量化去多项式

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英文标题：
《Quantization goes Polynomial》
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作者：
Giorgia Callegaro and Lucio Fiorin and Andrea Pallavicini
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Quantization algorithms have been successfully adopted to option pricing in finance thanks to the high convergence rate of the numerical approximation. In particular, very recently, recursive marginal quantization has been proven to be a flexible and versatile tool when applied to stochastic volatility processes. In this paper we apply for the first time quantization techniques to the family of polynomial processes, by exploiting their peculiar nature. We focus our analysis on the stochastic volatility Jacobi process, by presenting two alternative quantization procedures: the first is a new discretization technique, whose foundation lies on the polynomial structure of the underlying process and which is suitable for vanilla option pricing, the second is based on recursive marginal quantization and it allows for pricing of (vanilla and) exotic derivatives. We prove theoretical results to assess the induced approximation errors, and we describe in numerical examples practical tools for fast vanilla and exotic option pricing.
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中文摘要：
由于数值逼近的高收敛速度，量化算法已成功应用于金融期权定价。特别是最近，当应用于随机波动过程时，递归边际量化已被证明是一种灵活和通用的工具。本文利用多项式过程的特殊性质，首次将量化技术应用于多项式过程族。我们重点分析了随机波动率Jacobi过程，提出了两种可选的量化方法：第一种是一种新的离散化技术，其基础是基础过程的多项式结构，适用于普通期权定价，第二种是基于递归边际量化，允许对（普通和）外来衍生品进行定价。我们证明了评估诱导近似误差的理论结果，并在数值示例中描述了快速普通和奇异期权定价的实用工具。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Quantization_goes_Polynomial.pdf (572.66 KB)

2022-6-1 15:47:39 上传

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关键词：多项式 Quantitative Applications Successfully QUANTITATIV

作者感谢Damien Ackerer、Damir Filipovic、Martino Grasselli、Martin Larsson和Daniele Marazzina的富有成效的讨论。+数学系“Tullio Levi Civita”，帕多瓦大学，via Trieste 63，35121帕多瓦，意大利。电子邮件：gcallega@math.unipd.itORCID ID:0000-0001-9026-5261通讯作者。§数学系“Tullio Levi Civita”，帕多瓦大学，via Trieste 63，35121帕多瓦，意大利。电子邮件：lucio fiorin@gmail.comORCID ID:0000-0002-0350-9473P英国伦敦SW7 2AZ帝国理工学院数学系和意大利米兰拉戈·马蒂奥利银行，邮编320121。电子邮件：a。pallavicini@imperial.ac.uk.G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，《量子化Goes多项式2运动》、Ornstein-Uhlenbeck过程、Jacobi过程、L'evy过程，以及更一般的A ffine过程。多项式过程的主要性质是过程的多项式函数的条件期望又是多项式类型。此后，我们将此属性称为“多项式属性”。特别地，过程的任何多项式的期望值也是过程初始值中的多项式，因此，即使过程的特征函数可能未知，也可以很容易地以闭合形式计算所有阶的矩，直至矩阵指数。在本文中，我们关注一个特定的多项式过程，即Ackerer et al.（2018）首次引入的随机波动率Jacobiprocess（以下简称SVJ），但我们的结果可以扩展到任何多项式模型。SVJ模型是一种股票价格的离散模型，其中对数价格平方波动率遵循雅可比过程，其值在某个紧区间内。

它包括Black-Scholes模型和Heston模型作为限制性案例，因此可以将其视为期权定价实际应用中这些模型的可能替代品。多项式性质允许对市场报价的普通期权实施校准算法，通常仅取决于期权到期日标的资产价格的边际概率分布。另一方面，由于这类衍生产品的路径依赖特性（想想时间平均值、连续障碍和早期赎回），定价exoticoptions还需要转移概率。通过利用模型的多项式特性，原则上可以推导出不同时间过程的联合概率分布，但随着时间观测次数的增加，计算时间迅速增加。Filipovic et al.（2019）的工作提出了一种可能的方法来解决这个问题，即通过匹配条件引入近似马尔可夫链。空间网格由所有离散时间的相同点集组成。因为一般来说，不可能构造一个满足精确n次矩匹配的非平凡马尔可夫链≥ 作者通过放松精确的矩匹配和寻找矩的近似值，克服了这一严重限制。使用离散状态空间明显降低了问题的维数，这也是我们基于量化的替代方法所发生的情况。理解我们的方法是不同的是至关重要的。

更准确地说，虽然最终目标是相同的，即离散化随机过程，但实现方法完全不同：量化允许在任何时候以最佳方式（在L意义上）近似随机过程，因此输出是一个在时间上不均匀的最优网格。Wedeem这在为可能长期的路径依赖型期权定价时至关重要。量化是一种针对随机变量（称为矢量量化）和随机过程（称为函数量化）的离散化技术。量化的诞生可以追溯到20世纪50年代，而它在数字概率和数学金融中的应用始于20世纪90年代。当应用于随机向量时，根据通常使用欧几里德范数测量的距离，量化提供了最佳的近似原始分布，通过离散随机向量取有限个值。为了获得高维随机向量的最优二次量化器，已经研究了许多数值程序，其中大多数都基于随机优化算法，参见Pag\'es（2015），这通常非常耗时。最近，矢量量化被用于递归离散随机过程。更准确地说，这个想法是近似来自与随机过程相关的Euler模式的随机变量，这是一个随机微分方程的解。规则。Callegaro、L.Fiorin、A.Pallavicini在Pag\'es和Sagna（2015）中介绍的量化Goes多项式3余弦边缘量化或快速量化代表了一个新的有前途的研究领域。

固定日期随机过程的平稳量化器以非常快速和递归的方式获得，递归边际量化已成功应用于许多模型，从经典模型开始，转移到局部波动模型，如Callegaro et al.（2015），Bormetti et al.（2018），McWalter et al.（2018），最后是随机波动率模型，如Stein和Stein、随机α-βRho、Heston和α-超几何，如Callegaro et al.（2016）、Fiorin et al.（2018）所述。在本文中，我们采用两种不同的量化技术对SVJ模型中的普通Vanilla期权和奇异衍生品合约进行定价。第一种技术是针对普通香草或欧式期权设计的，它基于通过利用多项式特性获得的价格概率分布的直接量化。通过这种方式，我们为Ackerer等人（2018）提出的算法提供了一种替代方法。第二种是针对外来产品设计的，因此提供了菲利波维奇等人（2019）的替代方案，但也可用于欧洲选项，并将Callegaro等人（2016）基于递归边际量化的框架扩展到多维模型。第二个过程不依赖于模型的多项式性质，因此我们可以将其用于路径相关产品，而不会遇到维数问题。我们对SVJ量化的分析提供了开发快速奇异期权定价算法的实用工具和评估近似误差的理论结果。最终结论如下。本文的组织结构如下。第2节介绍了SVJ模型。第3节介绍了随机变量的量化。

然后描述了两种不同的量化方法：首先，在第4节中，采用了拓扑经济模型的量化技术，得出了普通期权的新定价公式，并对其近似误差进行了讨论。然后，在第5节中，在多维设置中引入递归边际量化（它没有揭示随机过程的多项式性质），并将其应用于价格路径相关的奇异期权。第6.2节“随机波动率雅可比模型”给出了所有引入算法的数值结果和讨论。我们考虑了一个过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，Q），其中Q是风险中性概率度量，其中过滤（Ft）T∈[0，T]满足了通常的假设和模型我们模型中的所有随机性。我们假设股票价格过程遵循Ackerer等人（2018）的SVJ模型，即我们假设0≤ vmin<Vmax，我们定义=eXt（1），其中（V，X）的动力学遵循随机波动率模型dVt=κ（θ- Vt）dt+σpQ（Vt）dWtdXt=（r- δ -Vt/2）dt+ρpQ（Vt）dWt+pVt- ρQ（Vt）dW⊥t（2），X=X∈ R、 V=V∈ [vmin，vmax]，其中利率r>0，ρ∈ [-1，1]，平均反转速度为κ≥ 0，回复水平θ属于[vmin，vmax]，Q（v）：=（v- vmin）（vmax- 五）(√vmax（最大值）-√vmin）（3）G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化为多项式4，其中W和W⊥是独立的标准布朗运动。注意，再校准方程（3），我们有v-Q（v）≥ 0等于当且仅当v=√vminvmaxand Q（v）≥ 每v 0∈ [vmin，vmax]，这样方程（2）中的平方根不会产生任何问题。显然，我们有Ft=FWt∨FW公司⊥t、 t型∈ [0，T]。众所周知，作为SVJ模型的特殊极限情况，我们得到了Black-Scholes（取v=θ=vmax）和Heston模型（取Vmin=0和vmax→ ∞).备注2.1。

（SVJ SDE解的存在性和唯一性）SVJ这个名字的动机是，该模型显然是一个随机波动率模型，独立的平方波动率V具有雅可比类型的动力学，在区间[vmin，vmax]上有界。事实上，以下结果成立（见（Ackerer et al.，2018，定理2.1））：对于任何确定性初始状态（v，x）∈ [vmin，vmax]×R，系统（2）存在唯一的解（V，X），取[vmin，vmax]×R中的值。此外，如果（V，X）∈ （vmin，vmax）×R，则（Vt，Xt）取（vmin，vmax）×R中的值，当且仅当σ（vmax-vmin）(√vmax（最大值）-√vmin）≤ 2κmin{vmax- θ, θ - vmin}。SVJ模型中的矩以矩阵指数的闭合形式已知。实际上，如果我们写SVJ过程的生成器G，命名为gf（v，x）=b>（v）f（v，x）+Tra（v）f（v，x）漂移向量b（v）和由b（v）给出的扩散矩阵a（v）=κ(θ - v） r- δ - 五/二, a（v）=σQ（v）ρσQ（v）ρσQ（v）v我们发现G将n次多项式映射到n次或更小的多项式上，如Filipovic和Larsson（2016）所示。因此，可以按如下方式评估（VT，XT）的条件动量。设Polnbe为（v，x）中阶数小于或等于n的多项式向量空间。对于任何正整数n，我们称M=（n+2）（n+1）/2 PolN的维数，我们引入一个基h（v，x），PolN多项式的hM（v，x）和G的wedenote关于此基，线性映射G的矩阵表示仅限于PolN。因此，从Filipovic和Larsson（2016）的定理3.1中，我们可以得到任意多项式p∈ PolNwe-haveE[p（VT，XT）| Ft]=h（Vt，Xt）。hM（Vt，Xt）e（T-t） G ~ pt<Twhere ~ p∈ RMis多项式p（v，x）相对于基h的坐标表示。

在本文中，我们将这种关系称为多项式性质。我们在此回顾欧洲期权封闭式定价的技术结果，这是我们从现在开始需要的。让我们定义加权Lebesgue空间Lw=f可测量：| | f | | w=ZRf（x）w（x）dx<∞,配备标量乘积HF，giw=ZRf（x）g（x）w（x）dx，g.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量化得到多项式5，其中w是高斯权函数，即具有平均uwand方差σw的高斯密度。希尔伯特空间Lw允许广义Hermite多项式的正交基Hn，n≥ 0（注意Hn的阶数等于n），由Hn（x）给出=√nHn公司x个- uwσw, （4） 式中，Hnare为定义为asHn（x）=(-1） 下一个DNDXNE-x、 （5）如果我们假设gT是原木价格XT的密度，那么我们可以定义`（x）=gT（x）w（x）。备注2.2。（关于SVJ参数的假设）我们需要`∈ Lw，因此从现在起，应用Ackerer等人（2018）的推论3.3，我们假设Vmin>0，ρ<1，σw>Vmax。我们的目标是为欧洲期权定价，并支付∈ Lw（请注意，看涨期权和看跌期权的支付都属于Lw），我们得到[f（XT）]=ZRf（x）gT（x）dx=ZRf（x）`（x）w（x）dx=hf，`iw。由于Lw是一个Hilbert空间，具有方程式（4）中定义的正交基Hn，我们可以重写之前的公式asE[f（XT）]=Xn≥0fn`n，（6）对于傅里叶系数fn=hf，Hniw，（7）和厄米矩\'n=h\'，Hniw=ZRHn（x）`（x）w（x）dx=ZRHn（x）gT（x）dx。（8） 请注意，最后一个等式表明`是XT的矩的线性组合，因为hn是多项式。

然后，由于过程的多项式性质，可以用封闭形式计算。3量化要点在本节中，我们介绍了随机变量的最优二次量化（也称为矢量量化），这将是实现离散化过程的必要工具，称为递归边际量化（RMQ）。我们参考toGraf和Luschgy（2000）和Pag\'es（2015）进行矢量量化，参考Pag\'es和Sagna（2015）进行RMQ的第一篇论文。我们还必须参考网站：http://www.quantize.maths-fi.com，其中，二维高斯分布的网格N（0；Id），对于N=1到10，对于d=1，10可下载。G、 Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，Quantization Goes Polymonel 6最优二次量化回答了以下问题：在L意义上，是否有可能（以及如何）通过离散的随机变量bX来最佳地近似连续的随机变量X，取有限个值？对这种离散化Bx的兴趣很明显：形式E【h（X）】（对于充分正则函数h）的期望值将由有限和近似。让我们更准确地说。我们考虑一个定义于(Ohm, F、 P），具有概率分布px，并承认一个有限的二阶矩。levelN，N的量化网格≥ 1是R的子集，Γ={x，…，xN}（这里N将被固定，因此为了简单起见，我们放弃了对符号中N的依赖），其大小最多为N，具有成对的distinctcomponents。量化函数或量化器是一个Γ值的Borel函数q:R→ Γ和量化X意味着按照最近邻规则q（X）=ProjΓ（X）：=NXi=1xiCi（Γ）（X）（9）投影X，其中（Ci（Γ））1≤我≤Nis是（R，B（R））的Borel分划，也称为Voronoi分划，满足Ci（Γ） {ξ ∈ R：|ξ- xi |=迷你型≤j≤N |ξ- xj |}，i=1，N

我们将使用符号bXΓorbX（当网格不可能有歧义时）来表示X的VoronoiΓ-量化：bXΓ=bX=q（X）。这种离散化产生的L误差由en（X，Γ）：=kX给出-q（X）k=k最小1≤我≤N | X- xi | kwhere | X | |：=hE（| X |）i1/2是通常的L-范数，最佳二次量化的目标是找到一个最大为N的网格，该网格可以最小化下面定义的失真函数（参见（Graf和Luschgy，2000，方程（3.4）））。定义3.1。设X是属于L（P）的实值随机变量。L-畸变函数是定义在RNbyD上的正值函数：（x，x，…，xN）7-→ E最小1≤我≤N | X- xi|= eN（X，Γ）。（10） 关于最优网格的存在性和唯一性，可以显示，例如（Pag\'es，2015，Prop.1.1），如果X∈ L（P），则失真函数D达到（至少）一个最小值Γ？。网格Γ？项目呢？分别称为最优二次量化器。如果是卡（supp（PX））≥ N、 然后呢？具有成对的不同组件。MoreoverlimN公司→+∞eN（X）=0，收敛速度由著名的Zador定理（seeGraf和Luschgy（2000））minΓ，|Γ|=NkX给出- q（X）k=最小值，|Γ|=嫩（X，Γ）=q（PX）N-1+oN-1.（11） 其中Q（PX）是一个非负常数。然后，很自然地，可以通过以下方式近似形式E[h（X）]的期望值：E[h（X）]≈ Ehh（bX）i=NXi=1h（xi）PbX=xi=NXi=1h（xi）P（X∈ Ci（Γ））。（12） 此外，如（Graf and Luschgy，2000，定理5.1）所述，只要px对于对数凹密度是绝对连续的，那么就存在一个N.G.Callegaro，L.Fiorin，a.Pallavicini级别的最优量化网格，量化为多项式7备注3.2。（量化vs。