IR和FX违约跳跃对Quanto CDS价格的影响

（2005）who假设，在违约时，外汇汇率会经历一次与当前利率水平成比例的跳跃，即dZt=γzZt-dMt，（8），其中γz∈ [-1.∞)是贬值/重估参数。关于参考过滤的随机时间τ的危险过程通过等式e定义-Γt=1-Q{τ≤ t | Ft}。众所周知，如果危险过程Γtofτ是绝对连续的，那么Γt=Zt（1- Ds）λsds，（9）并增加，然后过程Mt=Dt-Γ是完全过滤Ft下的鞅（称为默认过程Dt的补偿鞅）∨ Ht，Ht是默认流程生成的过滤。因此，Mtis是Q下的鞅，Bielecki et al.（2005）。可以看出，在与本国货币相关的风险中性措施下，DRIFTuzis（Brigo et al.（2015））uz=Rt-^Rt.（10）因此，考虑到等式（3），等式（8），我们得到dzt=（Rt-^Rt）Ztdt+σzZtdW（3）t+γzZtdMt。（11） 因此，zt是Q-测度下关于Ft的鞅∨Htas应该是，因为它是一种可转换的资产。当然，我们对γz的负值更感兴趣，因为引用实体的违约会对其本国货币的价值产生负面影响。例如，我们预计，如果一些欧洲国家违约，以美元表示的欧元价值将下降。同样，我们将违约跳跃添加到外国利率^Rtasd^Rt=γ^r^Rt的随机过程中-滴滴涕，这是为了防止ZTO呈阴性，Bielecki等人（2005年）。因此，等式（2）转换tod^Rt=^a（^b-^Rt）dt+σ^rq^RtdW（2）t+γ^rRtdDt。（12） 这里是γ^r∈ [-1.∞) 是确定借款违约后成本的参数。我们对γ^ras的正值感兴趣，在违约发生后，利率很可能会上升。注意，^Rtis不可交易，因此在Q-测度下不是鞅。3.

定价零息票债券为了对或有权益进行定价，如果合同货币与定价货币不同，例如Quanto CDS，我们首先需要确定以外币结算的潜在可违约零息票债券的价格。外国货币市场鞅测度^Qreads^Ut（T）=^Et“^Bt^Bt^Φ（T）#，（13）其中^Bt/^Bt=^B（T，T）是外国经济中从时间T到时间T的随机贴现因子，Φ（T）是Payoff函数。然而，我们将根据国内货币市场措施Q确定该价格。因此，将支付转换为本国货币，并通过国内货币市场账户yieldsUt（T）=EthB（T，T）Zt^Φ（T）i（14）进行贴现，在不失一般性的情况下，假设合同的名义金额等于一单位外币。这意味着Payoff函数为^Φ（T）=τ>T.（15）。此外，我们假设如果该债券违约，则在违约时支付回收率R。因此，在国内经济中支付一单位外币的可违约零息票债券的价格readsUt（T）=Et[B（T，T）ZTτ>T+RB（T，τ）Zτ≤T] （16）=Et[B（T，T）ZTτ>T]+RZTtEtB（t，ν）Zντ∈(ν-dν，nu]= wt（T）+RZTtgt（ν）dν，wt（T）：=Et[ZTB（T，T）τ>T]，gt（ν）：=EtB（t，ν）Zντ∈(ν-dν，nu]dν.由于我们的基本过程的整体动态是马尔可夫的，Bielecki et al.（2005），为了确定此类工具的价格，我们使用偏微分方程方法，因此可违约债券价格正好解决了这一问题。与蒙特卡罗方法相比，从计算角度来看，这更有效，尽管最终的PDE变为四维。我们将在第5节讨论其数值解的各种方法。此外，调节Rt=r、^Rt=^r、Zt=z、Yt=y、Dt=d，并使用Bielecki等人的方法。

（2005）（见附录A），我们得出，在风险中性度量Q下，价格（T）为ut（T，r，^r，y，z）=τ>tf（T，T，r，^r，y，z，0）+τ≤tf（t，t，r，^r，y，z，1）。（17） 这里是函数f（t，t，r，^r，y，z，1）≡ u（t，t，X），X={r，^r，y，z}解偏微分方程u（t，t，X）t+Lu（t，t，X）- ru（t，t，X）=0，（18），其中扩散算子L readsL=σrrr+σ^r^ru^r+σzzz+σyy+ρr^rσrσr√r^rr^r（19）+ρrzσrσzz√rrz+ρ^rzσ^rσzz√^rz^r+ρryσrσy√rry+ρ^ryσ^rσy√^ry^r+ρyzσyσzzyz+a（b- r）r+^a（^b- ^r）^r+（r- ^r）zz+κ（θ- y）y、 第二个函数f（t，t，r，^r，y，z，0）≡ v（t，t，X）求解PDEv（t，t，X）t+Lv（t，t，X）- rv（t、t、X）- λγzzv（t，t，X）z（20）+λu（t，t，X+）- v（t，t，X）= 0，X+={r，^r（1+γ^r），y，z（1+γz）}。式中，根据式（4），λ=ey。该问题的边界条件应设置在无界域（r，^r，y，z）的边界处∈ [0, ∞] ×[0, ∞] ×[-∞, 0] ×[0, ∞]. 然而，这可以通过许多不同的方式实现。由于债券价格的价值通常在边界处未知，类似于Brigo et al.（2015），我们假设二阶导数在边界处消失uνν↑0=uνν↑∞= 0, ν ∈ 【r，^r】，（21）uyy↑0=uyy↑-∞= 0,uzz↑0=uzy↑∞= 0。我们假设在验证时间t尚未出现默认值，因此，等式（17）减少了toUt（t，r，^r，y，z）=v（t，t，X）。（22）因此，可通过如下解式（18）、式（20）得出。由于公式（16）中的payoff是两项的asum，并且我们的PDE是线性的，因此可以对每个项单独求解。那么这个解就是两个的和。3.1. 求解wt（T）的偏微分方程，函数wt（T）求解的偏微分方程组与等式（18）和等式（20）中的偏微分方程组完全相同。因此，可以通过两个步骤找到。第1步。我们首先求解方程（18）中函数u的PDE。

由于该函数对应于d=1，因此它描述了违约时或违约后债券价格的演变。因此，u的终端条件变为u（T，T，X）=0。事实上，这种支付不会假设违约后有任何恢复，因此，债券到期时一文不值。然后，简单分析表明，函数u（t，t，X）≡ 0是d=1时的解，因为它解方程本身，并遵守终端和边界条件。因此，在此步骤中，可以解析地找到解决方案。第2步。当第一步的解消失时，意味着u（t，t，X+）≡ 公式（20）中的0。根据式（20）之前的定义，函数v对应于无默认状态。因此，根据式（16），Payoff函数（是式（20）在t=t时的终端条件）readsv（t，t，X）=z。（23）边界条件再次设置为式（21）。v（t，t，X）的PDE等式（20）现在采用以下形式v（t，t，X）t+Lv（t，t，X）- （r+λ）v（t，t，X）- λγzzv（t，t，X）z=0，根据终端条件v（T，T，X）=z。然后，显然wt（T）=v（T，T，X）。可以看出，在没有恢复的情况下，可违约债券价格确实取决于外汇利率的上升，但不取决于外国利率的上升。3.2. 求解gt（ν）的偏微分方程就式（16）中的第二部分而言，可以注意到式（16）中的积分是ν中的Riemann–Stieltjes积分。因此，它可以近似为aRiemann–Stieltjes和，其中连续时间间隔[t，t]可以用步长非常小的离散格式网格代替ν=h.SoZTtgt（ν）dν≈ hNXi=1gt（ti），（24），其中ti=t+ih，i∈ [0，N]，N=（T- t） /小时。

因此，可以通过解决等式（18）和等式（20）中的相应定价问题以及到期时间ti来独立计算该总和中的每一项。由于模型相同，PDE保持不变，只有大陆声称G（t，t，r，^r，y，z，d）发生变化，这是相同基础过程的函数。注意，由于式（18）和式（20）中的定价问题是通过反向偏微分方程（PDE）得出的，因此计算每个到期日ti的gt（ti），i∈ [1，m]需要一个独立的问题解决方案。如果我们对相应的密度函数使用正向偏微分方程，而不是反向偏微分方程，则这可以得到显著改善。在这种情况下，所有Ut（ti），i∈ [1，m]可以在一次运行中完成（通过行进法）。然而，我们将这一改进留到其他地方详细讨论。不要混淆m和N，因为m是息票支付的总数，而len是积分式（24）中离散化步骤的数量。同样，可以观察到，函数gt（T）求解的偏微分方程组与inEq完全相同。（18） ，式（20），因此，可以在两个步骤中再次找到。第1步。u的问题应在终端条件gt（T）=z（1+γz）下解决。（25）实际上，通过gt（T）的定义，我们可以设置T=T，条件为Rt=r，^Rt=^r，Zt=z，Yt=y，d=1。ThengT（T）dT=EthB（T，T）ZTτ∈（T-dT，T]t=Ti=zEt[λtdt | t=t]=zeydT，（26）见Schonbucher（2003），第3.2节。然而，Ztin公式（11）的动力学表明，当发生违约时，Zτ的值-与值Zτ=Zτ成比例跳跃-（1+γz）。因此，Werrive在公式（25）中。第2步。

对于作为前一步解获得的函数u（t，t，X）的显式表示，可以找到u（t，t，X+）作为参数γz，γ^的值，并且还给出了λ的值（例如，在步骤1中用于数值求解PDE问题的某个网格处）。然后，可以针对v（t，t，X）求解等式（20）。根据式（20）之前的定义，函数v对应于没有默认值的状态。因此，不支付恢复，并且该步骤的终端条件是v（T，T，X）=0。然而，这并不意味着v=0就能解决问题。这是因为等式（20）包含术语λu（t，t，X+）6=0（因为上一步的终端条件不是零），如果λ6=0，则v 6=0。可以看出，根据这种结构，在非零恢复的情况下，可违约债券价格确实取决于外汇和外国利率的跳跃。4、从债券价格到CDS价格由于本文主要致力于对Quanto CDS合同进行建模，我们使用前面章节中针对风险债券开发的设置，并将其应用于CDS合同。让我们提醒一下，aCDS是一份合同，在该合同中，如果CDS参考名称在合同到期之前违约，保护买方同意向保护卖方支付定期息票，以换取潜在现金流。我们假设CDS合同在时间t结算，并确保在时间t之前对CDS买方提供保护。我们认为CDS优惠券应按照支付时间间隔定期支付t、 在合同有效期内，共有m笔付款，即t=t-t。

按照名义上的说法，这意味着CDS息票段Lc、Lipton和Savescu（2014）的表达如下：；Brigo和Morini（2005）Lc=Et“mXi=1cB（t，ti）tτ>ti#，（27），其中c是CDS息票，ti是第i张息票的支付日期，B（t，ti）=Bt/Btiis是现金折扣系数。然而，如果违约发生在预先确定的息票支付日期之间，则必须有从最近的过去支付日期到违约事件发生时间τ的应计金额。预期贴现应计金额LareadsLa=EthcB（t，τ）（τ- tβ（τ））t<tβ（τ）≤τ<Ti，（28），其中tβ（τ）是违约事件之前的付款日期。换句话说，β（τ）是形式为β（τ）=i的分段常数函数，τ：ti<τ<ti+1。这些现金流由合同买方支付，合同发行人收到。相反的预期保护现金流LpisLp=Et[（1- R） B（t，τ）t<τ≤T] ，（29）如果恢复率R事先未知，并且在违约发生时或违约发生后立即确定，例如在法庭上。在现代数学金融理论中，通常认为回收率是随机的，参见Cohen和Costanzino（2017）以及其中的参考文献。然而，在本文中，我们假设回收率是恒定的，并且事先已知。此外，我们定义了所谓的溢价Lpm=Lc+La和保护Lpr=Lplegs，并且像往常一样，将CDS票面利率差价s定义为息票，使这两个legs相等，并使CDS在t时合约公平。类似于第3节，如果我们根据国内货币市场衡量标准Q对所有工具进行定价，我们需要将支付转换为本国货币，并通过国内货币市场账户进行贴现。

然后s求解方程mxi=1Et[sZTB（t，ti）tτ>ti]+EtsZTB（t，τ）（τ- tβ（τ））t<τ<t（30）=Et[（1- R） ZτB（t，τ）t<τ≤T] 。本着埃勒斯、肖恩·布彻（2006）和布里戈（2011）的精神，我们开发了一个从债券价格中确定面值差价的数值程序。分别考虑等式（30）中的每一项。优惠券。对于息票支付，一个hasLc=Et“mXi=1sZtiB（t，ti）tτ≥ti#=stmXi=1Et[ZtiB（t，ti）τ≥ti]=stmXi=1wt（ti）。（31）式中，tm=T。第3.1节描述了wt（T）的计算。请注意，从上一节的分析中可以看出，wt（T）（和，分别是联合支付）确实取决于外汇利率的跳跃，但不取决于金融上合理的外国利率的跳跃。保护腿。为保护legLp=Et[（1）提供了类似的方法- R） ZτB（t，τ）t<τ≤T] =（1）- R） ZTtEt公司ZνB（t，ν）τ∈(ν-dν，ν]dν（32）=（1- R） ZTtgt（ν）dν，其中第3.2节描述了gt（T）的计算。应计付款。对于应计付款，hasLa=EtsZτB（t，τ）（τ- tβ（τ））t<τ<Tdν= sZTtEt公司ZνB（t，ν）（ν）- tβ（ν））τ∈(ν-dν，ν]dνdν（33）=sm-1Xi=0nZti+1ti（ν-ti）EtZνB（t，ν）τ∈(ν-dν，ν]dνdνo=sm-1Xi=0Zti+1ti（ν-ti）gt（ν）dν，其中t≡ t、 和tm≡ T如第3.2节所述，式（32）和式（33）中的最终积分均为ν中的黎曼-斯蒂尔杰斯积分。因此，每一个都可以用黎曼-斯蒂尔杰斯和来近似，其中连续时间间隔[t，t]可以用一个步长非常小的离散均匀网格来代替ν=h。现在我们有了所有必要的组件来计算CDS价差。引入新符号ai=Zti+1tiwt（ν）dν≈ hNXk=1wt（νk），（34）Bi=Zti+1tigt（ν）dν≈ hNXk=1gt（νk）Ci=Zti+1tiνgt（ν）dν≈ hNXk=1νkgt（νk）νk=ti+kh，k=1，N、 h=（ti+1- ti）/N，我们将公式（31）、公式（32）和公式（33）改写为lp=（1- R） mXi=1Bi，Lc=stmXi=1Ai，La=smXi=1[Ci- tiBi]。

（35）最后，将式（30）和式（35）结合起来，我们得到=（1- R） mXi=1BimXi=1[泰+Ci- tiBi]。(36)5. 径向基函数单位分解法为了数值求解式（18）、式（20），根据相应的终端和边界条件，我们使用径向基函数法。径向基函数方法在计算金融领域的应用越来越流行，例如Hon和Mao（1999）；Fasshauer等人（2004年）；Pettersson et al.（2008），由于其高阶收敛性，仅需使用几个离散化节点即可获得高分辨率方案。在解决各种多维问题时，这是一个至关重要的特性，例如，对多个资产（篮子期权）上的衍生工具进行定价，或对设置使用多个随机因素的模型进行定价。事实上，所有这些模型都极大地避免了维度诅咒，尤其是存储（记忆）的增加成为了主要的限制因素。然而，使用RBF方法可以成功地克服这一问题。例如，在Shcherbakov和Larsson（2016）中，标准有限差分方法要求每个维度的计算节点数大约是RBF方法的三倍，以获得相同的精度，从而显著减少内存消耗。然而，应该强调的是，由于密集和病态的系数矩阵，原始的全局RBF方法计算成本非常高，而且相当不稳定。这是基函数之间全局连接的结果。因此，在这里，我们从全局RBF方法中删除，取而代之的是基于单位划分思想的局部RBF方法。单元划分法最初由Babuˇska和Melenk（1997）针对单元法引入，后来由几位作者Safdari Vaighaniet等人对RBF方法进行了调整。

(2015); Shcherbakov和Larsson（2016）。这种方法（进一步称为RBF PUM）能够显著减少系数矩阵中保留的非零元素数量，从而降低求解系统所需的计算强度。此外，这一概念也得到了支持，比如在Matlab中，通过使用稀疏运算。通常，可以在Fasshauer（2007）中找到更多细节。对于我们的Quanto CD定价问题，只有约1%的剩余元素具有非零值。为了构建RBF-PUM近似值，我们首先定义一个开放覆盖{Ohmj} Pj=计算域的1Ohm 因此Ohm P[j=1Ohmj、 （37）我们选择补丁Ohmj应为球形。在每个面片内，解u的局部RBF近似值定义为▄uj（x）=njXi=1λjiφ（ε，| x- xji | |），（38），其中nj是属于面片的计算节点数Ohmj、 φ（ε，| | x- xji | |）是以xji为中心的第i个基函数，它是第j个面片中的第i个局部节点Ohmj、 ε是决定基函数宽度的形状参数，λ是未知系数。表1列出了一些常用的基函数选择，而它们作为参数ε函数的行为如图2所示。RBFφ（ε，r）高斯（GA）exp(-εr）多重二次曲面（MQ）√1+ε三元多重二次曲面（IMQ）1/√1+εrInverse二次（IQ）1/（1+εr）表1：常用径向基函数。0 2 4 6 800.511.5（a）高斯0 2 4 6 8051015（b）多重二次曲线0 2 4 800.511.5（c）逆二次曲线图2：关于形状参数ε值的常用基函数。除了补片，我们还构造了单位权函数的划分wj（x），j=1，P，从属于开盖，因此pxj=1wj（x）=1，x个∈ Ohm.