IR和FX违约跳跃对Quanto CDS价格的影响

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英文标题：
《Influence of jump-at-default in IR and FX on Quanto CDS prices》
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作者：
A. Itkin, V. Shcherbakov, A. Veygman
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We propose a new model for pricing Quanto CDS and risky bonds. The model operates with four stochastic factors, namely: hazard rate, foreign exchange rate, domestic interest rate, and foreign interest rate, and also allows for jumps-at-default in the FX and foreign interest rates. Corresponding systems of PDEs are derived similar to how this is done in Bielecki at al., 2005. A localized version of the RBF partition of unity method is used to solve these 4D PDEs. The results of our numerical experiments presented in the paper qualitatively explain the discrepancies observed in the marked values of CDS spreads traded in domestic and foreign economies.
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中文摘要：
我们提出了一种新的定量CDS和风险债券定价模型。该模型具有四个随机因素，即：风险率、外汇汇率、国内利率和国外利率，还考虑了外汇和国外利率违约时的跳跃。相应的偏微分方程系统的推导方法与Bielecki等人2005年的推导方法类似。使用一种局部版本的RBF单位划分方法来求解这些4D偏微分方程。本文给出的数值实验结果定性地解释了国内外CDS利差显著值的差异。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Influence_of_jump-at-default_in_IR_and_FX_on_Quanto_CDS_prices.pdf (1.73 MB)

2022-6-1 17:38:13 上传

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关键词：Quanto quant CDS Ant Quantitative

对Quanto CDS价格的IR和FX违约跳跃的影响a。Itkina，V.Shcherbakovb，A.VeygmancaTandon工程学院，纽约大学，12 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，美国科学计算部信息技术部，美国纽约州纽约州斯维登赫斯巴斯乌普萨拉市751 05号信箱337。我们提出了一种新的定量信用违约掉期和风险债券定价模型。该模型具有四个随机因素，即：风险率、外汇汇率、国内利率和国外利率，还考虑了外汇和国外利率违约时的跳跃。与Bielecki et al.（2005）中的方法类似，推导出了相应的偏微分方程系统。使用一种局部版本的RBF单位划分方法来求解这些4D偏微分方程。本文给出的数值实验结果定性地解释了在国内外经济体交易的CDS利差标记值中观察到的差异。关键词：Quanto信用违约掉期、简化模型、违约跳跃、随机利率、径向基函数法。果冻：C51、C63、G12、G131。简介Quanto CDS是一种信用违约掉期（CDS），其特点是掉期溢价和/或违约情况下的现金流以与参考资产不同的货币进行。一个典型的例子是，CDS被称为美元指定债券，其掉期溢价以欧元支付。如果发生违约，支付金额等于以欧元支付的美元债券的回收率。换句话说，这张CDS是以美元债券形式发行的，而其溢价是以欧元支付的。

这些合约广泛用于对冲以外币（投资者本币除外）计价的债券或银行贷款的持有量。正如汉普登·特纳（Hampden Turner）和戈维斯（Goves）（2010年）所述，该产品使投资者能够通过价差、汇率和外汇波动率的函数来观察联合价差和外汇走势。电子邮件地址：aitkin@nyu.edu（A.Itkin），维克托。shcherbakov@it.uu.se（V.Shcherbakov），veygmana@gmail.com（A.Veygman）2017年11月21日提交给Elsevier的预印本图1：一些以美元（Markit）交易的欧洲5年期主权CDS的历史时间序列。鉴于外汇走势与信贷利差之间的相关性增加，对该产品的兴趣最近有所增加，尽管与复苏掉期一样，它仍然是一个相当利基的市场。Quanto CDS是指标准CDS与不同货币CDS之间的价差，可用于不同的到期日。例如，人们可以观察到，欧洲主权债券的CDS通常以美元交易。这是因为，如果发生违约，以欧元计价的信贷保护将显著下降，反映出相应经济体的违约。因此，Quanto CDS的期限结构告诉我们，金融市场如何看待不同时期的外国违约和相关货币贬值的可能性，参见Augustinet al.（2017）中的讨论和其中的参考文献。图1显示了2006年至2015年期间一些以美元交易的欧洲5年期主权CDS的历史时间序列。可以看出，这些利差在2011年左右达到最大值，然后以2-5倍的幅度下降到目前的水平。

然而，由于已记录到高水平的价差，在本文后面选择数值实验的测试参数时，我们将查看2011年前后价差上升时期对应的案例。就Quanto CDS价差的价值而言，文献中有各种数据。例如，在Augustin等人（2017）中，六个欧元区国家（德国、比利时、法国、爱尔兰、意大利、葡萄牙）的利差期限结构（定义为美元和欧元计价的CDS利差之间的差异）以及3、5、7、10和15年期（相对于1年期的Quanto利差）。这种差异在未来15年内可能达到30个基点（法国、爱尔兰）。Simon（2015）介绍了2004年至2013年期间德国、意大利和法国的5年期Quanto CDS利差，例如，2012年意大利可能达到500个基点。Brigo et al.（2015）的结果表明，国内外CDS报价的基础非常重要。例如，对于意大利，2012年5月第一周欧元债务危机期间，440个基点的美元CDS价差报价可以转化为350个基点的欧元报价。最近，从2013年6月起，欧元报价和美元报价之间的基差在40个基点左右。Quanto效应在模特方面引起了很多关注。该问题的各个方面都在调查中，包括主权信贷与货币风险之间的关系、主权CDS的定价、危机蔓延对信贷风险的影响，见Augustin等人（2017）的调查和其中的参考文献。但在本文中，我们将特别关注定量股票的定价，或者更严格地说，确定和测试一个适当的框架，从数学金融的角度对这些影响提供合理的解释。

我们的方法与Brigo et al.（2015）中的方法相似，在该方法中，Quanto CDS的模型是基于信贷风险的简化模型构建的。在此设置下，违约时间被建模为一个Cox过程，具有明确的违约强度/风险率和指数跳跃违约的影响动力学，类似于Ehlers和Sch¨onbucher（2006）的方法；El Mohammadi（2009年）。但更重要的是，Brigo et al.（2015）在外汇动态中引入了明显的违约跳跃。然后，他们表明，这提供了一种更有效的方法来建模信贷/外汇依赖性，因为模拟的结果能够解释欧元债务危机期间观察到的基差。相比之下，仅考虑违约强度驱动布朗运动与外汇汇率之间的瞬时相关性并不足以做到这一点。然而，Brigo等人（2015年）只考虑了确定的国内外利率（IR）。尽管重要的是要通过放松这一假设并让利率随机来扩展这种方法。更重要的是，不仅要考虑到外汇汇率违约率的飙升，还要考虑到违约国家的利率同时违约率的飙升。可在卡托和马诺（2015）等地找到该主题的相关数据。这项调查表明，过去违约的利率溢价被低估了。这在一定程度上是由于信贷历史指标较窄，更重要的是，之前研究的数据覆盖范围较窄。一旦对这些问题进行了纠正，就会出现相当大且持续的违约溢价，并且随着违约持续时间的延长而上升。这意味着，朗格拉国家一旦恢复从私人资本市场借款，将支付更高的溢价，从而保持违约状态。Katselas（2010）给出了另一个例子。

他提供了澳大利亚储备银行2000年1月4日至2009年12月31日期间隔夜银行间现金利率的曲线图。该利率是适用于澳大利亚借贷的无风险短期利率的近似值，该图表明，不仅短期利率存在跳跃，而且纯跳跃过程可以作为短期利率的合适模型。这一观察结果促使Borovkov等人（2003）考虑使用有标记的泊松点过程将短期利率建模为纯跳跃过程。因此，在本文中，我们通过引入随机利率来扩展Brigo et al.（2015）的框架，并考虑外汇和外国（违约）利率违约时的跳跃。我们的目标是比较这两种跳跃对Quanto CDS价差的贡献。由于这个问题有四个随机驱动因素，加上时间，我们证明了相应的CDS价格解一个四维偏微分方程。众所周知，这种维数使得有限差分方法已经大大摆脱了维数诅咒，而使用蒙特卡罗方法的计算成本太高。因此，我们在这里使用了另一种方法，即径向基函数（RBF）方法，它已经证明了在解决各种中间（10>d>3）维度问题时的效率，包括数学金融中的问题，参见Hon和Mao（1999）；Fasshauer等人（2004年）；Petterssonet等人（2008），由于其高阶收敛性。后者允许仅使用几个离散化节点获得高分辨率模式。特别是，本文使用了theRBF方法的本地化版本。它基于单位分割法（或RBF-PUM）。

单元划分最初由Babuˇska和Melenk（1997）为有限元方法引入，后来由几位作者Safdari Vaighani et al.（2015）为RBF方法进行了调整；Shcherbakov andLarsson（2016）。这种方法可以显著减少系数矩阵中保留的非零元素的数量，从而降低求解系统所需的计算强度。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了我们的模型，并推导了该模型下风险债券价格的主要偏微分方程（PDE）。在第2.2节中，我们通过将违约跳跃添加到外汇和外国（违约）利率的动态中来扩展该框架。同样，主要的偏微分方程是针对风险债券推导的（详细推导见附录）。该价格与Quanto CDS价格之间的联系在第4节中确定。第5节详细介绍了RBF-PUM方法。在第6节中，我们给出了使用该模型进行实验的数值结果，并讨论了观察到的影响。最后，第7节对本文进行了总结。2、模型我们从给出一些有用的定义开始描述我们的模型，这些定义在本文的其余部分都被大量使用。通过本国货币或流动货币，我们表示所有合同货币中流动性最强的货币。接下来是美元（USD）。我们表示为合同货币或外币的其他合同货币。在本文中，它可以是美元和欧元。保费和保护期付款以这种货币结算。由于在本文中，我们重点讨论信用违约掉期（CDS）合同的定价，因此假设其市场报价可以用本币和外币进行。让我们将这些价格分别表示为CDS和CDS。

如果是这样，如果市场提供两种货币的汇率ZT，则以外币表示的每个价格CDSF都可以转换为相应的本币价格。换句话说，外币CDS合约的理论价格为ZtCDSd。然而，众所周知，市场表现出一种蔓延的CDSF-ZTCDSD可能达到数百个基点，Brigo等人（2015年）。因此，两种货币的CDS合约的市场报价以及相应的汇率可以让我们捕捉到这些价差。我们继续我们的描述，考虑一个框架，在这个框架中，除了默认过程本身之外，所有潜在的随机过程在默认情况下都不会经历跳跃。因此，这与Brigo et al.（2015）中提出的类似，只是我们模型中的利率是短期利率。然后，在第2.2.2.1节的其他过程中，这将被概括为默认跳跃。我们选择了与国内（流动）货币市场相对应的风险中性概率测度Q。此外，通过Et[·]，我们表示以时间t收到的信息为条件的期望，即[·| Ft]。考虑两个货币市场：BTA与本币（USD）相关，^BTA与外币（EUR）相关，其中t≥ 0是日历时间。我们假设两个货币市场账户的动态由DBT=RtBtdt，B=1，（1）d^Bt=Rt^Btdt，B=1给出，其中随机利率Rt，R遵循Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程，Cox et al.（1985）dRt=a（B- Rt）dt+σrpRtdW（1）t，R=R，（2）d^Rt=^a（^b-^Rt）dt+σ^rq^RtdW（2）t，^R=^R。这里a，^a是平均回复率，b，^b是平均回复水平，σR，σ稀有波动性，W（1）t，W（2）皮重布朗运动。

在不丧失一般性的情况下，我们进一步假设a、^a、b、^b、σr、σrto为常数。这一假设很容易放松。我们假设这两种货币的汇率Zt也是随机的，其动态性由以下随机微分方程（SDE）dZt=uzZtdt+σZZZTDW（3）t，Z=Z，（3）其中uZ，σzare是相应的漂移和波动，W（3）是另一个布朗运动。从财务角度来看，ZT表示购买一单位外币所需支付的本国货币金额。粗略地说，这意味着1欧元可以兑换兹特美元。由于CDS合约的基础证券是一种风险债券，我们需要一个债券隐含的信用风险模型。对于信用风险建模，我们使用简化模型方法，参见Jarrow和Turnbull（1995）；杜菲和辛格尔顿（1999）；Bielecki和Rutkowski（2004）；Jarroweet al.（2003）及其参考文献。我们将危险率λt定义为一个随机过程，给定λt=eYt，t≥ 0，（4）式中，Yt遵循SDEdYt=κ（θ）定义的Ornstein-Uhlenbeck过程- Yt）dt+σydW（4）t，Y=Y，（5）用κ、θ、σY表示相应的平均回复率、平均回复水平和波动率，w（4）表示另一个布朗运动。ZT和λ皮重均在国内测量中定义和校准。我们假设所有布朗运动W（i）t，i∈ [1，4]是相依的，这种相依性可以通过每对布朗运动之间的瞬时相关性ρ来确定，即：<dW（i）t，dW（j）t>=ρijdt。因此，我们模型中的整个相关矩阵=1ρr^rρrzρryρrr1ρrzρryρzrρz^r1ρzyρyrρy^rρyz, （6） 式中，所有相关性|ρij |≤ 1，i，j∈ 假设[r，^r，z，y]为常数。最后，我们定义了默认流程（Dt，t≥ 0）asDt=1τ≤t、 （7）式中，τ是参考实体的默认时间。

为了排除一般情况，我们假设Q（τ>0）=1，并且Q（τ≤ T）>0.2.2。外汇和外汇IRIn违约时的跳跃在本节中，我们通过假设外汇价值和外汇利率在违约时经历跳跃来扩展上述框架。如Brigo et al.（2015）所示，并在导言中提到，与违约强度和外汇利率驱动布朗运动之间的内在关联相比，将违约跳跃纳入外汇利率提供了一种更有效的建模信贷/外汇依赖性的方法。此外，作者声称，仅使用后一种机制无法解释欧元债务危机期间观察到的基差分布。然而，从历史时间序列来看，外国利率违约跳跃的存在也是合理的，尤其是在主权债务受到质疑的情况下。例如，1998年俄罗斯违约后，俄罗斯卢布在1.5个月内损失了约75%的价值，这反过来又导致相应的外汇汇率大幅上升。另一方面，由于违约还降低了信用度，大幅增加了借贷成本，因此利率的飙升可能更加明显。对于上述1998年俄罗斯国债的例子，短期利率从1998年4月的20%增长到1998年8月的120%。因此，很有意思的是，每次跳转都会对Quanto CDS价差的价值做出相对贡献。为了增加等式（3）中外汇汇率动态的跳跃，我们遵循Brigo et al.（2015）；Bieleckiet等人。