基于随机索赔最优复制的现金积累策略

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英文标题：
《Cash Accumulation Strategy based on Optimal Replication of Random Claims
  with Ordinary Integrals》
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作者：
Renko Siebols
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper presents a numerical model to solve the problem of cash accumulation strategies for products with an unknown future price, like assets. Stock prices are modeled by a discretized Wiener Process, and by the means of ordinary integrals this Wiener Process will be exactly matched at a preset terminal time. Three applications of the model are presented: accumulating cash for a single asset, for set of different assets, and for a proportion of the excess achieved by a certain asset. Furthermore, an analysis of the efficiency of the model as function of different parameters is performed.
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中文摘要：
本文提出了一个数值模型来解决未来价格未知的产品（如资产）的现金积累策略问题。股票价格由离散化的维纳过程建模，通过普通积分，该维纳过程将在预设的终端时间精确匹配。本文介绍了该模型的三个应用：为单个资产积累现金、为一组不同的资产积累现金以及为某一资产实现的超额部分积累现金。此外，还分析了不同参数对模型效率的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Cash_Accumulation_Strategy_based_on_Optimal_Replication_of_Random_Claims_with_Or.pdf (249.36 KB)

2022-6-1 16:05:53 上传

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关键词：Mathematical accumulation Applications Quantitative mathematica

基于普通积分随机索赔最优复制的现金积累策略*本文提出了一个数值模型来解决具有未知未来价格（likeassets）的产品的现金积累策略问题。股票价格由离散化的维纳过程建模，通过普通积分，该维纳过程将在预设的终端时间精确匹配。本文介绍了该模型的三个应用：为单个资产积累现金、为一组不同的资产积累现金以及为某一资产实现的超额部分积累现金。此外，还分析了模型的效率与不同参数的关系。1、简介现金积累战略解决的问题是，为了在未来某个时候以特定的价格购买东西，应该在一个账户中存入多少钱。当预期购买的未来价格已知时，现金积累策略非常简单。然而，当未来价格未知且由于不可预测的变化，情况变得更加复杂。例如，看看金融市场，股价似乎会经历某种不可预测的行为。影响股票的因素有多种，如市场情绪、投机以及供求。因此，面临的挑战是制定一种现金积累策略，该策略将在未来的某个终端时间积累购买特定股票所需的确切现金量，同时考虑到在终端时间之前的任何时间都无法知道该终端时间的股价这一事实。解决这个问题的一种常见方法是假设*华盛顿州本特利市科廷大学数学与统计系学生。在17只股票中，有1只股票的价格基本上每天都有小幅度的随机变化。

利用这个假设，股票价格可以被建模为一个随机游走，它是由维纳过程或布朗运动产生的。根据鞅表示定理，随机积分可以从维纳过程复制这些随机变量（Dokuchaev，2013a）。这样，就可以找到一个解决方案，使得随机游动的最终值可以精确地计算出来。反向随机微分方程（BSDE）可用于找到该解。（Brunick&Shreve，2013年）。然而，很难为BSDE找到一个明确且唯一的解决方案，如果能找到解决方案，可能需要很大的计算工作量（Huijskens，2013）。因此，我们希望找到一个更简单的解决方案来解决这个问题。Dokuchaev（2013a）提出了一种使用普通积分的解决方案。使用普通积分可以得到精确解，但该解不是唯一的。因此，提出了一种优化的解决方案。本报告的目的是提供一个MATLAB模型，该模型可以实现Dockuchaev（2013a；2013b）提出的方程，使用普通整数的随机索赔的最佳复制技术，应用于现金积累策略问题。本报告的结构如下。第2节将描述用于该问题的方法，给出一般问题的方程，以及如何将这些方程合并到该应用的模型中。第3节将通过3个现金积累政策问题的例子和2个分析模型效率的实验，展示该模型的数值实验。随后，第4节将介绍通过分析模型得出的讨论要点。2、方法本节将描述生成现金积累战略模型的方法。首先，第2.1小节给出了一般问题的方程式。

在第2.2小节中，我们展示了这些方程如何适用于现金积累策略问题，以及如何将这些方程纳入模型中。随后，在第2.3小节和第2.4小节中，对模型进行了两次扩展：分别添加多维度，以及资产实现的超额部分的累积。2.1. 一般问题统计与f相对应的是由方程1定义的随机向量（Dokuchaev，2 013a）。随机向量定义为其期望值Ef和由d维维纳过程w（t）生成的随机变化积分2之和。系数kf（t）可以影响这些随机变化，它可能取决于截至当前时间t的维纳过程的历史（Dokuchaev，2013a）。f=Ef+ZTkf（t）dw（t）（1）该问题的目的是找到一个解函数x（t），该解函数从某个点x（0）=a开始，具有∈ Rn与终端时间T处的随机向量具有完全相同的值，因此x（T）=f（Dokuchaev，201 3a）。一般来说，x（t）可以用微分方程来描述，如方程2所示，受前面提到的边界条件的约束。在这个等式中，A∈ Rnxnis a给定的ma trix和b∈ Rnxnis是一种非退化矩阵（Dokuchaev，2013a）。dxdt=Ax（t）+bu（t），t∈ （0，T）（2）由于x（T）的解不是唯一的，因此应找到最佳解。对于积分范数中的此最优解，ERTu（t）的值Γ（t）u（t）dt应最小化（Dokuchaev，2013a）。参数Γ（t）=g（t）g（t）与快速增长的惩罚相关→ T（D okuchaev，2013a）。

对于g（t），方程式3和方程式4中所示的限制适用于整个时间间隔（0，t），并且g（t）>0必须是对称正定义矩阵（Dokuchaev，20 13a）。0<g（t）≤ c（T- t） α（3）g（t）-1.≤ c（1+（T- t）-α（4）确定以下参数，u（t）的最优解可以用方程5表示（Dokuchaev，2 013a）。结合方程式2和特定边界条件，可以找到x（t）（Dokuchaev，2013a）。bku（t）=R（t）-1kf（t），R（s），ZTsQ（t）dt，Q（t）=eA（t-t） bΓ（t）-1b级eA公司（T-t） bu=R（0）-1（Ef- eATa）+M（t），其中M（t）=Ztbku（t）dw（s）bu（t）=Γ（t）-1b级eA公司（T-t） bu。（5） 第3页，共172.2页。现金积累策略模型的应用现在可以应用此一般最优解决方案来创建所需的现金积累策略模型。假设一个投资者想要在特定的终端时间t以股票价格S（t）购买资产。股票价格S（t）受随机连续变化S（t）的影响，其可由方程6描述，其中a（t）可描述为股票价格的漂移，σ（t）dw（t）是由w（0）=0的连续维纳过程w（t）诱导的随机变化部分，如方程1所示（Do kuchaev，20 13a）。dS（t）=S（t）[a（t）dt+σ（t）dw（t）]（6）然而，出于建模目的，离散维纳过程将应用于时间步长t、 在时间间隔（0，t）内，N=tt有时会出现步骤。在这种离散化中，随机游动dW的变化呈正态分布，平均值为0，标准偏差为0√t（Highman，2013）。股票价格现在可以用公式7表示。S（tk）=S（0）+S（tk-1） NXk=1a（tk-1)t+σ（tk-1） dW（tk）（7） 考虑第一种也是最简单的情况，其中没有利率可供考虑。在这种情况下，A=0，b=1，n=1，f=S（T）。

函数u（t）描述了现金存款和取款的密度，单位为美元/单位时间步长。因此，在一个时间步内存入或提取的现金量可以用u（t）表示t（Dokuchaev，2013b）。a的值表示账户中的起始现金金额，该金额可以是正值，也可以是负值。A的负值表示开始时间0时的adebt。在这些假设下，函数R（s）简化为方程8，而u（t）的最优解则是使用方程9得到的（Dokuchaev，2013b）。根据方程式10（Dokuchaev，2013b），整个区间的积分u（t）确保积分与终值f=S（t）精确匹配。R（s），ZTsΓ（t）-1吨。（8） u（t）=Γ（t）-1.R（0）-1（S（0）- a） +ZtR（s）-1dS（t）（9） ZTu（t）dt=f（10）在下一种情况下，需要考虑利率，对于17的贷款和储蓄，利率都是r≥ 0.对于这种情况，A=r。现在，Q（t）和r（s）的函数可以使用方程11和方程12进行评估（Dokuchaev，2013b）。随后，可使用方程式13（Dokuchaev，201 3b）评估现金流密度u（t）。为了确定在终端时间T时账户中的最终现金金额，应使用累积因子er（T-t） 。根据方程式14，整个时间间隔内累计现金流的积分将与终值f=S（T）精确匹配（Dokuchaev，2013b）。Q（t）=e2r（t-t） Γ（t）-1（11）R（s）=ZTsQ（t）dt（12）u（t）=Γ（t）-1.R（0）-1（S（0）- erTa）+ZtR（s）-1dS（t）（13） ZTer（T-t） u（t）=f（14）最后一种情况将用于模型，而对于A=r=0，所有方程将与第一种情况类似。首先，对于每个时间，将使用方程式15计算步骤M（tk）。随后，将使用方程式16计算u（tk）。

之后，现金流密度u（tk）将使用公式17进行评估。最后，可以使用公式18计算账户x（t）中的累计现金量。在这个等式中，对于每个时间步，存放或提取的现金使用累积系数er累积到时间步的末尾t、 M（tk）=M（tk-1） +R（tk）-1dW（tk）（15）u（tk）=R（0）-1（S（0）- e（rT）a）+M（tk）（16）u（tk）=Γ（t）-1er（T-tk）u（tk）（17）x（tk）=x（tk-1） +u（tk）t型呃t（18）绘制S（t）和x（t）可以直观地表示股票价格S（t）和现金x（t）随时间的变化。使用上述方程式，时间T，S（T）=x（T）。第5页，共172.3页。模型的扩展：为一组不同的资产积累现金如果投资者想要购买同一资产的一个或多个，当前的模型是合适的。现在，该模型将扩展到该投资者希望在终端时间购买由不同资产组成的包的情况。在这种情况下，所有方程都是标量方程，而不是标量方程，它们必须是斜切方程。在等式19中，S（tk）现在表示S在Rm中的向量，其中m代表不同资产的数量，包含时间步长tk的所有单个股票价格。与只购买一只股票的情况类似，每只不同的股票都会经历由独立的维纳过程引起的变化。因此，dW（tk）的每个条目都包含来自正态分布的arandom数，平均值为0，标准偏差为√t、 这将确保每个股票价格独立变化，并且一个股票价格的变化不会影响任何其他股票价格。S（tk）=S（0）+S（tk-1） ）NXk=1a（tk-1)t+σ（tk-1） dW（tk）（19） 为了解决购买多个不同资产的问题，该模型现在将为每个不同资产启动一个单独的现金积累过程。

请注意，每个流程的所有存款和取款都来自同一个银行帐户。因此，每个进程的利率r将相同。方程式2 0和方程式21是方程式15和方程式16的向量等效版本，所有向量均为Rm。向量a表示每个单独的现金累积过程可用的开始现金量。例如，如果一家公司有80美元作为起始金额的现金，并希望购买4种不同的资产，那么可以假设每个流程有20美元作为起始金额。M（tk）=M（tk-1） +R（tk）-1dW（tk）（20）u（tk）=R（0）-1（S（0）- e（rT）a）+M（tk）（21）向量函数u（tk）现在表示每个单独流程的现金流密度，由方程式22给出。随后，可以使用等式23计算每个流程x（tk）中累积的现金量。这些方程确保在终端时间，每个单独的过程精确匹配17个终端时间中的6个对应的股票价格。u（tk）=Γ（t）-1er（T-tk）u（tk）（22）x（tk）=x（tk-1） +u（tk）t型呃t（23）然而，由于每个流程的所有现金都将累积在同一银行账户中，因此更有趣的是了解每个时间步必须存入或取出的现金总量。这可以用sum（u（tk））表示t、 在每个时间步，账户中可用的现金总额可以相应地用总和（x（tk））表示。现在，期末账户中的现金总额将与期末所有不同股票价格的总和完全匹配。2.4.

模型的扩展：股权比例的累积。当研究现金的累积量必须是股票价格与过程开始时设定的某个执行价格之间的正差值的一定比例时，可以得到模型的另一个扩展。如果没有差异，或者差异为负，则函数将取值0。因此，函数f将由方程24给出（Dokuchaev，2013b）。在这种情况下，方程式c表示比例，K表示用于计算实现超额的重置履约价格。模型中使用的f的另一个表达式是方程25（Dokuchaev，2013b）。f=c最大值（S（T）- K、 0）（24）f=H（S（0），0）+ZTHx（S（t），t）dS（t）。（25）在此公式中，H（S（t），t）可以使用买入期权的Black-Scholes公式计算（Dokuchaev，2013b）。利用这个公式，可以计算出欧洲看涨期权的估值。Black-Scholes方程的表达式见不等式26（Hull，2012）。在这个方程中，N（·）代表累积正态分布。可分别使用方程27和方程28计算变量D和D（Hull，2012）。注意，这些方程中的σ应为常数，因此σ（t）=σ，与方程6相比（D okuchaev，20 13；Hull，2 012）。H（S（t），t）=N（d）S（t）- N（d）Ke-r（T-t） （26）17d中的7=σ√T- t型自然对数S（t）K+r+σ（T- t）（27）d=d- σ√T- t（28）将等式25与等式1进行比较，可以看出，可以使用等式29计算等式1的系数Kf，再次假设σ为常数（Dokuchaev，2013b）。随后Hxc可以使用公式30计算（Haug，2007）。虽然kf（t）可以是方程1中的任意随机常数，但必须为方程25的每个独立时间步计算kf（t）。

因此，kf（t）现在可以被视为t时间的函数，这取决于随机索赔本身的历史。该问题的现金流密度现在可以使用方程式3 1计算（Dokuchaev，2013b）。kf公司=Hx（S（t），t）σdS（t）（29）Hx（S（t），t）=N（d）（30）u（t）=cΓ（t）-1.R（0）-1H（S（0），0）+ZtR（S）-1.Hx（S（t），t）σ（t）dS（t）（31）为了在模型中实现此应用，必须稍微调整几个方程。虽然在上一个示例中，股票价格可以直接用于复制，但现在必须首先计算函数f。因此，对于每个时间步，将使用公式32计算f（tk）的值。随后，将分别根据等式33和等式34计算M（tk）和u（tk）。现金流密度u（tk）现在可以用公式35表示。f（tk）=f（tk-1） +N（d1（tk））σdS（tk）（32）M（tk）=M（tk-1） +R（t）-1N（d1（tk））σdS（tk）（33）u（tk）=R（0）-1H（S（0），0）+M（tk）（34）u（tk）=cΓ（t）eA（t-t） u（tk）（35）第8页，共173页。数值实验本节将介绍从上一节到MATLAB模型的实现中得到的主要结果。为了展示模型的行为，将进行不同的实验。在第3.1小节中，将给出3个数值示例，在第3.2小节中，将给出2个关于模型时间性能的实验。3.1. 模型在示例问题3.1.1中的应用。在1年后积累现金购买资产在第一个例子中，考虑一家公司想要积累足够的现金，以便在1年后购买资产。该资产在0 S（0）时的价格为150美元。该公司目前在该账户中有50美元可用。