方差最优套期保值及其在电力市场中的应用

在第二部分中，我们详细介绍了一种算法的解决方案，该算法使用了一些特定的OR，并将命令和库存进行了分类。3.1一些动态规划算法引入了全局位置nν=（νi）i=0，。。。，N-1带：νi=iXj=0（mtj- ltj），i=0，N- 1、对于所有i=0，…，使用mtilti=0的属性，N- 1，我们得到|νi- νi-1 |=lti+MTI，条件是ν-1=0，以便增益函数可以重写为：GT（V）=^GT（ν）=x-N- 1Xi=0λ|νi-1 | Sti+N- 1Xi=0νiSi，其中Si=Sti+1- Sti，νi=νi+1- νi。然后引入^Θ（\'m，\'l）自适应随机变量集（νi）i=0，。。。，N-1如此-\'m≤ νi- νi-1.≤\'\'l，i=1，N- 1、问题（2.2）可以在Schweizer（1995）中重写，发现^ν=（^νi）i=0，。。。，N-1满意：^ν=arg minν∈^Θ（\'m，\'l）EhH- x个-^GT（ν）i、 （3.1）我们引入s步Ki，i=0，Fti可测和平方可积随机变量的N。我们为i定义∈ 0, . . . , N，Vi∈ 起亚：VN=H，Vi=EH-N- 1Xj=iνjSj+λN- 1Xj=i|νj-1 | Stj | Fti, i=0，N- （3.2）然后我们可以证明以下命题：命题n 3。问题（3.1）可以重写为：^ν=arg minν∈^Θ（\'m，\'l）Eh越南- νN- 1.序号- 1+ λ|νN- 2 | StN-1.- 越南- 1.i+N- 1Xi=2EhVi+λ|νi-2 | Sti-1.- νi-1.硅-1.- 不及物动词-1.i+Eh（V+λ|ν| St- νS- x） i.（3.3）证据。Eh（H- x个-^GT（ν））i=E越南- νN- 1.序号- 1+ λ|νN- 2 | StN-1.- 越南- 1.+N- 1Xi=2Vi+λ|νi-2 | Sti-1.- νi-1.硅-1.- 不及物动词-1.+（V+λ|ν| St- νS- x）i（3.4）由于定义（3.2），我们有Vi+λ|νi-2 | Sti-1.- νi-1.硅-1.- 不及物动词-1 | Fti-1.= 0, i=1。

，N，（3.5），因此eh（H- x个-^GT（ν））i=EhEh越南- νN- 1.序号- 1+ λ|νN- 2 | StN-1.- 越南- 1.|FtN公司-1ii+E“N- 1Xi=2Vi+λ|νi-2 | Sti-1.- νi-1.硅-1.- 不及物动词-1.+（V+λ|ν| St- νS- x） i迭代过程ss givesEh（H- x个-^GT（ν））i=Eh越南- νN- 1.序号- 1+ λ|νN- 2 | StN-1.- 越南- 1.i+N- 1Xi=2EhVi+λ|νi-2 | Sti-1.- νi-1.硅-1.- 不及物动词-1.i+Eh（V+λ|ν| St- νS- x） 我，这给出了结果。我们引入了R值Fti与- \'m≤ ν -η ≤l}，且空间^W'm，'li（η）={（V，νi，…，νN- 1） /V为R值，Fti适应，νj，j≥ i是R值dTj，与m相适应≤ νi- η ≤\'l，\'m≤ νj+1- νj≤\'\'l代表i≤ j<N- 1}.当价格过程为马尔可夫过程且支付函数为到期资产价值函数时，公式（3.3）可用于通过动态规划解决问题。对于当前价格Sti和投资组合中的νi投资，我们引入了日期ti的最优剩余R-1资产：R（ti、Sti、νi-1） =最小值（V，ν）∈^W'm，'li（νi-1） E类H-N- 1Xj=iνjSj+λN- 1Xj=i|νj-1 | Stj- 五、|Fti公司.

（3.6）然后方程（3.3）给出：R（ti，Sti，νi-1） =最小值（V，ν）∈W'm，'li（νi-1） 呃五、-νiSi+λ|νi-1 | Sti-V+ R（ti+1，Sti+1，ν）| Ftii，（3.7），其中V是计算R（ti+1，Sti+1，ν）的等式（3.6）中argmin的第一个分量。基本递归给出了相应的算法1，其中，在Ti日，用资产价值刚性或投资νi，将未来均值方差风险最小化所需的现金的最佳初始值-1日期为ti的客户-1注意到V（ti，Sti，νi-1).迭代条件期望近似最小化问题的算法1向后分解。1： V（tN，StN（ω），νN- 1） =H（ω），νN- 12： R（tN，StN（ω），νN- 1) = 0, νN- 13： 对于i=N，2 do4：（￠V（ti-1，Sti-1，νi-2） ，νi-1） =arg最小值（V，ν）∈W'm，'li-1（νi-2） E类（△V（ti，Sti，ν）-ν硅-1+ λ|ν - νi-2 | Sti-1.- V）+R（ti，Sti，ν）| Fti-1.（3.8）5:R（ti-1，Sti-1，νi-2） =E（▄V（ti，Sti，νi-1) - νi-1.硅-1+λ|νi-2 | Sti-1.-V（ti-1，Sti-1，νi-2） ）+R（ti，Sti，νi-1） | Fti-1.6： ν=arg minν∈[- \'m，\'l]E（V（t，St，ν）+λ|ν| St- νS- x） +R（t，St，ν）请注意，在日期ti，最优投资策略η*由方程（3.8）计算的是Sti，νi的函数-1、备注3.1。可以轻松修改之前的算法，以解决Schweizer的局部风险最小化问题（见S chweizer（1999）），其中添加了一些流动性约束。

方程式（3.8）必须修改为（~V（ti-1，Sti-1，νi-2） ，νi-1） =arg最小值（V，ν）∈W'm，'li-1（νi-2） E类（▄V（ti，Sti，νi-1)-ν硅-1+ λ|ν - νi-2 | Sti-1.- V）| Fti-1..由于与用于估计条件期望的方法相关的近似误差，算法1中的估计可能会在时间迭代期间累积误差。与Bender和Denk（2007）提出的方案类似，为了改进inGobet、Lemor和Warin（2005）提出的解决倒向随机微分方程的方法，我们可以提出前一种算法的第二种版本，将增益函数Rω更新为ω。然后，通过资产价值或投资νi来满足当前的需求-1日期为ti的客户-1： \'R（ti，Sti，νi-1） =小时-N- 1Xj=iνjSj+λN- 1Xj=i|νj-1 | Stj，=(R)R（ti+1，Sti+1，νi）- νiSi+λ|νi-1 | Sti，根据方程式（3.4），在日期Ti，最优控制是与最小化问题相关的控制ν：min（V，ν）∈W'm，'li（νi-1） E类（(R)R（ti+1，Sti+1，ν）- νSi+λ|ν- νi-1 | Sti- V）| Fti.这导致了第二个算法2。避免条件期望迭代的最小化问题的算法2向后求解。1： \'R（tN，StN-1（ω），νN- 1） =H（ω），νN- 12： 对于i=N，2 do3：（￠V（ti-1，Sti-1，νi-2） ，νi-1） =arg最小值（V，ν）∈W'm，'li-1（νi-2） E类（(R)R（ti，Sti，ν）-ν硅-1+ λ|ν - νi-2 | Sti-1.- V）| Fti-1.（3.9）4:R（ti-1，Sti-1（ω），νi-2（ω））=R（ti，Sti（ω），νi-1(ω)) - νi-1(ω)硅-1(ω) + λ|νi-2（ω）| Sti-1（ω）5：ν=arg minν∈[- \'m，\'l]E（\'R（t，St，ν）+λ|ν| St- νS- x）备注3.2。为了处理均值-方差对冲的情况，即寻找最优策略和初始财富对冲未定权益，将算法1的最后一行替换为（~V，ν）=arg min（V，ν）E（V（t，St，ν）+λ|ν| St- νS- V）+R（t，St，ν）,和算法2的最后一行，通过（￠V，ν）=arg min（V，ν）∈R×[- \'m，\'l]E（\'R（t，St，ν）+λ|ν| St- νS- 五）.备注3.3。

在提出的两种算法中，必须实现argmin：在νi中进行离散化-2必须在网格上实现[νi-1.- m，νi-1+1]。3.2基于局部回归的有效实施。从理论算法1、2开始，我们的目标是基于函数V的表示（取决于时间）得到有效的实现，并在对冲资产中保持头寸ν。我们为算法2提供了一个详细的实现，但对算法1的调整很简单。为了简化设置，我们假设只有一种套期保值产品可用。多维情况下的扩展是straig htforward为了表示套期保值位置中的相关性，我们引入了一个与时间相关的gridQi：=（ξk）k=-（i+1）\'mξ,...,（i+1）\'lξ式中，ξ是与网格集（Qi）i=0相关的网格尺寸，如果可能的话，选择的Nand应确保lξ=\'lξ 和？mξ=\'mξ.o 为了表示STW中的依赖关系，我们使用模拟路径的蒙特卡罗方法（S（j）ti）i=0，。。。，Nj=1，。。。，Mand使用与Bouchard和Wa rin（2012）所述方法相近的方法计算公式（3.9）中的arg min：假设我们在每个日期给出ti（Diq）q=1，。。。，Qa分区h最小j=1，MS（j）ti，maxj=1，MS（j）ti使得每个单元格包含相同数量的样本。我们使用Q单元格（Diq）Q=1，。。。，Qto repre在Stivariable中发送了▄V的依赖关系。在每个单元格q上，我们在给定日期和位置kξ处搜索函数V的^Vqa线性近似值，以便^Vq（ti，S，k）=aqi+bqiS是∧V（ti，S，kξ）的近似值。为了通过套利找到每条路径上的最优指令，还必须通过回归计算条件方差。让我们注意（lqi（j））j=1，mq在日期ti属于单元q的所有样本集。

在每个网格上，对于资产存量中的当前位置kξ，通过在网格η=（（k+r）ξ）r上离散命令ν获得最佳控制^νqi=-\'mξ,...,\'lξ通过测试给出一个^Vqvalue的函数，使Lriskso解方程（3.9）最小化。算法3允许在日期ti使用算法2，针对hedgingposition kξ和所有蒙特卡罗模拟j，找到最优ν（j）i（k）命令。算法3优化最小对冲头寸（ν（l）ti（k））l=1，。。。，材料日期ti-11： 程序最优控制（(R)R（ti+1，，，.），k、 Sti，Sti+1）2：对于q=1，q do3：P=∞,4： 对于l=-\'mξ, . . . , \'lξ do5：（aq，ki，bq，ki）=arg min（a，b）∈RMQXj=1R（ti+1，Slqi（j）ti+1，（k+l）ξ）-（k+l）ξSlqi（j）i+λ| lξ| Slqi（j）ti- （a+bSlqi（j）ti） 估计值函数6：（cq，ki，dq，ki）=arg min（c，d）∈RMQXj=1（\'R（ti+1，Slqi（j）ti+1，（k+l）ξ）-（k+l）ξSlqi（j）i+λ| lξ| Slqi（j）ti- （aq、ki+bq、kiSlqi（j）ti））-（c+dSlqi（j）ti） 条件方差7：对于j=1，MQdo8：如果cq，ki+dq，kiSlqi（j）ti<P（j），则 使用条件方差进行套利9：ν（lqi（j））i（k）=lξ，P（j）=cq，ki+dq，kiSlqi（j）tireturn（^ν（j）ti（k））j=1，。。。，MRemark 3.4。该算法基于当前对冲头寸的离散化和下一天可能采取的可接受对冲头寸的离散化。因此，这种方法必须面对维度的过程，套期保值产品的数量不应超过两个。在CPU集群上使用一些库，如StOpt库Gevret、Lelong和Warin（2016），可以解决三种对冲资产的问题。备注3.5。也可以像Longstaff和Schwartz（2001）那样在回归中使用全局多项式，或者像Langrené和Warin（2017）最近的论文那样使用核回归方法。Ludkovski和Maheshwari（2018）对一些回归技术进行了最近的比较，以评估一些天然气储量。备注3.6。

可以使用不同的离散化ξ来确定集合η和集合Qi。则表示状态和控制的网格可能不对应。为了节省时间，可以选择比控件网格粗糙的状态网格。Warin（2012）提供了一个使用这种插值来跟踪蒙特卡罗策略产生的最佳现金流的气体储存问题的例子。备注3.7。该算法允许对hedgingasset的全局流动性添加一些全局约束。这是通过将可能的对冲头寸限制在每个日期ti的Qiat子集来实现的。然后在算法4上给出了算法2的全局离散化版本，其中H（j）对应于支付函数的第j个蒙特卡罗实现。算法4全局后向分辨率算法、最优控制和最优变量计算1:forν∈ QN公司- 1D2：适用于j∈ [1，M]do3：(R)R（tN，S（j）tN，ν）=H（j）4：对于i=N，2 do5：对于kξ∈ 气-2do6：（ν（j）i-1（k））j=1，M=最优控制（(R)R（ti，，，.），k、 Sti公司-1，Sti），7：用于j∈ [1，M]do8：\'R（ti-1，S（j）ti-1，kξ）=R（ti，S（j）ti，ν（j）i-1（k））-ν（j）i-1（k）S（j）i-1+λ|ν（j）i-1（k）- kξ| S（j）ti-19： P=∞,10:对于k=-\'mξ, . . . , \'lξ do11：￠P=MXj=1\'R（t，S（j）t，kξ）- kξS（j）+λ| k |ξS- x） 12：如果▄P<P，则13：ν=kξ，P=▄P14：V ar=MPMj=1\'R（t，S（j）t，ν）- νS（j）+λ|ν| S- x个4数值结果4.1不确定性模型和要解决的问题我们假设电力零售商必须面对其为客户提供的负荷的不确定性。我们假设该荷载D（t）是随机的，并遵循动态：D（t）=^D（t）+（D（u）-^D（u））e-aD（t-u） +ZtuσDe-aD（t-s） dWDs，（4.1），其中adi是均值回复系数，σd过程的波动性，（WDt）t≤这是布朗运动(Ohm, F、 P）和^D（u）是在给定日期u前几年的平均负荷。

方程式（4.1）仅表明，由于经济活动和温度敏感性，负荷曲线D（t）os围绕平均值^D（t）进行调整。我们假设零售商希望在给定的日期T对冲头寸，并且未来模型由一个单因素HJM模型给出，在现实世界概率F（T，T）=F（0，T）e下-σEe-2aE（T-t）-e-2aET4aE+e-aE（T-t） ^WEt，^WEt=σEZte-aE（t-s） dWEs，（4.2），其中F（t，t）是在t日看到的在t日交货的远期曲线，ae是电力的均值回复参数，σ是模型的波动率，以及（湿）t≤Ta布朗论(Ohm, F、 P）与WD相关，相关系数ρ。相关性为先验负，表明高开仓位是高可用产量或低消费推动价格下跌的信号。备注4.1。将未来价格建模为鞅的事实与风险溢价难以估计的事实有关，与资产的波动性相比，风险溢价是二阶的。这导致了提供相同预期收益的战略。与模型（4.2）isdF（t，t）=σEe相关的SDE-aE（T-t） F（t，t）dWEt。利用方程4.2，我们得到F（ti，T）F（ti-1，T）| Fti-1.= eσEe-2aE（T-ti）-e-2aE（T-ti公司-1） 2aE，因此假设2.3满足。类似F（ti-1，T）F（ti，T）| Fti-1.= e3σEe-2aE（T-ti）-e-2aE（T-ti公司-1） 2aE，因此假设2.4满足。最后，假设2.5满足，取δ=Nmaxi=1e-σEe-2aE（T-ti）-e-2aE（T-ti公司-1） 2aE<1。这样一份合同的报酬是H：=D（T）F（T，T）。

当没有流动性约束时，假设投资组合重新平衡是连续的，没有费用和数量约束，并使用均值-方差标准（见备注3.2），合同价值V=（V（t，D（t），F（t，t）））t≤Tand套期保值政策ν=（ν（t，D（t），F（t，t）））t≤t解：（V，ν）=arg min（~V，ν）∈R×L（F）E“（D（T）F（T，T））-ZTt？νsdF（s，T）-V）| Ft#，（4.3），其中L（F）是可预测过程V满足“ZTvtσEe”的集合-2aE（T-t） F（t，t）dt#<∞附录中给出了下列引理的证明。引理4.1。方程（4.3）的最优套期保值政策解为：ν（t，D（t），F（t，t））=^D（t）+（D（t）-^D（t））e-aD（T-t） +ρe（aE-aD）（T-t） σDσE+σEσD1- e-（aE+aD）（T-t） aE+aD, （4.4）最优方差残差V aroptis由以下公式得出：V aropt=σD（1- ρ） F（t，t）中兴通讯-2aD（T-s） eσEe-2aE（T-s）-e-2ET2AEDS。（4.5）交易者通常仅使用期权对基础的敏感性来对冲其风险。对于均值-方差标准，获得非最佳对冲政策≯（t，D（t），F（t，t））=五、F（t，D（t），F（t，t））（4.6）=^D（t）+（D（t）-^D（t））e-aD（T-t） +ρσEσD1- e-（aE+aD）（T-t） aE+aD，导致残余变量V Arcuri与：V arcur=σDF（t，t）ZTe给出的相关性无关-2aD（T-s） eσEe-2aE（T-s）-e-2ET2AEDS。4.2测试案例我们假设，重要生产商希望在交付开始前三个月对冲平均每月9 GW的未平仓头寸。我们假设市场上的月度产品遵循动态（4.2），参数如下：F（0，T）=40欧元/兆瓦时，aE=1。75 a和σE=每年20%。开放位置遵循方程式（4.1）给出的动态，参数SAD=19.8（年），σD=624 0 MW。

我们假设Wd和WEisequal之间的相关性ρ为-0.2.我们假设交易成本为零，因此我们只关心对冲频率和未来市场深度的影响。我们根据方差对套期保值策略进行了测试，结果如下：o方程（4.4）给出的最优分析，o方程（4.6）给出的经典切线增量，o使用第3.2段中所述的一些局部基函数通过算法1、2获得的数值最优解，并使用StOpt库实现（Gevret et al.（2016））。备注4.2。这里的值函数是F和D的函数，因此在算法中必须使用二维回归，从而需要指定用于表示F和D的网格数。我们首先研究了在深度有限的市场中套期保值频率的影响，然后，我们利用大量的模拟和大量的函数基础，探索这两种算法的有限市场深度的影响。最后，我们研究了不同参数对算法收敛性的影响。由于算法1需要存储残差和函数值，因此占用的内存较多，运行速度略慢于算法2（小于10%）。在所有测试中，可供出售的对冲产品的全球库存设定为12GW，这意味着该产品的可用性没有任何实际的全球约束。该能源存量以100MW的步长离散化（因此使用121个正数），在每个交易日，市场上的能源购买或出售以100MW的步长离散化。4.3市场细分本节中，我们采用以下参数进行估值：8×8网格用于二维回归。