k），（tk，xj1，k，…，xjdd，k）（xk+1）PeXtk公司=xj1，k，xjdd，k,（36）G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，Quantization Goes Polymonel 14，其中“φ”是d维高斯随机变量的密度函数，平均值为（tk，xj1，k，…，xjdd，k）=xj1，k，xjdd，k+ utk，xj1，k，xjdd，k方差-协方差矩阵（tk，xj1，k，…，xjdd，k）=（∑∑T）tk、xj1、k。

，xjdd，k.计算完所有这些元素后，可以获得（近似）畸变函数（34）、其梯度和Hessian函数，并实现Callegaro et al.（2015）和Callegaro et al.（2016）中的Newton-Raphsonalgorithm。5.2 SVJ模型的递归量化我们现在重点关注第5.1节中的参数在所考虑的特定模型中的应用。我们考虑价格S的Euler格式，而不是对数价格X，因为如果我们想在第4.3节专门研究我们程序数值误差的设置中，量化而不是X是至关重要的。使用上一节的符号，Xt=（Vt，St）和XTK=eVtk、eStk, Euler方案读作sevtk+1eStk+1=eVtkeStk+κθ -eVtk公司（r）- δ) !+√σrQeVtk公司ρeStkrQeVtk公司eStkreVtk公司- ρQeVtk公司工作时间：工作时间：.（37）我们有eVtk+1∈ dvk+1=ZRZRφm（tk，vk，sk），（tk，vk，sk）（vk+1）PeVtk公司∈ dvk，eStk∈ dsk公司, （38）其中m（tk，vk，sk）=vk+κ（θ- vk） = m（tk，vk）和（tk，vk，sk）=σQ（vk）=（tk，vk）。对于价格过程PeStk+1∈ dsk+1=ZRZRφm（tk，vk，sk），（tk，vk，sk）（sk+1）PeVtk公司∈ dvk，eStk∈ dsk公司, （39）其中m（tk，vk，sk）=sk+（r- δ)  和（tk，vk，sk）=（sk）vk。此外，我们注意到，由于mand不依赖于sk，我们可以简化（38）：PeVtk+1∈ dvk+1=ZRφm（tk，vk），（tk，vk）（vk+1）PeVtk公司∈ dvk公司. （40）这允许使用Pag\'es和Sagna（2015）以及Callegaro et al.（2015）中开发的技术对方差过程进行量化，方差过程是一维的，可以独立于S进行分解。另一方面，当然，Swill的量化网格取决于V的量化网格。现在，我们给出一个想法，说明如何递归获得量化网格Γ1，k=：ΓV，kandΓ2，k=：ΓS，k，k=1，五十、 我们假设网格的基数是固定的：|Γ1，k |=nV和|Γ2，k |=NS，对于每k。