量化去多项式

此外，我们还记得，时间t=0，ΓV，0和ΓS，0的量化网格是向量，其分量分别对应于vand S。现在让我们假设我们已经计算了方差和价格过程的最佳网格，即ΓV，k=nvk，对于方差过程和ΓS，k=nsk，斯斯科福格。Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化是多项式15价格过程，直到时间t，我们想要得到ΓV，k+1和ΓS，k+1。为此，当概率（36）取formP时，我们寻找失真函数（34）梯度的零点eVtk+1∈ dvk+1，eStk+1∈ dsk+1≈NVXi=1NSXj=1英寸φm（tk，vik，sjk），（tk，vik，sjk）（vk+1，sk+1）PeVtk=vik，eStk=sjk,（41）式中，’φ是二元高斯平均密度（tk，vik，sjk）=vik+κθ - 维克sjk+（r- δ) 方差（tk、vik、sjk）=σQ（vik）ρσsjkQ（vik）ρσsjkQ（vik）sjk公司维克！。备注5.2。（转移概率的计算）作为递归量化的副产品，我们同时免费获得转移概率。事实上，从（41）我们立即得到了跃迁密度peVtk+1∈ dvk+1，eStk+1∈ dsk+1 | eVtk=vik，eStk=sjk≈(R)φm（tk，vik，sjk），（tk，vik，sjk）（vk+1，sk+1），对于i=1，NV和j=1，NS。6数值结果在本节中，我们给出了欧洲和百慕大期权定价的数值结果。多项式量化仅用于普通期权的定价，而递归边际量化允许立即逼近转移概率，用于欧洲和百慕大衍生品的定价。值得注意的是，当所考虑的过程的维度严格大于1时，Vanilla和奇异期权的定价从数值角度来看仍然是一个挑战。数值结果已在Matlab 9.2中获得，CPU为2.7 GHz，内存为4 Gb。备注6.1。

（障碍和亚洲期权）如果读者对不同类型的路径依赖期权感兴趣，如障碍或亚洲期权，我们会向读者推荐Bormetti等人（2018）开发的方法，其中，在每个中间日期的基础过程网格上（加上从一个时间步到另一个时间步的转移概率），对价格障碍应用反向蒙特卡罗程序，亚洲和自动呼叫选项。我们为高斯加权函数w的平均值和标准偏差选择以下值（还记得备注2.2），这些值与Ackerer等人（2018）中的值相同：σw=rvmaxT+10-在所有数值示例中，我们将考虑表1中的参数：G.Callegaro、L.Fiorin、A.Pallavicini，量化多项式16κ=1.7θ=0.06σ=0.5ρ=-0.5V=0.1 vmin=10-2vmax=1 r=0.04δ=0 S=100 T=1 M=100表1：SVJ模型参数。6.1 MBE的选择在显示我们的结果之前，我们讨论了M的选择。这一点至关重要，因为已知方程（24）中产生的密度g（M）t，因此不能保证其为非负（参见例如（Ackerer et al.，2018，图3））。在文献中，这是一个众所周知的问题，这是由于在密度的Gram-Charlier展开中涉及的项的多项式性质。虽然在序列在四阶矩处被截断的情况下，已经发现了确保密度正性的膨胀系数条件（见Jondeau和Rockinger（1999）），但据我们所知，在一般情况下，还没有结果。已经提出了各种测试和替代方法以及扩展，其中我们引用了Rompolis和Tzavalis（2007），Le'on等人。

（2009）、Niguez和Perote（2012）、Chateau和Dufresne（2017）以及Schlogl（2013）。详细调查这个问题超出了本文的范围，因为改变系列扩张将带来全新的贡献，因此在本小节中，我们基于对香草价格的分析，鼓励我们选择M。我们继续通过2·10路径和对偶变量的蒙特卡罗模拟计算不同罢工的看涨期权价格。在表2中，我们显示了数值结果以及蒙特卡罗价格的95%置信区间。罢工CI下限MC价格CI上限80 25.8761 25.8984 25.920785 22.1012 22.1224 22.143690 18.5964 18.6164 18.636495 15.3991 15.4178 15.4364100 12.5398 12.5570 12.5742105 10.0396 10.0552 10.0709110 7.9047 7.9188 7.9329115 6.1252 6.1379 6.1505120 4.6775 4.6886 4.6998表2：通过2·10模拟获得的蒙特卡罗价格和买入期权的95%置信区间和对立的变量。为了选择M，我们随后通过科勒等人（2018）介绍的程序评估看涨期权，对于表2中相同的行使值和不同的M值，我们检查获得的价格中哪些M值属于表2中每次行使的95%蒙特卡罗密度区间。结果如表3所示，它们表明asafe选择≥ 90、在下面，我们选择更保守的值M=100。请注意，这一选择符合Ackerer等人（2018年）的规定。G、 Callegaro，L.Fiorin，A。

帕拉维奇尼，量化多项式17走向M=20 M=30 M=40 M=50 M=60 M=70 M=80 M=90 M=10080 25.7122 25.7899 25.8457 25.8759 25.8906 25.8970 25.8992 25.8995 25.899185 22.0032 22.0213 22.0586 22.0857 22.1023 22.1119 22.1171 22.1198 22.121190 18.6058 18.5559 18.5642 18.5794 18.5919 18.6006 18.6064 18.6101 18.612595 15.5373 15.4222 15.3976 15.3958 15.3996 15.4040 15.4078 15.410715.4129100 12.8039 12.6355 12.5806 12.5612 12.5546 12.5528 12.5529 12.5536 12.5544105 10.4018 10.1979 10.1207 10.0870 10.0712 10.0634 10.0595 10.0576 10.0566110 8.3189 8.1007 8.0121 7.9703 7.9487 7.9369 7.9301 7.9261 7.9237115 6.5370 6.3259 6.2381 6.1954 6.1726 6.1597 6.1520 6.1473 6.1442120 5.0336 4.8491 4.7734 4.7370 4.7176 4.7066 4.7001 4.6961 4.6934表3：通过Ackerer et al.（2018）中的方法论，对于M.6.2多项式量化的不同行程和不同值，我们使用第4.1节中开发的技术，并计算与时间T的对数价格过程相关的量化网格，即我们近似使用最优网格*= {x*, . . . , x个*N} 。然后，将到期日为T且行使权为K的看涨期权的价格近似为ase-rTEh公司提取- K+我≈ e-rTNXi=1前任*我- K+P（XT∈ Ci（Γ*)) ,其中Ci（Γ*) =hx公司*我-1+x*i、 x个*i+x*i+1，权重由（22）给出。表4中的结果表明，与Ackerer et al.（2018）给出的基准价格相比，量化技术是准确的。此外，计算成本与Ackerer等人宣布的执行时间相当。

（2018年）（（见图8））：计算Hermitoments需要其中声明的相同时间，获得量化网格需要0.94秒，价格计算是即时的，因此总计算时间是相等的。执行基准价量化价格相对误差（%）K=80 25.8991 25.8646 0.1332K=85 22.1211 22.0980 0.1044K=90 18.6125 18.5866 0.1391K=95 15.4129 15.3648 0.3121K=100 12.5544 12.4710 0.6643K=105 10.0566 10.0165 0.3987K=110 7.9237 7.9066 0.2158K=115 6.1442 6.1093 0.5680K=120 4.6934 4.6626 0.65626表4：定价基准价格与获得价格的比较通过对SVJ模型的欧式看涨期权进行多项式量化，参数如表1所示。量化网格的大小为N=20。G、 Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，《量化多项式186.3递归量化》我们使用第5.2节中实施的方法。注意，我们没有利用S是多项式过程的指数这一事实，但我们从Euler方案（37）开始构造最优量化器。然后，我们在每个时间步tk计算k=1，五十、 这样tL=T，时间tk时价格过程S的量化，我们称之为Bstk。为了给行使K和到期T的欧洲看涨期权定价，我们只需要Γ*S、 L={sL，…，sLN}，与tobST相关的最佳量化网格，我们有以下近似值：e-rTEh公司提取- K+我≈NSXj=1sjL公司- K+PbST=sjL,其中，使用（39）计算权重。表5中的结果表明，与Ackerer et al.（2018）的基准方法相比，递归量化是有效的，并且是多项式量化的良好替代方法（见表4）。

此外，递归量化不需要计算埃尔米特矩，因此这里的计算成本仅与量化网格的计算相关（然而，回想一下，这里我们必须将波动率和价格过程离散化），这对应于2.24秒，NS=20，NV=10和L=12（因此，总共360点）。执行基准价量化价格相对误差（%）K=80 25.8991 25.9082 0.0351K=85 22.1211 22.1462 0.1135K=90 18.6125 18.6430 0.1639K=95 15.4129 15.4395 0.1726K=100 12.5544 12.5677 0.1059K=105 10.0566 10.0789 0.2217K=110 7.9237 7.9508 0.3420K=115 6.1442 6.1692 0.4069K=120 4.6934 4.7106 0.3665表5：定价基准价格与获得价格的比较通过对SVJ模型的欧式看涨期权进行递归量化，参数如表1所示。量化网格的大小为NS=20，NV=10（每个时间步），L=12.6.4百慕大期权第5.1节中开发的递归边际量化算法的优点是可以对路径相关期权进行定价，因为我们在Euler方案的每个时间步近似过程，并且转移密度由算法直接给出，如（41）所示。这促使我们展示这种方法在百慕大期权定价中的应用。此类期权的定价可以通过量化得到的多项式树上的反向过程进行，如中所述（Bally等人，2005年，命题2.1）。作为第一个用于比较的基准，我们考虑了Longsta off Schwarzalgorithm，正如Filipovic et al.（2019）在处理雅各比汇率模型中的美式看跌期权时所做的那样。表6中的结果显示了我们方法的准确性。G、 Callegaro，L.Fiorin，A。

Pallavicini，Quantization Goes Polyman 19使用递归量化的百慕大期权定价背后的计算成本是计算量化网格（不取决于导数的走向）所需的计算成本，这与第6.3节（2.24秒）和百慕大后退算法中声明的相同，由于我们示例中网格的大小，是瞬时的。执行基准价格量化价格相对误差（%）K=80 3.0410 2.9984 1.3997K=85 4.1040 4.1077 0.0899K=90 5.4579 5.5012 0.7931K=95 7.1493 7.2222 1.0199K=100 9.2192 9.3151 1.0404K=105 11.6984 11.8285 1.1120K=110 14.6035 14.7564 1.0470K=115 17 17.9352 18.0969 0.9015K=120 21.6788 21.8295 0.6951表6：基准价格（Longstaff Schwartz）和通过递归获得的价格SVJ模型百慕大看跌期权的量化，参数如表1所示。量化网格的大小NS=20，NV=10（每个时间步），L=12。为完整起见，我们还将百慕大期权价格与中的价格进行了比较（Cui等人，2018年，第5.2.1节），其中的基准仍然是Longstaff Schwartz。在表7中，我们列出了其中使用的参数，这里我们也考虑这些参数进行比较。我们的竞争对手使用Matlab 8.5在i7-6700 CPU@3.40 GHz的个人计算机上宣布的七次打击的计算时间为4.7秒。这类似于RMQT获得以下所有价格所需的时间。κ = 3 θ = 0.13 σ = 0.4 ρ = -0.2V=0.13 vmin=10-2vmax=0.25 r=0.02δ=0 S=10 T=0.5表7:Cui等人（2018）的SVJ模型参数。在表8中，我们展示了七种不同的罢工：Longstaff-Schwartz基准价格、RMQ价格、Cui等人提出的价格。

（2018）通过连续时间马尔可夫链近似和两个绝对误差获得。表8中的结果证实（回顾表6）在SJV模型中，当价格路径依赖于期权时，RMQ的有效性。7结论在本文中，我们介绍了如何将量化技术有效地应用于多项式过程。我们特别关注SVJ模型，但我们的结果可以扩展到任何多项式模型。我们对SVJ量化的分析为开发快速奇异期权定价算法提供了数值工具。我们提出了两种方法。首先，我们利用多项式的性质，为研究近似提供了新的理论结果。Callegaro、L.Fiorin、A.Pallavicini、，量化Goes多项式20Strike Benchmark（L.-S.）RMQ price Cui et al.price Abs err RMQ Abs err Cui et al.K=8.5 0.3527 0.3603 0.3522 0.0076 0.0005K=9 0.5125 0.5209 0.5139 0.0084 0.0014K=9.5 0.7157 0.7213 0.7163 0.0056 0.0006K=10 0.9591 0.9624 0.9599 0.0033 0.0008K=10.5 1.2407 1.2430 1.2435 0.0023 0.0028K=11 1.5625 1.5620 1.5643 0.0005 0.0018K=11.5 1.9163 1.9156 1.9189 0.00070.0026表8:Cui等人（2018）提供的基准价格（Longsta off-Schwartz）、通过RMQ量化获得的价格、Cui等人（2018）提供的价格以及SVJ模型aBermudan看跌期权的绝对误差，参数如表7所示。量化网格的大小NS=40，NV=10（每个时间步），L=12。错误。因此，我们获得了多项式模型的特殊定价工具，并提供了数值示例，以评估其相对于现有文献的优点。其次，我们将RMQ应用于多项式过程，将其视为一类特殊的随机波动过程。这使我们能够对奇异期权进行定价，并给出了forBermudan期权的数值例子。

我们的结论是，就精度和速度而言，量化是一种强大的离散化过程，其范式可以很容易地用于多项式过程领域。此外，在考虑定价的量化过程家族时，递归边际量化无疑是最强大的，具有灵活性和有效性。主要结果的证明本文给出了本文主要结果的证明。A、 1定理4.1的证明。首先注意，对于每个i=1，N、 （15）中的期望值可以重写为E[fi（XT）]，其中fi（y）：=（y- xi）11年∈hxi公司-1+xi，xi+xi+1i。为了利用我们设置的多项式性质并使用方程（6）中的结果，我们需要fito在Lw中。我们有| | fi | | w=ZRfi（y）w（y）dy≤ZR（y- xi）w（y）dy=ZRyw（y）dy- 2xiZRy w（y）dy+xiZRw（y）dy=σw+uw- 2xiuw+xi，每i=1，…，它是有限的，N我们要计算（16）中的期望值。使用（6）中的多项式性质，G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，Quantization Goes多项式21，我们现在将其改写为（17）的形式，其中（回忆方程（7））fin=ZR（y- xi）11年∈hxi公司-1+xi，xi+xi+1iHn（y）w（y）dy=ZRy11hxi-1+xi，xi+xi+1i（y）Hn（y）w（y）dy |{z}ain-xiZRhxi-1+xi，xi+xi+1i（y）Hn（y）w（y）dy |{z}binWe首先关注ain的计算。让我们定义hn（K）=ZRy11[K，∞]（y） Hn（y）w（y）dy，则ain=Hnxi-1+xi- hn公司xi+xi+1.

当n=0时，我们有，通过部分积分，thath（K）=ZRy11[K，∞]（y） w（y）dy=σwφK- uwσw+ uwΦuw- Kσw.当n≥ 1我们有hn（K）=Z∞KyHn（y）w（y）dy=√nZ∞基恩y- uwσwσwφy- uwσwdy公司=√nZ∞K-uwσw（σwz+uw）Hn（z）φ（z）dz=σw√nZ∞K-uwσwzHn（z）φ（z）dz+uw√nZ∞K-uwσwHn（z）φ（z）dz。我们利用n的Hermite多项式之间的递归关系≥ 1，：zHn（z）=Hn+1（z）+nHn-1（z），以获得hn（K）=σw√nZ∞K-uwσwHn+1（z）φ（z）dz+nσw√nZ∞K-uwσwHn-1（z）φ（z）dz+uw√nZ∞K-uwσwHn（z）φ（z）dz。n=1的情况可以使用分部积分直接获得，而（Ackerer et al.，2018，定理3.7）证明，对于n≥ 1，Z∞xHn（z）φ（z）dz=Hn-1（x）φ（x），我们得到了hn（K）的结果。BINCefficient的计算方法类似。事实上，如果wedefineln（K）=ZR[K，∞]（y） Hn（y）w（y）dy，G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化为多项式22，然后bin=lnxi-1+xi- 自然对数xi+xi+1. 当n=0时，情况很简单，而当n≥ 1我们有ln（K）=Z∞KHn（y）w（y）dy=√nZ∞KHn公司y- uwσwσwφy- uwσwdy公司=√nZ∞K-uwσwHn（z）φ（z）dz=√nHn公司-1.K- uwσwφK- uwσw.A、 2命题4.3证明。记住，GT是XT的密度。然后我们可以重写Ei（x，…，xN）asEi（x，…，xN）=Zxi+xi+1xi-1+xiygT（y）dy- xiZxi+xi+1xi-1+xigT（y）dy。这表明EID仅在xi上结束-1，xind xi+1，这样雅可比矩阵J是对角的。此外，下对角线有组件：Ji，i-1=工程安装xi-1（xi）-1，xi，xi+1）=-xi-1+xigTxi-1+xi+xigT公司xi-1+xi=xi- xi-1.燃气轮机xi-1+xi上面的对角线是：Ji，i+1=工程安装xi+1（xi-1，xi，xi+1）=xi+xi+1gTxi+xi+1-xigT公司xi+xi+1=xi+1- xi燃气轮机xi+xi+1.我们可以立即推断出，Ji，i-1=Ji-1，i，所以J也是对称的。最后，对角线有两个组成部分：Ji，i=工程安装xi（xi-1，xi，xi+1）=xi+xi+1gTxi+xi+1-xi+xi+1gTxi+xi+1-xi燃气轮机xi+xi+1- 燃气轮机xi-1+xi-Zxi+xi+1xi-1+xigT（y）dy=Ji，i-1+Ji，i+1-Zxi+xi+1xi-1+xigT（y）dy，G。