方差最优套期保值及其在电力市场中的应用

在优化中，我们使用400000个轨迹ie来计算回归。在表1中，测试套期保值频率的影响。我们通过取算法1和2的10次运行的平均值，给出了bta的变化。使用不同UN标准偏差的估计值σ，我们也可以给出σ值√作为对结果可信度的估计。使用优化运行中获得的控制，我们还模拟了通过数值优化策略、经典切线增量和使用表2中1e6粒子的优化分析从样本中获得的方差。方程（4.5）给出的连续套期保值的最优方差为7.8628e+14。如果没有对冲，投资组合的var等于1.114e+15。我们注意到，优化部分的平均值非常接近使用样本外轨迹获得的值。在1e6轨迹的数值上，我们甚至得到了略低于分析值的方差，这表明估计方差的收敛速度很慢，并且需要非常多的样本才能得到非常好的估计。如表2所示，通过使用2周的时间步（多个hedg日期等于8），数值边缘残差非常接近使用最佳分析对冲获得的残差，两个值都非常接近通过连续对冲获得的值。

此外，我们还发现，仅当使用3或4个套期保值日时，数值策略的效果优于最优分析策略。套期保值日数平均方差7.953e+14 7.9129e+14 7.851e+14σ√5.449e+11 6.328e+11 2.315e+11表1：使用算法2获得的有限市场深度方差。对冲数据数量3 4 8数字7.952e+14 7.9106e+14 7.853e+14最优分析8.0843e+14 7.99811e+14 7.852e+14经典对冲8.1905e+14 8.1854e+14 8.157e+14表2：使用算法2观察到的不同市场深度策略的样本外方差。在表3和表4中，我们给出了由算法1获得的类似结果。取3个套期保值日，我们得出与算法2相同的结果（存在差异，但出现在第五位）。随着套期保值日期数量的增加，两种算法之间出现了一些差异，但结果总是非常相似。套期保值数据数量平均方差7.9 53e+14 7.9166e+14 7.8664e+14σ√5.449e+11 6.31809 e+11 2.313e+11表3：使用算法1获得的有限市场深度方差。套期保值日数3 4 8数字7.952e+14 7.9069e+14 7.8797e+14表4：在使用算法1.4.4市场深度有限的最佳策略的有限市场深度观察到的样本方差中，我们假设在每个套期保值日，可用能量的功率限制为12 00W。我们保持与前一节相同的模型参数和分辨率。为了尊重有限的深度约束，通过裁剪分析策略获得最佳分析策略和经典套期保值策略。表5和表6给出了算法2的结果。对于3和4个套期保值日，在期货市场上出售的能源比例过低，最佳策略始终是以最大值出售。

对于8和13个套期保值日，数值策略和最优分析给出了相同的方差。套期保值数据数量3 4 8 13平均方差9.82228e+14 9.51851e+14 8.84079e+14 8.3508e+14σ√6.19103e+11 6.36506e+11 2.62856e+11 4.34744e+11表5：使用算法2获得的特定市场深度的方差。套期保值数据数量3 4 8 13数字9.81158e+14 9.49984e+14 8.82166e+14 8.36344e+14最优分析9.81158e+14 9.49984e+14 8.84816e+14 8.3635e+14经典套期保值9.81158e+14 9.49984e+14 8.96696e+14 8.67346e+14表6：在使用算法2观察到的不同策略的有限市场深度的样本外方差。将- 0.2，我们认为使用数值方法而不是使用分析解没有任何优势。在表7中，保持a套期保值日期的数字等于8，我们给出了以算法2为基础的方差，并在表8中给出了样本轨迹外不同策略的结果。相关性-0.4-0.6平均方差7.84187 e+14 6.44759e+1 4σ√2.65632e+11 2.61286e+11表7：使用算法2，针对8个套期保值日期的特定市场深度，获得的不同相关性的方差。相关性-0.4-0.6数值7.84736e+14 6.45161e+1 4最优分析7.97782e+14 6.9845e+14经典对冲8.57933e+14 8.17449e+14表8：在使用算法1的不同策略的8个对冲日期的特定市场深度观察到的样本外方差。表9给出了用算法1获得的优化部分不同相关关系的结果。

同样，这两种算法得到的结果非常接近。相关性-0.4-0.6平均方差7.84423 e+14 6.45014e+1 4σ√2.45677e+11 2.63838e+11表9：使用算法1获得的8个套期保值日期的特定市场深度的不同相关性方差。所得结果清楚地表明，裁剪分析的连续最优套期保值策略可能远远不是最优的，尤其是对于高相关性。结果如图1所示，其中不同的策略绘制在相同的轨迹上，以便-0.4. 数值优化器能够预测到期时的仓位仍应保持开放，且仓位保持时间比最优分析策略确定的仓位更长。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90日期在第1002000300040005000600080009000天功率MWDelta切线。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90日期10020003000400060007000兆瓦功率分析优化。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90日期100150020002500300003500400045005000MW功率数字。图1：有限市场深度的对冲模拟（MW），有8个对冲日期，两种算法的相关性为-0.4.5数值收敛在本节中，我们研究了网格数和优化中的轨迹数对结果的影响。为此，我们采用有限的市场深度测试案例，其中hedgingdate的数量等于8。如引理4.1所示，在连续情况下，条件方差在未来值中是二次的，与开放位置无关，而最优控制仅与开放位置相关。作为参考，我们采用12×12网格和一百万个优化目标，每个算法平均运行100次。

通过构造，局部回归算法试图给出一个分区，使属于一个单元的轨迹数保持不变。根据经验，在更改网格使用数d时，每个网格上的网格数大致保持不变（此处等于7000）。首先，我们将网格数取为n×n，这显然不是最优的：F和d方向上的网格数应不同，并取决于波动性和均值回复系数。在表10中，我们给出了使用算法1和2获得的不同网格数的100次运行的平均值。我们还绘制了计算的标准偏差^σ除以√作为错误的指示器。对于这两种算法，由于网格数量较少而产生的偏差都很小。当然，使用少量网格会导致获得的结果差异较大。网格数1×1 2×2 4×4 6×6平均算法。1 7.894e+14 7.865e+1 4 7.876e+14 7.877e+14^σ√阿尔戈。11.525e+12 6.812e+1 1 3.602e+11 2.436e+11平均算法。2 7.869e+14 7.847e+1 4 7.861e+14 7.862e+14^σ√阿尔戈。21.524e+12 6.791e+1 1 3.577e+11 2.445e+11网格数8×8 10×10 12×12平均算法。1 7.876e+14 7.875e+14 7.875e+14^σ√阿尔戈。11.888e+11 1.21038e+1 1 1.227e+11平均算法。2 7.860e+14 7.860e+14 7.860e+14^σ√阿尔戈。21.906e+11 1.221e+11 1.242e+11表10：两种算法的收敛性研究，网格数保持每个网格上相同的轨迹数（大约7000条）。在表11中，我们选择保留一个8×8网格，并增加每个网格的轨迹数。轨迹数50000 100000 200000 440000 100 000平均算法。1 7.8399e+14 7.8643e+1 4 7.8700e+14 7.8759e+14 7.87729e+14^σ√阿尔戈。14.624e+11 3.121e+11 2.621e+11 1.888e+11 1.23053e+11平均算法。2 7.7126e+14 7.8007e+1 4 7.8378e+14 7.86048e+1 4 7.87 052e+14^σ√算法。

24.686e+11 3.141e+11 2.664e+11 1.906e+11 1.23911e+11表11：使用8×8网格，对增加粒子数的两种算法进行收敛性研究。事实上，这两种算法对于每个网格的大量粒子都给出了类似的结果。但是，对于每个网格的粒子数较低的情况，算法1的偏差低于算法2。最后我们要检查控制是否计算良好。在一般情况下，最优控制是三维的，但在连续情况下，引理4.1的公式给出了最优控制的一维表示。用算法2计算最优控制，并在局部函数基础上进行投影。然后，我们可以重建由该算法计算出的最优位置，并将解与引理4.1中的公式进行比较。图2显示，数值最优控制是一种有效的方法，即使8个套期保值日获得的方差非常接近连续的方差，最优控制仍然远离连续的方差。