基于随机索赔最优复制的现金积累策略

考虑到贷款和储蓄的利率均为12%，公司希望每天自动提款或存款一次，以便在1年后，公司有足够的资金购买其资产。对于此渲染，以下参数已输入到程序中。假设股价漂移a（t）为0，影响股价随机变化的系数σ（t）为0.5。请注意，这两个参数可以是Rn中的任意值，也可以是时间的任意函数，以便与终端时间的股价相匹配。此外，A=r=0.12，b=1，且Γ（t）=1。由于该公司希望在一年内每天更新一次其帐户，时间步长N为365。本例中使用当前参数呈现的模型如图1所示。股票价格的发展和账户中的现金量都可以看到。从图中可以看出，股价的变化可能相对较大，但累计现金量的变化仍然相当平稳。因此，每次更新时存入或提取的现金金额相对较小。在1年的最后时刻，可以看到现金数量与所需的股票价格相匹配。如果该公司想购买这种资产组合的倍数，则必须对该模型稍作调整。如果起始股价S（0）以及观察到的变化dS a教学时间步长乘以所需的资产数量，运行该模型将确保在1年的最终时间累积现金以购买该数量的资产。9/170 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间（年）股票价格累计现金图1：模型渲染示例13.1.2。

第二个例子是，同一家公司想要在1年后购买一套两种不同的、独立行为的资产。在时间0时，第一项资产的股价S（0）为200美元，而第二项资产的股价S（0）为400美元。目前，该公司的起始现金金额为40美元，鉴于利率r现在为30%，希望每天更新一次他们的账户。该模型现在将用于同时积累现金，以便在一年后准确购买这两项资产。与第一个示例类似，a（t）=0，σ（t）=0.5。其他参数为A=r=0.3、b=1和Γ（t）=1。在1年内每天更新一次帐户会导致时间步数N等于365。该模型的工作原理如下。每一个时间步，两个股票价格都会独立变化。随后，该模型将尝试通过提取或存放大量现金来独立匹配两个股票价格。由于现金的起始金额为40美元，因此可以假设匹配每个独立股票价格的起始值为20美元。因此，通过在同一账户中的每个时间步骤分配独立的现金金额，这将确保在一年后的账户中有足够的现金，以便能够在1年的最终时间准确地购买这两项资产。10/170 0.2 0.4 0.6 0.8 1时间（年）股票价格1股票价格2（a）呈现2只股票的独立股票价格行为0.2 0.4 0.6 0.8 11000时间（年）股票价格总和累计现金（b）呈现现金积累以购买一组2只独立股票图2：呈现现金积累以购买一组2只独立股票图2中，给出了该示例的两个渲染。在图2a中，可以找到两种资产的股价行为。

可以看出，股票价格的行为完全独立，一个股票价格的变化不会影响其他股票价格的变化。随后，在图2b中，显示了两个独立股票价格的总和以及账户中累计的现金总量。可以看出，现在1年的期末累计现金总额与两个股票价格之和相匹配。与第一个示例类似，如果公司想要购买每项资产的倍数，则应稍微更改模型。正如模型S（0）和dS现在是2x1向量一样，应取这些向量的内积和包含所需资产数量的2x1向量。随后，运行该程序将确保累计的现金量，以便准确购买所需数量的每项资产。3.1.3. 在最后一个案例中，累积的现金必须是某一股本实现的超额的50%。起始价格S（0）为75美元，执行价格K为30美元。现金必须在2年内积累，每2天更新一次账户。本例的利率为3%。17中的11对于本例，a（t）=0，σ（t）=0.3。其他参数为A=r=0.03、b=1和Γ（t）=1。比例系数c为0.5。2年内每2天更新一次帐户，导致N=365.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2时间（年）。图3：现金累积超过50%的渲染图3显示了此示例的模型渲染。相反，在其他示例中，绘制的是股价，现在绘制的是当前超额的比例。根据经验，累计现金与2年后的超额现金相匹配。3.2.

模型性能分析本小节将描述选择不同参数对模型总体性能的影响。同时考虑了改变时间步长和维数的影响。3.2.1. D i s火化率的影响首先考虑改变时间步长的影响。更改时间步长大小会改变股票价格的行为方式。随着随机游动的变化，dW以平均值0和标准偏差正态分布√t、 对于较小的时间步长t预计每个时间步的变化也会较小。然而，由于时间步长较小，这意味着在整个时间间隔内，需要评估更多的时间步长。因此，将经历的绝对变化与17种情况中的12种具有较大时间步长的情况相当。这也可以在图4中看到，其中两个模型以两个不同的时间步长运行。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1时间（年）股价累计现金（a）t=0.010 0.2 0.4 0.6 0.8 1时间（年）股价累计现金（b）t=0.00002图4：不同值的渲染为了计算不同的时间步长如何影响程序的整体效率，在不同的时间步长N下运行模型并计时。在每个时间步长下，运行模型并计时5次。这五次运行的平均时间用于衡量特定时间步数下的时间性能。结果见图5。时间步数之间的关系似乎是线性的。当N=10000时，运行模型所需的时间增加了550%，而toN=5.3.2.2。分析了D i Dimensionalynext、改变不同股票数量m对计划效率的影响。与不同的时间步长类似，对于不同的数字，模型运行并计时5次。

除了不同股票的数量外，所有其他参数都相同，以便进行公平比较。这5次运行的平均值用于衡量特定数量不同股票的模型性能。如图6所示，不同股票的数量与模型的时间表现之间的关系似乎是线性的。Atm=10000，即模型运行所需的时间，大约比170 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1·100.51.52.5时间步长数（N）图5：时间性能与时间步长数的函数0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1·100.30.40.50.60.70.8不同股票数（m）图6：时间性能维数为m=5的函数。这意味着，如果确定了适当的起始条件，那么在最终时间可以匹配出一组10000种不同的独立行为股票价格，而这只需要比计算时间多35%的时间。第14页，共174页。讨论本节将介绍分析模型时出现的主要讨论点。在第4.1小节中，将讨论离散化导致的建模误差，第4.2小节讨论利率假设。4.1. 离散化导致的最后一个时间步错误分析模型生成的图时，应注意最后一个时间步不是图。这可以在图7中清楚地看到。其原因可以从等式12中找到，该等式用于计算R（s）。在终端时间T，R（T）必须为0。随后，等式13使用R（s）-当R（T）=0时，这自动表示R（T）-1.→ ∞. 因此，u（T）→ ∞.

由于此结果不能为rig ht，因此将不考虑最后一个时间步骤，并将其从绘图中排除。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间（年）股价累计现金图7：模型渲染t=0.05该结果似乎与该方法相矛盾，该方法旨在确保在终端时间x（t）=S（t）。然而，只有当方程在时间上连续计算时，这才是真的。定义了终端时间出现的奇点，以便获得所需的解。当使用离散化模型时，这些奇点不会被定义，因此，可以获得观测误差。然而，这一错误的影响并不显著。而对于相对较大的时间步，如图7中所示，该误差可以是几个数字的顺序，对于较小的时间步，如第3节中使用的时间步，误差的顺序可能是几美分。第15页，共174.2页。恒定利率假设下一个讨论点将处理模型中的假设，即利率在现金累积的整个时间间隔内是恒定的。然而，事实并非如此。银行可以随时改变利率。尽管利率的每日变化可能相对较小，但这仍可能意味着在最终时间，也可能是几年内，利率与现金积累开始的时间相比有显著差异。因此，在未来的研究中，必须找到一种将这种变化的利率纳入模型的方法。建立利率模型的一个建议是，用它自己的维纳过程对其进行建模，就像对股票价格进行建模一样。然而，如果方程式仍然产生正确的结果，则应进行验证。

如果没有，则必须进行进一步的研究，以便发现这些方程式能够随着利率的变化产生正确的收入。5、结论本报告的目的是创建一个模型，以解决现金积累策略问题，以便在预定的终端时间购买未来价格未知的物品，如资产。该模型基于具有普通积分的随机索赔的最优复制。对于该模型，股票价格采用离散维纳过程建模。随后，为该pr问题提供的所有其他方程都进行了离散化，以便在模型中进行模拟。该模型能够解决有关购买资产的三个不同问题。首先是积累现金购买一项或多项相同资产。第二种是累积现金购买一套由不同的、独立行为的资产组成的资产。最后，该模型可以累积某项资产实现的超额部分。该模型的一个缺点是，由于离散化，无法正确建模最短时间步。然而，当使用大量的时间步长时，这并不重要，并且只会导致最终结果的微小误差。可以进行进一步的研究，以纠正利率在整个时间间隔内保持不变的假设。17篇参考文献中的16篇Brunick，G.&Shreve，S.（2013）。通过随机微分方程的解来模拟ITO过程。《应用概率年鉴》，23（4），1584-1628Dokuchaev，N.（2013）。通过普通积分优化随机向量的复制。《系统与控制信函》，62（1），43-47。Dokuchaev，N.（2013）。普通积分对随机索赔的优化复制及其在金融中的应用。暹罗控制及其应用会议（第59-66页）。圣地亚哥：工业和应用数学学会。海厄姆，D.J。

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