IR和FX违约跳跃对Quanto CDS价格的影响

（39）函数wj（x）可以通过Shepard方法Shepard（1968）从紧支持的生成函数Дj（x）wj（x）=Дj（x）PPi=1Дi（x），j=1，Px个∈ Ohm. （40）生成函数Дj（x）必须满足一些平滑度要求。例如，对于本文考虑的问题，它们应至少为C(Ohm). 为了继续，我们选择了五阶Wendland函数，Wendland（1995）Д（r）=（5r+1）（1），作为Дj（x）的合适候选人- r） +，r∈ R、 （41）带支架Д（R）∈ B（0，1），其中B（0，1）是以原点为中心的单位四维球。为了将生成函数映射到面片Ohmj以中心cj和半径ρj为单位，移动并缩放为Дj（x）=Дj||x个- cj | |ρj, x个∈ Ohm. （42）进一步，我们将局部RBF近似与单位权重的划分相结合，得到一个组合RBF-PUM解▄u（x）为▄u（x）=PXj=1wj（x）▄uj（x）。（43）给定形式的RBF-PUM近似允许保持与全局方法相似的精度，同时显著降低计算效率（参见Shcherbakov-andLarsson（2016）、Ahlkrona和Shcherbakov（2017））。此外，von Sydow et al.（2015）表明，RBF-PUM是解决高维问题的最有效的数值方法，也是依赖于节点离散化的确定性方法。6、数值实验在本节中，我们进行数值实验，以确定量化调整后的CDS面值价差及其对市场条件的敏感性。平价息差按式（36）计算，而债券价格则按式（22）计算，通过使用1296个补丁的径向基函数单位分割法近似式（18）和式（20）中的偏微分方程。我们选择高斯函数在28561个节点上构造有限的RBF基。

As[r，^r，z]∈ [0, ∞) 和y∈ (-∞, ∞), 我们在距离评估点很远的地方截断定义的每个半无限域或无限域，因此这种截断带来的误差相对较小。特别地，我们使用rmin=^rmin=zmin=0，ymin=-6，rmax=^rmin=zmin=4，ymax=-因此，我们将等式（21）中定义的边界条件移动到该截断域的边界。注意，在我们的数值方法（见第5节）中，我们将等式（21）替换为定价PDEsEq。（18） ，式（20），然后导出相应的简化形式离散（边界）算子。由于将边界条件明确纳入定价方案，后者可以统一实施，无需额外检查边界条件是否满足。为了及时推进，我们使用二阶后向微分公式（BDF-2），Endre和David（2003）。为了计算公式（35）中的应计金额Laas，我们使用间隔两周的时间离散。该方法在Matlab2017A中实现，并在MacBook Pro上进行了实验，该MacBook Pro具有16 GB RAM的核心i7处理器。为了研究数量效应及其对CDS合同价格的影响，我们考虑了两个类似的CDS合同。第一种是在国外经济中进行交易的，例如在意大利，但根据国内风险中性Q指标进行定价，因此以本国货币（美元）计价。为了确定本合同的价格，我们采用了前面章节中描述的方法。第二张CDS是在国内经济中交易的同一份合同，也是以本国货币计价的。因此，其价格可以通过解决与第一张CDS相同的问题来获得，但不考虑外国利率和外汇利率的方程式。

因此，使用了包括指数z和^rvanish以及无跳跃框架在内的所有相关关系。然而，终止条件与第4节中的相同，因为它们已经用本国货币表示。下面，我们将第一份合约作为s，第二份合约作为sd表示CDS价差。因此，量子效应的影响可以确定为这两个价差之间的差异s=s- sd，（44），以下引用为“基准”价差。表2给出了数值实验中使用的一组默认参数值。还假设在这个默认集合中，所有相关性都为零。如果没有另外说明，我们使用这些值并假设外汇和外国利率没有跳跃。在这些假设下，参考5YCDS par价差值sd为sd=365个基点。我们的经验表明，这种方法工作得更好，并提供了更稳定的RBF近似。或者，如果设置z=1，^r=r，γz=^a=σ^r=γ^r=0，以及ρ·，z=ρ·，^r=ρz，^r=0，则可以使用整个四维框架，其中h·i∈ [r，z，y]。利率sr a bσr^r^a^bσr0.02 0.08 0.1 0.01 0.03 0.08 0.1 0.08风险和外汇利率、期限和回收率yy aybyσyzσzT r-4.089 0.0001-210 0.4 1.15 0.1 5 0.45表2：实验中使用的默认参数值集。图3显示了利率（左面板）和汇率（右面板）跳跃对基差的影响。在没有跳跃（γ^r=0或γz=0）的情况下，国内和国外利差的基础约为3个基点。这接近正常情况，即不发生货币和利率贬值。事实上，直到最近，量子效应才被考虑在内。

例如，汤森路透（2011）报道，2006年，以美元和欧元支付的希腊CDS交易差额为1个基点。0 1 2 3 4-5051015-0.8-0.6-0.4-0.2 0-300-250-200-150-100-500图3：默认振幅跳变对5Y CDS par价差的影响。图3左面板中显示的结果表明，对于γ^r，^r跳跃的影响迅速增加∈ [0，2]，然后在某种程度上饱和。我们通过投资者对利率是增加300%还是400%的不同程度来解释这种饱和，因为利率水平并不直接影响保护金额，而是影响外国经济中的投资环境。相比之下，外汇汇率对保护有直接影响（右图），因为外币贬值会减少兑换成美元时支付的金额。通过已知的风险率近似值，通过扩散和债券回收率λ≈s1级- R、 利用Brigo et al.（2015）的结果，我们确定≈ （1+γz）sd。也就是说，外币CDS利差与系数为（1+γz）的参考美元利差大致成比例。因此，在外币贬值的情况下，以外币支付的息票应更低。可以观察到，我们的模型提供的结果完全符合这种直觉。我们强调，由于Brigo et al.（2015）对外汇利率违约跳跃的影响进行了彻底的调查，因此本文主要侧重于考察外国利率违约跳跃的影响。然而，也调查和报告了其他模型参数的影响。-0.2-0.15-0.1-0.05000.511.52-80-60-40-20020γ^rγzs（bps）图4：基差作为外汇和利率跳跃幅度的函数。在图中。

4介绍了外汇和外国IR跳跃对基差价值的联合影响。可以看出，^Rt中的默认跳跃，与同时发生，如果危险率λ为常数，则这是正确的。然而，Brigo等人（2015）只考虑了恒定的国外和国内利率，而在本文中，即使在无跳跃的框架下，它们也是随机的。与^rtt不跳跃的类似情况相比，Zt中的默认跳跃会降低基差幅度。这一下降略微取决于γzand的水平，我们的一组参数约为10 bps。为了更好地说明这一点，图5表示图4中表面的一些切片。可以看出，γz越小，γr的影响越大，但在γr处达到某种饱和≈ 四点零一二三四-4.-2024681012γ^rs（bps）γz=0γz=- 0.25γz=- 0.5图5：跳跃幅度γ^对跳跃幅度γz的各种值的影响。注意，这些线从同一点开始移动。在接下来的一系列实验中，我们将研究随机因素之间的相关性对量子调整CDS值的影响。图6所示的结果表明，只有危险率λt（或Yt）与经历跳跃违约的随机因素^Rt，Zt之间的相关性才相关。风险和外汇利率之间的相关性ρyz的影响范围为45个基点，而风险利率和外国利率之间的相关性ρy^rb的影响不超过3个基点-1-0.5 0 0.5 1-30-20-1001020-1-0.5 0.5 1-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1-0.5 0 0.5 1-3.495-3.49-3.485-3.48-3.475图6：相关性对5Y CDS par价差的影响。默认情况下不假定有跳跃。无花果

7显示了外国利率与其他三个随机因素之间的相关性水平如何影响γ^ratγz=0的各种值下的基差。根据前面提到的内容，结果表明，除了与危险率ρyz、ρy^r.0 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-5051015的相关性外，相关性仅对基本扩散值产生轻微影响。图7：相关性对各种γ^大鼠γz=0的基础扩散的影响。图8显示了国外CDS对随机因素波动的敏感性。我们注意到，风险率波动率σi的影响最大，在无跳跃设置下，CDS报价可以在17个基点的范围内变化。外汇汇率波动率σzi的影响稍弱，而利率波动率σr，σ^的影响几乎可以忽略不计。0 0.2 0.4 0.6 0.8-15-10-5050 0.1 0.2 0.3 0.4-16-14-12-10-8-6-4-20 0.05 0.1 0.15 0.2-3.6-3.55-3.5-3.45-3.4图8：波动性对5年期CDS par价差的影响。默认情况下不假定有跳跃。为了分析Rt跳跃情况下两种最具影响力的波动性的影响，我们测试了波动性水平如何影响国外CDS par价差与跳跃幅度的关系。这些结果如图9、10所示。增加σyin组合并使^R增加100%会导致基差从负变为正，而增长的绝对值s约为15个基点。

然而，σz的影响正好相反。σzgive的较大值上升为负基差，虽然可以通过外国利率违约跳跃的幅度γ^Rt.0 1 2 3 4-15-10-5050 1 2 3 4-505101 2 3 4051015200 1 2 3 4-5051015图9：风险率波动σ对基差的影响，作为γ^ratγz=0的函数。注意，在右下面板中，线从同一点开始移动。0 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-15-10-5050 1 2 3 4-5051015图10：σzon作为γ^ratγz=0的函数对基差的影响。注意，在右下面板中，线从同一点开始移动。因此，我们观察到，外汇汇率违约率的跳跃是解释以美元计价的Quanto CDS报价与外币之间已知差异的最大部分的最显著因素。然而，外国利率的潜在跃升可能是基差价值约20个基点的原因。然而，重要的是要注意，这两次跳跃具有相反的影响：外汇汇率的跳跃会降低外国CDS的价值，而IR的跳跃会增加外国CDS的价值。结论本文介绍了一种新的模型，可以用来定价Quanto CD。该模型具有四个随机因素，即风险率、外汇汇率、国内利率和国外利率，还考虑了外汇和国外利率违约时的跳跃。风险债券价格和CDS价格的相应偏微分方程系统与Bielecki et al.（2005）中的方法类似。为了求解这些方程，我们发展了一种基于单位分割法的局部径向基函数方法。

该方法的优点是，在四维情况下，它保持了较高的精度，同时使用的资源比相应的单位差法或蒙特卡罗方法少。RBF方法可能会成为并行化的主题，从而提高计算效率。本文中给出的数值实验结果定性地解释了国内外经济中CDS利差标记值的差异，并相应地以国内（美元）和国外（欧元、卢布、雷亚尔等）货币计价。数量效应（不同经济体交易的相同CDS合约价格之间的差异，但以相同货币表示）在很大程度上可以用外币贬值来解释。如果换算成美元，这将产生更低的保护支出。这些结果与Brigo等人（2015）的结果相似。然而，我们强调，在Brigo et al.（2015）中，只考虑了恒定的国外和国内利率，而在本文中，即使在无跳跃的框架下，它们也是随机的。与Brigo et al.（2015）相比，在本文中，我们还分析了外国利率违约跳跃的影响，这可能与外汇利率违约同时发生。我们发现，这种跳跃是这一过程的重要组成部分，能够解释基差值的20个基点。然而，值得注意的是，外汇汇率和IR的跳跃产生了相反的影响。

换言之，外币贬值将降低外国CDS的价值，而外国利率的提高将增加外国CDS的价值。该模型的其他重要参数是危险率和包含跳跃的子因子之间的相关性，即ρyz和ρy^r，以及危险过程的波动率σ和偏移率σz。因此，必须对其进行适当校准。改变其他相关性对基差值的影响很小。在某些情况下，较大的波动率值可能会高达基差值的15个基点。我们还必须提到，定价问题是通过落后的偏微分方程形成的。因此，CDS价差的计算需要在低于合同到期日的时间网格上独立求解每个离散时间点的PDE。如果我们对相应的密度函数使用正向偏微分方程，而不是反向偏微分方程，这将得到显著改善。我们将这一改进留待其他地方实施。感谢Peter Carr和Damiano Brigo的宝贵意见和讨论。维克多·希尔巴科夫感谢H F Sederholms Stidestiftelse、Rektors resebidragfran Wallenbergstiftelsen和Anna Maria Lundins Stideefond的支持。Victor Shcherbakov还感谢纽约大学Tandon School的金融和风险工程系，他在那里作为访问学者撰写了这篇论文。我们对任何剩余错误承担全部责任。参考Sahlkrona，J.和Shcherbakov，V.（2017）。非牛顿自由表面冰流的无网格方法：应用于Haut Glacier d\'Arolla。J、 计算机。物理。，330:633–649.Augustin，P.、Chernov，M.和Song，D.（2017年）。主权信用风险和汇率：从CDS到quanto利差的证据。

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