方差最优套期保值及其在电力市场中的应用

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英文标题：
《Variance optimal hedging with application to Electricity markets》
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作者：
Xavier Warin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In Electricity markets, illiquidity, transaction costs and market price characteristics prevent managers to replicate exactly contracts. A residual risk is always present and the hedging strategy depends on a risk criterion chosen. We present an algorithm to hedge a position for a mean variance criterion taking into account the transaction cost and the small depth of the market. We show its effectiveness on a typical problem coming from the field of electricity markets.
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中文摘要：
在电力市场中，流动性不足、交易成本和市场价格特征阻碍了管理者准确复制合同。剩余风险始终存在，套期保值策略取决于所选的风险标准。考虑到交易成本和较小的市场深度，我们提出了一种均值-方差准则对冲头寸的算法。我们在电力市场领域的一个典型问题上展示了它的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Variance_optimal_hedging_with_application_to_Electricity_markets.pdf (329.04 KB)

2022-6-1 16:37:08 上传

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关键词：电力市场 套期保值 Quantitative Applications Electricity

方差最优套期保值及其在电力市场中的应用*+2018年8月29日摘要本文使用均值-方差套期保值准则对不完全市场中的合同进行估值。虽然该问题在连续甚至离散的框架中得到了很好的研究，但已经完成了许多包含非流动性约束的工作，并且在文献中没有可用的算法来解决该问题。我们首先表明，将非流动性约束与均值-方差标准结合起来的估值问题有唯一的解决方案。然后，我们基于动态规划原理开发了两种Leatsquares Monte Carlo算法，以有效地评估这些契约：在这些方法中，使用动态规划方法离散化控制，通过回归经典地计算条件期望。第一种算法计算最优价值函数，而第二种算法计算沿各行业产生的最优现金流。在第三部分中，我们给出了来自能源市场的负荷曲线合同的估值示例。在这样的合同中，不完整性来自于无法对冲的客户的不确定性，并且存在非常严格的不公平约束。我们比较了这两种算法和一些忽略约束的封闭公式得出的策略，我们发现套期保值策略可能非常不同。对算法的收敛性进行了数值研究。关键词：蒙特卡罗方法、均值方差对冲、能源、金融SC2010：主要65C05、60J60；次级60J85、60H35。1简介自1990年放松对能源市场的管制以来，许多国家都有现货和期货合同。

由于电力不容易储存，而且必须随时检查生产和消费之间的平衡，因此当需求量大或生产短缺时，城市价格会飙升。这些价格的高度变化导致价格的对数回报分布出现厚尾，例如高斯模型无法再现这一特征。已经开发了许多模型来再现A"id（2015）中所示的电价统计特征，导致市场建模不完整。然而，即使是高斯模型（Gaussianmodel），能源市场上也存在许多摩擦和不完整性来源：首先是市场上可用对冲产品的流动性。仓位的巨大变化导致价格的变化，因此外生价格模型的假设不再有效。为了限制其对价格的影响，风险管理人员及时分散其销售/购买订单。一个现实的对冲策略必须将这些限制因素考虑在内。此外，由于买卖价差已经成为摩擦的一个来源，并且由于所使用的模型不准确，套期保值每周只实现一次或每月两次，因此连续套期保值的可能性远未得到满足。此外，在电力市场上，一些合同不仅取决于价格。例如，零售商必须提供一条不确定的负荷曲线，这主要是由于其对温度和商业活动的敏感性，因此不可能对此类合同进行完美对冲。在张（1999）、贝尔西马斯（Bertsimas）、科根（Kogan）和罗（2000）、林芝（Hayashi a）和米克兰（20 05）的完整市场中，对离散混合效应的文献进行了理论研究。

如果不完整*EDF研发和FiME，能源三月财务实验室+warin@edf.frmarkets通过一些跳跃，Tankov和Voltchkova（2009）得出了一些关于离散套期保值日期导致的套期保值误差的结果。Leland proxy（Leland（1985））是第一个考虑计算离散对冲日和交易成本的提案。使用Black-Scholes模型得到的一个理论结果表明，当比例交易成本随着干预次数的减少而减少时，n与n成正比-α与α∈]0，]时，当使用BlackScholes公式对看涨期权进行估值和套期保值时，套期保值误差在概率上变为零，波动率经过修正。在这第一项工作之后，大量关于交易成本的文献已经形成。例如，卡巴诺夫和萨法里（1997）、佩尔加门什奇科夫（2003）、丹尼斯和卡巴诺夫（2010）、索纳、什里夫和卡维塔尼奇（1995）处理了α=0与交易成本独立于对冲频率的现实案例。据我们所知，文献中尚未从理论上或数字上讨论套期保值产品有限可用性的情况。目前，大多数研究侧重于开发一些价格影响分析，以模拟头寸的清算（例如，见Gathereal（2010）），而不是引入一些深度限制。为了制定现实的对冲策略，并且由于所有不完全性的来源，必须使用风险标准来确定到期日具有给定收益的或有权益的最佳对冲策略。

在本文中，我们使用均值-方差策略来确定该最优政策，同时考虑到套期保值是在离散日期实现的，交易成本是存在的，并且每个日期的订单数量有限。均值-方差套期保值在理论上得到了很好的研究。关于该主题的第一篇论文（Duffee和Richardson（1991））在连续的背景下发表，随后是许多关于该主题的文章。正如我们之前提到的，连续性套期保值在实践中并不满足，F"ollmer和Schweizer（1988）提出了一种考虑一些离散套期保值日期的方法。与连续案例一样，一些注意力集中在寻找对冲策略的半显式公式上（见Goutte、Oudjane、a和Russo（2014）和内部参考）。在一般情况下，由于交易成本和对冲头寸的限制，没有明确的解决方案，因此有必要依赖数值方法。目前还没有提出任何算法来解决这个问题：乔尔尼（2004）开发了基于树分辨率的无摩擦均值-方差算法，但这些方法仅在非常低的维度上有效。本文的主要贡献是提出了两种基于动态规划方法的算法来解决一般情况下的这一问题。使用蒙特卡罗方法并依靠回归（最小二乘蒙特卡罗）计算条件期望，我们提出了第一种通过离散化命令和风险资产投资金额来递归及时计算函数值的方法。第二个版本建议使用类似于Longstaff和Schwartz（2001）中使用的方法来跟踪该战略产生的最佳现金流。

蒙特卡罗方法的使用允许使用灵活的算法来解决套期保值产品数量的多维问题。本文的结构如下：第一部分，在一般情况下，利用Schweizer（1995）、Motoczynski（2000）和Beutner（2007）之前的工作，我们证明了问题在一般情况下是可以解决的。在第二部分中，我们开发了两个版本的算法。在第三部分中，我们重点讨论了一个能源零售商需要通过交易期货合约来对冲与随机负荷曲线相对应的op e n头寸的问题。使用高斯单因子HJMmodel作为未来曲线，使用Ornstein-Ulhenbeck模型作为负荷曲线，我们表明，考虑离散对冲和有限订单的一个电力市场对最优策略有很大影响。我们还对两种算法进行了数值比较，并在一个测试用例上研究了一些收敛性。在who le文件中，我们仅考虑使用一种对冲工具的情况。处理更多对冲工具不存在技术问题，但由于所提出算法中使用的离散化不同，仅使用一种资产进行数值实验更容易。2一般框架中的均值方差套期保值在本节中，我们假设(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]）是一个过滤概率空间。我们定义了一组交易日期T={T=0，T，…，tN- 1，tN=T}，我们假设（St）T.tN是一个几乎肯定为正的对冲产品（St）T.tN，平方可积，因此ESt公司< ∞ 并进行调整，以使StisFt可测量t=t，此外，我们假设无风险利率为零，因此债券的值始终为1。我们建议继续代理索赔H∈ L（P）是一个FT可测的随机变量。

对于具有行使K和到期T的资产ST的欧洲看涨期权，H（ω）=（ST（ω）- K） +。在这篇论文中，我们只对订单有限的自我融资策略感兴趣，对有界控制也是如此。扩展Motoczynski（2000）、Beutner（2007）的定义，我们定义：定义2.1。A（\'m，\'l）自我融资策略V=（Vti）i=0，。。。，N-1是一对自适应过程（mti，lti）i=0，。。。，N- 1定义为（\'m，\'l）∈ (0, ∞) × (0, ∞) 这样：o0≤ mti公司≤ \'m，0≤ lti公司≤\'l P.a.s。i=0，N- 1，omtilti=0 P.a.s。i=0，N- 1、在本定义中，Mt对应于t日出售的股份数量，Lt对应于t日购买的股份数量。备注2.1。Motoczynski（2000）和Beutner（2007）中定义的策略没有规定MTLT=0，因此可以在同一给定日期进行买卖控制。我们注意到Θ（\'m，\'l）一组（\'m，\'l）自我融资策略，并用符号ν=（m，l）表示ν∈ Θ（\'m，\'l）。我们考虑了一个比例成本模型，这样投资者以1+λ的价格购买股票，而出售该股票的投资者只能获得（1- λ） St.假设在最后一天T没有交易成本，初始财富为x的n投资者的最终财富为：x-N- 1Xi=0（1+λ）ltiSti+N- 1Xi=0（1- λ） mtiSti+N- 1Xi=0ltiStN-N- 1Xi=0吨。（2.1）备注2.2。最后日期T的交易成本与合同的性质有关。在纯金融合同的情况下，投资者出售资产，然后必须支付一些交易成本来结算最终头寸。例如，在能源市场上，合同通常与实物交付相关，无需支付特殊费用。

此外，在这些市场上，期货市场流动性较差，相关交易成本较高，而现货市场流动性较高，交易成本可以忽略不计。正如Motoczynski（2000）、Beutner（200 7）所述，我们定义了风险最小化策略，以最小化对冲投资组合的风险，从而支持对冲者清算其在T日的全部累积头寸：定义2.2。（\'m，\'l）自我融资策略^V=（^m，^l）是应急目标H和初始资本x的全球风险最小化，如果：^V=arg minV=（m，l）∈Θ（\'m，\'l）E“（H- x+N- 1Xi=0（1+λ）ltiSti-N- 1Xi=0（1- λ） mtiSti公司-N- 1Xi=0ltiStN+N- 1Xi=0mtiStN）#。（2.2）为了证明问题（2.2）的解的存在，我们需要对价格做出一些假设，如Motoczynski（2000），Beutner（2007）：假设2.3。价格过程S=（Sti）i=0，。。。，使常数K>0满足：E“StiSti-1 | Fti-1#≤ K、 每年；si=1，N、 假设2.4。价格过程S=（Sti）i=0，。。。，Nis使得常数K>0满足：E“Sti-1Sti | Fti-1#≤ K、 P.a.s。，i=1，N、 假设2.5。价格过程S=（Sti）i=0，。。。，使常数δ∈ （0，1）满意度：（ESti | Fti-1.)≤ δESti | Fti-1., P、 a.s。，i=1，N、 我们介绍了增益函数：定义2.6。对于V∈ Θ（\'m，\'l），我们定义了增益函数GT:Θ（\'m，\'l）-→ LbyGT（V）：=-N- 1Xi=0（1+λ）ltiSti+N- 1Xi=0ltiST+N- 1Xi=0（1- λ） mtiSti公司-N- 1Xi=0mtiST（2.3）为了证明我们的问题已经明确，我们想证明GT（Θ（\'m，\'l））在l中是闭合的。正如Motoczynski（2000），Beutner（2007）一样，我们必须引入另一个函数GT（V）：Θ（\'m，\'l）-→L×L×L定义：GT（V）：=-PN编号- 1i=0（1+λ）ltiStiPN- 1i=0（1- λ） mtiStiPN- 1i=0（lti- mti）ST。（2.4）提案2。在假设2.3,2.4,2.5下，ΘGT（Θ（\'m，\'l））是l×l×l证明的闭有界凸集。

集合的凸性是由于▄GToperator的线性。由于（lti，mti）的界限，i=0，N-（Sti）i=0，N平方可积性，我们得到ΘGT（Θ（\'m，\'l））有界于l×l×l。为了证明ΘGT（Θ（\'m，\'l））的闭性，我们假设序列（Vn）=（mnti，lnti）i=0，N-1.∈Θ（Θm，Θl），使得ΘGT（Vn）在l×l×l中收敛。使用Motoczynski（2000）中的假设2.5和引理5.3，我们得到i=0，N-1，存在∞ti，m∞tiFti调整为∞蒂斯蒂∈ 五十、 m级∞蒂斯蒂∈ Landontistil公司--→ l∞tiSti，mntiStiL--→ m级∞tiSti，所以-N- 1Xi=0（1+λ）lntil--→ -N- 1Xi=0（1+λ）l∞蒂斯蒂，N- 1Xi=0（1- λ） mntiStiL公司--→N- 1Xi=0（1- λ） m级∞蒂斯蒂。利用Beutner（2007）中基于假设2.3的引理5，我们得到LntistConverge弱到l∞tiST和mntistc弱收敛于m∞tiST，对于i=0，N- 1这样n- 1Xi=0（lnti- mnti）STwe ak---→N- 1Xi=0（l∞ti公司- m级∞ti）ST。利用强极限和弱极限在L中重合的系数，我们得到▄GT（Vn）的极限为▄GT（V∞)带V∞= （m）∞, l∞) ∈ L×L.我们还得证明∞ti，m∞t尊重约束：首先使用假设2.4和条件期望的towerproperty，我们有Sti公司≤KiS<∞, i=0，N、 （2.5）例如，假设存在>0和i<N，使得l∞ti（ω）>l+a，对于测量值为非零的集合a中的ω，则，（\'l+a）~a≤El∞tiA公司,=E（l）∞ti公司- lpti）1A+ ElptiA公司,≤E（l）∞tiST公司- lptiST）1AST+然后使用（2.5）我们知道，1使用lptiSTtowards l的弱收敛性∞TistandLeving p to in finity给出了矛盾。相同类型的计算表明，l∞ti公司≥ 0, 0 ≤ m级∞ti公司≤ \'\'m.最后，我要证明的是∞m级∞= 0

例如，假设存在>0和i<N这样的l∞ti（ω）m∞ti（ω）>对于具有非零测度的集合a中的ω，使用lntimnti=0的事实，mntiASti∈ 兰德·柯西-施瓦茨：A≤El∞提姆∞tiA公司,=E（刺激∞ti公司- Stimnti）l∞蒂亚斯+ E（斯蒂尔蒂- Stil公司∞ti）mntiASti≤|E（刺激∞ti公司- Stimnti）l∞蒂亚斯| + ||斯蒂尔尼- Stil公司∞ti | | L'm'AK0.5iS。让n进入整体，利用强/弱收敛性质，我们得到了矛盾。我们现在可以给出存在唯一性定理：定理2.8。在假设2.3、2.4、2.5下，最小化问题（2.2）有唯一的解决方案。证据首先，我们证明了GT（Θ（\'m，\'l））是l中的一个闭有界凸集。凸性和有界性是直接的。支持我们有一个序列（Vn）=（mnti，lnti）i=0，N-1.∈ Θ（\'m，\'l）使得G（Vn）在l中收敛。GT（Θ（\'m，\'l））是一个有界闭凸集，由于命题2.7，它是弱闭的，并且我们可以提取一个子序列Vp，使得▄GT（Vp）弱收敛到▄GT（V∞) 带V∞∈ Θ（\'m，\'l）。然后通过线性化，GT（Vp）弱收敛到GT（V∞) 由于弱极限与强极限重合，我们得到GT（Vp）强收敛于GT（V∞) 给出GT的闭合度（Θ（\'m，\'l））。因此，极小化问题的解是唯一的，且与l中H在GT（Θ（\'m，\'l））上的投影相对应。3均值-方差混合算法在本节中，我们假设过程是马尔可夫过程，支付是到期资产价值的函数，只是为了简化所提出的蒙特卡罗方法的表示。在第一节中，我们给出了两种基于动态规划和回归的算法来计算问题的解（2.2）。