参数化谱风险测度的渐近分析

请注意，（B.11）和命题5导趾[Y | Z=Z]=ZzyfX（Z- y） fZ（z）fY（y）dy.（B.12）提案6。如果β+1<γ，则e[Y | Z=VaRα（Z）]-→E[Y]，α→ 1.证明。Letzα=VaRα（Z），（B.13）Gα（y）=yfX（Zα- y） fZ（zα）[0，zα/2]（y），（B.14）Hα（x）=（zα- x） fY（zα- x） fZ（zα）[0，zα/2）（x）。（B.15）然后，我们看到E[Gα（Y）]+E[Hα（x）]=Zzα/2+Zzαzα/2！yfX（zα- y） fZ（zα）fY（y）dy=E[y | z=zα]。（B.16）因此，我们需要证明e[Gα（Y）]-→E[Y]，E[Hα（X）]-→ 0, α → （B.17）首先，我们证明gα（y）-→ y、 Hα（x）-→ 0, α → x、y各1个≥ 0。（B.18）利用（B.10），引理A.1和A.3，以及命题A3.8，我们得到了fx（zα- y） fZ（zα）=fX（zα- y） fX（zα）·zαfX（zα）(R)fX（zα）·fX（zα）(R)FZ（zα）·FZ（zα）zαFZ（zα）-→ 1 · β · 1 ·β= 1, α → 1、此外，我们观察到0≤ Hα（x）≤zαfY（zα/2）fZ（zα），（B.19）和函数z 7→ zfY（z/2）/fZ（z）随指数β+1有规律地变化-γ < 0. 因此，我们得到了zαfY（zα/2）fZ（zα）-→ 0, α → 现在，（B.18）是显而易见的。接下来，我们观察到0≤ Gα（Y）+Hα（X）≤ YfX（zα/2）fZ（zα）+zαfY（zα/2）fZ（zα）。因为（fX（zα/2）/fZ（zα））α和（zαfY（zα/2）/fZ（zα））α是收敛的（作为α→ 1） ，它们是有界的。因此，我们有0≤ Gα（Y）+Hα（X）≤ C（Y+1）（B.20）对于某些C>0。通过（B.18）和（B.20），我们可以将支配收敛定理应用于（B.17）。提案7。如果β+1=γ，则e[Y | Z=VaRα（Z）]-→E[Y]+kγβ，α→ 1.证明。设zα、Gα（y）和Hα（x）与（B.13）–（B.15）中的相同。首先，我们有e[Gα（Y）]-→E[Y]，α→ 1通过与命题6证明中相同的论证。接下来，对于每个x≥ 0，wesee thatHα（x）=（zα- x） fY（zα- x） \'FY（zα- x） ·FY（zα- x） \'FY（zα）·zα\'FY（zα）\'FX（zα）×\'FX（zα）\'FZ（zα）·FZ（zα）zαFZ（zα）[0，zα/2）（x）-→ γ·1·k·1·β·1=kγβ，α→ 根据[C3]、（B.10）、[16]中的命题A3.8、[20]中的命题3.1（i）以及引理A.1和A。3英寸[20]。此外，我们有（B.19），这个不等式的右侧收敛到γ+1kγ/β，作为α→ 1，因此它是有界的。

因此，我们将支配收敛定理应用于obtainE[Hα（X）]-→ kγ/βasα→ 1、我们将这些与（B.16）结合起来完成证明。提案8。如果β<γ<β+1，我们有[Y | Z=VaRα（Z）]~kβγVaRα（X）β+1-γ, α → 1.证明。设zα、Gα（y）和Hα（x）如前所述。类似于命题6和命题7的证明，我们得到了[Gα（Y）]-→E[Y]，α→ 这意味着e[Gα（Y）]/xβ+1-γα-→ 0, α → 1，其中Xα=VaRα（X）。因此，有必要证明e[Hα（X）]/Xβ+1-γα-→ kβ/γ为α→ 通过使用与命题7证明中类似的计算和使用[20]中的命题3.1（i），很容易看出这一点。提案9。如果β=γ，则e[Y | Z=VaRα（Z）]~ k（1+k）-1+1/βVaRα（X），α→ 1.证明。与命题8的证明类似，我们只需要证明e[Hα（X）]-→ k（1+k）-1+1/β, α → 1，（B.21），其中▄Hα（x）=Hα（x）/xα。请注意，[20]中的引理A.1和A.2表示“FZ（x）”~\'FX（x）+\'FY（x）~ （1+k）(R)FX（x）~ （k）-1+1）(R)FY（x），x→ ∞ 和zα~ （1+k）1/βxα，α→ 因此，对于每个x≥ 0，我们观察到Hα（x）=zαxα·（zα- x） fY（zα- x） \'FY（zα- x） ·FY（zα- x） \'FY（zα）·FY（zα）·FZ（zα）·FZ（zα）zαFZ（zα）[0，zα/2）（x）-→ （1+k）1/β·β·1·k1+k·β·1=k（1+k）-1+1/β, α → 1根据【C3】，（B.10），【16】中的命题A3.8，以及【20】中的引理A.3。此外，我们有0≤Hα（x）≤zαxαfY（zα/2）fZ（zα）-→ 2γ+1k（1+k）-1+1/β, α → 因此，我们通过应用支配收敛定理得到（B.21）。定理2的证明。通过使用标准参数，我们可以验证随机向量（X，Y）是否满足[27]中的假设。因此，从[27]中的（5.13）可以看出，（3.9）是正确的。此外，使用命题6-9，我们可以看到，对于每个ε>0，都有一个α∈ （0，1）使得δ′g（α）’f（α）- 1.< ε, α ∈ [α，1），（B.22），其中我们表示“g（α）=E[Y | Z=VaRα（Z）]。此外，很容易看出‘f和‘g’在[0，α]上有界。

因此，结合（3.9）、（3.15）和（B.22），我们得到ΔρEulerα（Y | Z）(R)M（α）- 1.≤\'M（α）（δsupu∈[0，α]？g（u）+supu∈[0，α](R)f（u）！Zαφα（u）du+εZα′f（u）φα（u）du）-→εδ, α → 1，其中δ=lim infα→1'M（α），由于命题3，这是正的。由于ε>0是任意的，我们得到了所需的断言。B、 3定理3的证明首先，请注意条件[C5]立即暗示[C2]，其中x=0，fx（x）=Z∞fX（x | Y=Y）FY（dy）。其次，请注意，根据【C6】、【20】中的命题3.1（i）（另请参见其中的备注3.2）和【16】中的命题A3.8，我们有（B.10）和fx（x）~ fZ（x），x→ ∞. （B.23）为了证明定理3，我们给出以下三个命题。提案10。VaRα（X+uY）在u中连续可区分∈ [0，1]它认为uVaRα（X+uY）=E[Y | X+uY=VaRα（X+uY）]，0≤ u≤ 命题10是通过一个类似于[27]中引理5.3的证明的论点，利用隐函数定理得到的。提案11。函数x 7→E[Y | X=X]随指数κ+β+1有规律地变化。证据修复任何t>0。我们观察到E[Y | X=tx]- tκ+β+1E[Y | X=X]≤Z∞yfX（x | Y=Y）fX（x）fX（tx | Y=Y）fX（x | Y=Y）·fX（x）fX（tx）- tκ+β+1FY（dy），≤supx公司≥0fX（x）fX（tx）supy≥0fX（tx | Y=Y）fX（x | Y=Y）- tκ+ tκfX（x）fX（tx）- tβ+1E[Y | X=X]，因此，使用[C5]，我们到达atlimx→∞E[Y | X=tx]E[Y | X=X]- tκ+β+1= 0提案12。E[Y | X=X]~E[Y | X+Y=X]，X→ ∞.证据固定任何ε>0。那么我们有| E[Y | Z=x]-E[Y | X=X]|≤ Aε（x）+Bε（x），其中我们表示Z=x+Y，Aε（x）=ZεxyfX（x- y | y=y）fZ（x）-fX（x | Y=Y）fX（x）FY（dy），Bε（x）=E[Y 1{Y>εx}| Z=x]+E[Y 1{Y>εx}| x=x]。通过[C7]和切比雪夫不等式，我们得到0≤Bε（x）E[Y | x=x]≤Cεη-1xη-1E[Y | X=X]，（B.24）对于某些C>0。

因为命题11告诉我们x 7→ xη-1E[Y | X=X]随指数η+κ+β>0而定期变化，（B.24）的右侧随着X收敛到零→ ∞（见【10】中的第1.5.1条）。此外，我们看到aε（x）≤ZεxyfX（x | Y=Y）fX（x）fX（x- y | y=y）fX（x | y=y）·fX（x）fZ（x）- 1.FY（dy）=ZεuxfX（x | Y=ux）fX（x）外汇（（1- u） x | Y=ux）fX（x | Y=ux）·fX（x）fZ（x）- 1.FY/x（du），x>0。在这里，我们观察到外汇（（1- u） x | Y=ux）fX（x | Y=ux）·fX（x）fZ（x）- 1.≤ |1.- (1 - u） κ|+（1- u） κfX（x）fZ（x）- 1.+外汇（（1- u） x | Y=ux）fX（x | Y=ux）- (1 - u） κfX（x）fZ（x），对于每个u∈ [0, ε]. 注意如果κ≥ 0（分别，κ<0），我们有（1- ε)κ≤ (1 - u） κ≤ 1（分别为1≤ (1 -u） κ≤ (1 -ε)κ). 此外，根据（B.23），fX（x）/fZ（x）收敛为1，即x→ ∞, soit是有界的。因此，我们得到ε（x）≤E[Y | X=X]（| 1- (1 - ε） κ|+最大值{1，（1- ε)κ}fX（x）fZ（x）- 1.+Csup1-ε≤t型≤1supy公司≥0fX（tx | Y=Y）fX（x | Y=Y）- tκ),对于某些C>0。现在我们到达atlim supx→∞E[Y | Z=x]E[Y | x=x]- 1.≤ |1.- (1 - ε） κ|使用（A.5）和（B.23）。由于ε>0是任意的，我们得到了所需的断言。定理3的证明。首先，注意命题10保证EQXα[Y]=ZE[Y | X=xu]φα（u）du，EQX+Yα[Y]=ZE[Y | X+Y=zu]φα（u）du，其中xu=VaRu（X），zu=VaRu（X+Y）。然后，乘以任何ε>0。通过命题11-12和引理A.3，我们可以看到E[Y | X=Xα]~E[Y | X=zα]~E[Y | X+Y=zα]，α→ 因此，有一个α∈ （0，1）使得E[Y | X+Y=zα]E[Y | X=Xα]- 1.< ε, α ∈ [α，1）。因此，我们有EQX+Yα[Y]EQXα[Y]- 1.≤方程Xα[Y]Z | E[Y | X+Y=zu]-E[Y | X=xu]|φα（u）du≤EQXα[Y]Zα{E[Y | X+Y=zu]+E[Y | X=xu]}φα（u）du+ε-→ ε, α → 1根据（3.12）的规定。因为ε>0是任意的，所以我们得到方程qxα[Y]~方程x+Yα[Y]，α→ 将这个结果与（A.1）相结合，我们得到了所需的断言。参考文献[1]Andersson，F.、Mausser，H.、Rosen，D.和Uryasev，S。

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水平轴对应于α。图2:ESX，Yα（蓝色）和VaRX，Yα（棕色，虚线），ξX=0.5，ξY=0.1。红色实线显示为“Y”。水平轴对应于α。图3：由（4.4）定义的近似误差，ξX=2/3，ξY=0.5。蓝线：ρα=ESα。橙色线：ρα=ρEXPα。绿线：ρα=ρPOWα。水平轴与α相对应。图4：(R)M（α）/ESEulerα（蓝色）和δ=1/γ=ξY（红色）。我们设定ξX=2/3，ξY=0.5。横轴对应于α。图5：由（4.4）定义的近似误差，ξX=2/7，ξY=0.25。蓝线：ρα=ESα。橙色线：ρα=ρEXPα。绿线：ρα=ρPOWα。水平轴与α相对应。图6：由（4.4）定义的近似误差，ξX=ξY=0.7。蓝线：ρα=ESα。橙色线：ρα=ρEXPα。绿线：ρα=ρPOWα。水平轴对应于α。图7：(R)M（α）/ESEulerα（蓝色）和δ={1+k-（1+k）1-1/β}/k（红色）。我们设定ξX=ξY=0.7。水平轴对应于α。图8：由（4.4）定义的近似误差，ξX=ξY=0.3。蓝线：ρα=ESα。橙色线：ρα=ρEXPα。绿线：ρα=ρPOWα。水平轴对应于α。图9:ESX，Yα（蓝色），ρEXP，X，Yα（橙色），ρPOW，X，Yα（绿色）和seulerα（Y | X+Y）（黑色，虚线），ξX=0.5和ξY=0.1。红色实线显示为“Y”。水平轴对应于α。左：C=CGaussρ，ρ=0.3。中心：C=CGumbelθ，θ=3。右：C=Ccmon。图10：由（4.4）定义的近似误差，ξX=2/3，ξY=0.5。蓝线：ρα=ESα。橙色线：ρα=ρEXPα。绿线：ρα=ρPOWα。水平轴与α相对应。左：C=CGaussρ，ρ=0.3。中心：C=CGumbelθ，θ=3。右：C=Ccmon。图11:ξX=ξY=0.7时（4.4）定义的近似误差。蓝线：ρα=ESα。橙色线：ρα=ρEXPα。绿线：ρα=ρPOWα。水平轴对应于α。左：C=CGaussρ，ρ=0.3。中心：C=CGumbelθ，θ=3。

右：C=Ccmon。